Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Вычисления и преобразования

Задание 9 профильного ЕГЭ – упрощение выражений



Рассмотрим упрощение выражений, тригонометрических и логарифмических. Потренируем формулы двойных аргументов, приведения. Вспомним правила работы с логарифмами.

Задание 1. Найдите \operatorname{tg} x, если:

    \[\frac{\sin x-3\cos x}{2\sin x-\cos x}=2\]

Решение:

    \[\sin x-3\cos x=2(2\sin x-\cos x)\]

    \[-3\sin x=\cos x\]

Тогда \operatorname{tg} x=-\frac{1}{3}.

 

Задание 2. Упростите выражение.

    \[7\sqrt{2}{\cos}^2 \frac{5\pi}{8}-7\sqrt{2}{\sin}^2 \frac{5\pi}{8}\]

    \[7\sqrt{2}\left({\cos}^2 \frac{5\pi}{8}-{\sin}^2 \frac{5\pi}{8}\right)=\]

    \[7\sqrt{2}\cos \frac{5\pi}{4}=7\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-7\]

 

Задание 3. Упростите выражение.

    \[5\sin\frac{11\pi}{12}\cos \frac{11\pi}{12}=2,5\sin\frac{11\pi}{6}=2,5\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=2,5\cdot(-0,5)=-1,25\]

 

Задание 4. Упростите выражение.

    \[18\sqrt{6}\cos \frac{17\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}=18\sqrt{6}\cos \frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}=\]

    \[=18\sqrt{6}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=27\]

 

Задание 5. Упростите выражение.

    \[\frac{3 \log_{27} 288}{5\log_3 2+2}=\frac{3 \log_{27} 288}{5\log_3 2+\log_3 9}=\]

    \[=\frac{3 \log_{27} 288}{\log_3 2^5\cdot9}=\frac{3\cdot\frac{1}{3} \log_{3} 288}{\log_3 2^5\cdot9}=\]

    \[=\log_3 (288-2^5\cdot9)=\log_3 0=1\]

 



Задание 6. Упростите выражение.

    \[\log_2 \cos \frac{\pi}{12}+\log_2 \sin \frac{\pi}{24}+\log_2 \sin \frac{11\pi}{24}=\log_2 \left(\cos \frac{\pi}{12}\cdot \sin \frac{\pi}{24}\cdot\sin \frac{11\pi}{24}\right)=\]

Произведение синусов – в разность косинусов:

    \[= \log_2 \left(\frac{1}{2}\cos \frac{\pi}{12}\left(\cos\frac{5\pi}{12}-\cos\frac{6\pi}{12}\right)\right)=\]

Раскрываем скобки:

    \[= \log_2 \frac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}-\cos \frac{\pi}{12}\cos\frac{6\pi}{12}\right)=\]

Второе слагаемое равно 0, так как \cos\frac{6\pi}{12}=0, далее произведение косинусов преобразуется в сумму:

    \[= \log_2 \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\left(\cos \frac{6\pi}{12}+\cos\frac{4\pi}{12}\right)\right)=\]

    \[=\log_2 \left(\frac{1}{4}\cos \frac{\pi}{3}\right)= \log_2 (\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2})=\log_2 \frac{1}{8}=-3\]

 

Задание 7. Упростите выражение.

    \[\frac{\left|{\log_{0,2} \left(\operatopname{tg}\frac{4\pi}{3}\right)}\right|}{\log_{0,2} \left(\operatopname{tg}\frac{4\pi}{3}\right)}+\frac{3\left|3\sqrt{7}-2\sqrt{13}\righr|}{3\sqrt{7}-2\sqrt{13}}+9\frac{\left|\arccos\left((-0,3)-\frac{\pi}{2}\right)\right|}{\arccos\left((-0,3)-\frac{\pi}{2}\right)}\]

Поскольку выражения в числителях и знаменателях одинаковые за исключением знака модуля, то здесь нам главное – понять, какие знаки будут иметь выражения, стоящие в знаменателях, так как в числителях у нас заведомо положительные числа. Итак, первое слагаемое.

    \[\log_{0,2} \left(\operatopname{tg}\frac{4\pi}{3}\right)= \log_{0,2} (\sqrt{3})<0\]

Второе слагаемое:

    \[3\sqrt{7}-2\sqrt{13}=\sqrt{9\cdot7}-\sqrt{4\cdot13}=\sqrt{63}-\sqrt{62}>0\]

Третье слагаемое:

    \[\arccos(-0,3)-\frac{\pi}{2}=\pi-\arccos(0,3)- \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}-\arccos(0,3)>0\]

Так как косинус, равный 0,3,  имеет острый угол.

Тогда:

    \[\frac{\left|{\log_{0,2} \left(\operatopname{tg}\frac{4\pi}{3}\right)}\right|}{\log_{0,2} \left(\operatopname{tg}\frac{4\pi}{3}\right)}+\frac{3\left|3\sqrt{7}-2\sqrt{13}\righr|}{3\sqrt{7}-2\sqrt{13}}+9\frac{\left|\arccos\left((-0,3)-\frac{\pi}{2}\right)\right|}{\arccos\left((-0,3)-\frac{\pi}{2}\right)}=-1+3+9=11\]

 



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *