Задачи вступительного экзамена в Академическую гимназию СПбГУ по физике (прошлых лет)

[latexpage]

В статье приведен типовой вариант задания вступительных испытаний по физике в Академическую гимназию СПбГУ, в класс физико-математического направления. Задачи разбиты по уровням сложности, есть очень непростые для среднего школьника.

Часть А.

Задача 1. На рисунке приведен график зависимости скорости от времени для тела, движущегося прямолинейно. В какой (-ие) моменты времени ускорение тела постоянно и не равно нулю?

• Только в интервале времени 0 – 2 с
• Только в интервале времени 2 – 5 с
• Только в интервале времени 5 – 8 с
• В интервалах времени 0 – 2 и 5 – 8 с.

Ускорение не равно нулю там, где меняется скорость. Она меняется на отрезке 2-5 c, причем растет линейно, следовательно, ускорение постоянно. Ответ: 2.

Задача 2. Шар, подвешенный на нити, отклонили от положения равновесия и отпустили. Какое из следующих утверждений является верным при движении шара сразу после прохождения положения равновесия:

• Потенциальная энергия мяча увеличивается, его полная механическая энергия не изменяется
• И кинетическая и полная механическая энергия мяча увеличиваются
• Кинетическая энергия мяча увеличивается, его полная механическая энергия не изменяется
• И потенциальная и полная энергия мяча увеличиваются

Когда шарик пройдет положение равновесия, он будет двигаться вверх. То есть, его потенциальная энергия будет расти. Полная энергия изменяться не будет, она будет переходить из формы в форму: из кинетической в потенциальную и обратно.

Задача 3. Два шара одинаковой массы, сделанные из одного материала, уравновешены на рычажных весах. Правый шар однородный, а левый имеет внутри полость, заполненную воздухом (рис).

Если шары опустить в воду, то:

• Равновесие нарушится, левый шар будет двигаться вниз
• Равновесие нарушится, левый шар будет двигаться вверх
• Равновесие не нарушится
• Возможны различные из перечисленных выше варианты в зависимости от значений параметров задачи

Так как у шаров одинаковый вес, то объем, очевидно, разный: тот, что имеет полость внутри, больше. Поэтому сила Архимеда, действующая на него, будет больше. Следовательно, он расположится выше сплошного шара.

Ответ: 2

Задача 4. Мальчик стоит на напольных весах в лифте. Лифт движется вниз и, при подходе к 1 этажу замедляет движение с  ускорением 1 м/с$^2$. Что покажут весы на интервале времени, когда замедляется движение, если в покоящемся лифте они показывали 40 кг?

1) 44 кг, 2) 40 кг,       3) 39 кг,       4) 36 кг.

При замедленном движении лифта можем записать:

$$ma=mg-N$$

$$N=m(g-a)$$

Так как ускорение стало меньше на 10%, то весы покажут на 10% меньший вес: 36 кг.

Ответ: 4.

Задача 5. На рисунке представлен график зависимости температуры от времени для процесса нагревания слитка алюминия массой 1 кг. Какое количество теплоты получил алюминий за первые 20 мин нагревания? Удельная теплоемкость алюминия 920 Дж/(кг×град).

1) 423200 Дж,       2) 478400 Дж,       3) 368000 Дж,       4) 404800 Дж.

 

За 20 минут слиток нагрелся от $60^{\circ}$ до $460^{\circ}$ градусов, то есть на 400. Тогда он получил количество теплоты, равное (Дж):

$$Q=c_{Al} m \Delta T=920\cdot 1\cdot 400=368 000$$

Ответ: 3.

 

Задача 6. На рисунке изображен ход луча, падающего на собирающую линзу. Какая из пунктирных линий (1), (2), (3) или (4) верно указывает направление распространения этого луча после его преломления в линзе?

1) 1,               2) 2,               3) 3,               4) 4.

Луч не проходит через фокус – следовательно, он не может двигаться за линзой ни по направлению 1, ни по направлению 2. Так как падающий луч расположен между фокусами линзы, то его продолжение после преломления – луч  3.

Ответ: 3.

Задача 7. Исследуя зависимость силы тока от напряжения на резисторе при его постоянном сопротивлении, ученик получил результаты, представленные в таблице. Чему равно удельное сопротивление металла, из которого изготовлен резистор, если длина провода 4 м, а площадь его поперечного сечения 0,4 мм$^2$?

Напряжение, В	1	2	3
Сила тока, А	0,2	0,4	0,6

1) 0,1 Ом·мм$^2$/м,    2) 0,2 Ом·мм$^2$/м,    3) 0,4 Ом·мм$^2$/м,    4) 0,5 Ом·мм$^2$/м.

По закону Ома сопротивление провода равно

$$R=\frac{U_1}{I_1}=\frac{U_2}{I_2}=\frac{U_3}{I_3}=5$$

Тогда

$$R=\frac{\rho l}{S}$$

$$\rho=\frac{RS}{l}=\frac{5\cdot0,4}{4}=0,5$$

Ответ: 4

 

Задача 8. Чему равно общее сопротивление участка цепи, изображенного на рисунке, если $R_1=2$ Ом, $R_2 = 5$ Ом, $R_3 = 5$ Ом, $R_4 = 10$ Ом?

1) 7 Ом,       2) 12 Ом,    3) 17 Ом,    4) 22 Ом.

Сложим сопротивления $R_2$ и $R_3$:

$$R_{23}=5+5=10$$

Определим сопротивление $R_{234}$:

$$R_{234}=\frac{R_4\cdotR_{23}}{R_4+R_{23}}=\frac{10\cdot10}{10+10}=5$$

Наконец, общее сопротивление:

$$R=R_1+R{234}=2+5=7$$

Ответ: 1.

 

Задача 9. На невесомой нерастяжимой нити подвешен шар (рис.)

Шар отклоняют на некоторый угол и отпускают. Какова масса шара, если сила натяжения нити, когда шар проходит нижнюю точку, равна 12 Н, скорость в этой точке 2 м/с, длина нити 2 м?

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для нижней точки:

$$ma_n=T-mg$$

Или, выражая массу, получим:

$$m=\frac{T}{a_n+g}=\frac{T}{\frac{\upsilon^2}{R}+g}=\frac{12}{2+10}=1$$

Ответ: 1 (кг).

Задача 10. Вверх по гладкой наклонной плоскости толкают тело (рис.)

С каким ускорением движется тело, если через 2 с оно оказывается на расстоянии 6 м от исходной точки, а его скорость в этот момент времени оказывается равной 1 м/с?

Тело проходит путь:

$$S=\upsilon_0 t-\frac{at^2}{2}$$

Скорость его изменяется при этом так:

$$\upsilon=\upsilon_0-at$$

Тогда

$$\upsilon_0=\upsilon+at$$

$$S=(\upsilon+at)t-\frac{at^2}{2}$$

$$S=\upsilon t+\frac{at^2}{2}$$

Откуда

$$at^2=2S-2\upsilon t$$

$$a=\frac{2S}{t^2}-\frac{2\upsilon}{t}=\frac{12}{4}-\frac{2}{2}=2$$

Ответ:  2 (м/с²).

 

 

Часть B.

Задача 11. Автомобиль массой $M = 1200$ кг на горизонтальном пути развивает скорость $\upsilon = 72$ км/час, расходуя при этом $m = 80$ г бензина на  $s =  1$ км пути. Какую скорость разовьет автомобиль при той же мощности на пути с подъёмом $h = 3,5$ м на  $l= 100$ м? К.п.д. двигателя  $\kappa = 28$%. Теплотворная способность бензина $q = 45\cdot10^6$  Дж/кг.

Скорость автомобиля в м/с равна

$$\upsilon=\frac{72\cdot1000}{3600}=20$$

На километр машина тратит 80 г, а километр она пройдет за время (с)

$$t=\frac{S}{\upsilon}=\frac{1000}{20}=50$$

Таким образом, расход бензина (г/с)

$$r=\frac{m}{t}=1,6$$

Сгорая, бензин поставляет машине в с количество Джоулей, равное

$$\frac{Q}{t}=r\cdotq=1,6\cdot10^{-3}\cdot45\cdot10^6=72000$$

А количество джоулей в секунду – это мощность двигателя. При этом с учетом КПД полезная мощность равна (Вт)

$$P=\kappa\cdot \frac{Q}{t}=20160$$

Зная скорость, можно определить силу трения, ведь именно на ее преодоление тратится энергия на горизонтальном участке:

$$F_{tr}=\frac{P}{\upsilon}$$

Это, с одной стороны, сила трения, с другой – сила, развиваемая двигателем.

$$F=F_{tr}$$

Так как на горизонтальном участке сила трения равна

$$F_{tr}=\mu M g$$

Можем определить коэффициент трения:

$$\mu=\frac{P}{\upsilon \cdot Mg}=\frac{20160}{20\cdot12000}=0,084$$

Теперь перейдем к рассмотрению движения автомобиля на наклонном участке. На машину будут действовать силы: реакции опоры, трения, тяжести.

$$N=Mg \cos{\alpha}$$

$$F_{tr1}=\mu Mg \cos{\alpha}$$

$$F=Mg \sin{\alpha}+F_{tr1}= Mg \sin{\alpha}+\mu Mg \cos{\alpha}$$

$$F\upsilon_2=P$$

Скорость на подъеме равна:

$$\upsilon_2=\frac{P}{F}=\frac{\kappa\cdot \frac{Q}{t}}{ Mg \sin{\alpha}+\mu Mg \cos{\alpha}}$$

Так как угол, очевидно, мал, можно заменить его синус на тангенс. Поэтому неважно, что составители имели в виду под $l$ – катет или гипотенузу. Определяем угол:

$$\sin{\alpha}=\frac{h}{l}=0,035$$

$$\alpha =2^{\circ}$$

$$\upsilon_2=\frac{20160}{12000(\sin{2^{\circ}}+0,084\cdot \cos {2^{\circ}})}=14,3$$

Ответ: 14,3 м/c.

 

Задача 12. У подножия гладкой горки, имеющей профиль дуги окружности (почти четверть окружности) покоится тело массы $m$ (рис.).

На расстоянии $S$ от него на горизонтальной поверхности находится другое такое же тело. Какую начальную скорость $\upsilon_0$ нужно сообщить этому телу, чтобы после абсолютно упругого соударения первое тело (тело слева) поднялось на вершину горки? Коэффициент трения между телом и горизонтальной поверхностью равен$\mu$. Какова максимальная сила давления $N$ тел на поверхность горки?

Второе тело, двигаясь к первому, часть энергии потратит на работу силы трения:

$$\frac{m\upsilon_0^2}{2}-\mu m g S=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Или

$$\upsilon_0^2-2\mu  g S=\upsilon^2$$

Всю свою скорость (так как тела равной массы) это тело передаст первому:

$$\upsilon=\sqrt{\upsilon_0^2-2\mu  g S}$$

Первое тело будет подниматься вверх, превращая кинетическую энергию в потенциальную:

$$mgR= \frac{m\upsilon^2}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Откуда

$$2gR= \upsilon^2=\upsilon_0^2-2\mu  g S $$

То есть

$$\upsilon_0^2=2gR+2\mu  g S$$

$$\upsilon_0=\sqrt{2g(R+\mu S)}$$

Для тела у подножия горки можем записать, что

$$ma_n=N-mg$$

$$\frac{m \upsilon^2}{R}=N-mg$$

$$N=\frac{m \upsilon^2}{R}+mg$$

Но из (1) понятно, что

$$\frac{m \upsilon^2}{R}=2mg$$

Следовательно,

$$N=2mg+mg=3mg$$

Ответ: $\upsilon_0=\sqrt{2g(R+\mu S)}$, $N=3mg$.

 

Задача  13. Электроплитка имеет две спирали с различными сопротивлениями. Литр воды нагревается на $10^{\circ}$  за время 6 мин. при подключении только первой спирали и в 2 раза дольше при подключении только второй спирали. Спирали подключают, последовательно соединив, расплавляют 1 кг льда и нагревают образовавшуюся воду до температуры $10^{\circ}$ C. Какова начальная температура льда, если полное время работы плитки равно 3 часа? Удельная теплоемкость льда $c_l = 2100 $Дж/(кг×град), удельная теплоемкость воды $c_v= 4200$ Дж/(кг×град), удельная теплота плавления льда $\lambda = 3,4\cdot10^5$ Дж/кг.

Так как на второй спирали нагревание воды требует в два раза больше времени, следовательно, мощность при этом в два раза меньше, то есть сопротивление второй спирали вдвое больше, чем у первой. Поэтому последовательное включение означает подключение тройного сопротивления, а значит, вода будет греться втрое дольше: не 6 минут, а 18. Из этого вывода следует заключение о количестве теплоты, выделяемого плиткой.

Чтобы нагреть литр воды – а по массе это кг – на $10^{\circ}$ , требуется количество теплоты, равное

$$Q= c_v m \Delta T$$

Так как три часа – это 180 минут, то есть 10 раз по  18 минут, то за три часа плитка выделит $10Q$ Дж тепла.

Запишем уравнение теплового баланса: будем тратить тепло, чтобы согреть лед, затем его расплавить, и, наконец, согреть воду:

$$10Q= c_l m \Delta T_1+\lambda m+c_v m \Delta T_2$$

То есть

$$ c_l m \Delta T_1=10Q-\lambda m-c_v m \Delta T_2$$

$$\Delta T_1=\frac{10Q-\lambda m-c_v m \Delta T_2}{ c_l m }=\frac{10 c_v m \Delta T -\lambda m-c_v m \Delta T_2}{ c_l m }$$

Так как греем мы лед с какой-то начальной отрицательной температуры до нуля – температуры плавления – то, определив $\Delta T_1$ мы и найдем необходимое:

$$\Delta T_1=\frac{10 c_v  \Delta T -\lambda -c_v  \Delta T_2}{ c_l  }=\frac{10\cdot4200\cdot10 -3,4\cdot10^5 -4200\cdot 10}{ 2100  }=\frac{38000}{2100}=18^{\circ}$$

Ответ: температура льда $-18^{\circ}$.

 

Задача 14. Луч света от лазерной указки падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку под углом падения $60^{\circ}$ (рис.)

Луч частично отражается от верхней поверхности, частично проходит в пластинку и после отражения от нижней поверхности выходит через верхнюю поверхность. В результате на вертикальном экране над пластинкой образуется два световых пятна – $B$ и $C$. Определить показатель преломления пластинки, если расстояние между пятнами равно толщине пластинки.

Рассмотрим рисунок. В треугольнике $ABC$ гипотенуза $BC=h$, а, так как угол $ABC=60^{\circ}$, то

$$AB=\frac{h}{2}$$

$$AC=\frac{h\sqrt{3}}{2}$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $DEF$

$$FE=AC=\frac{h\sqrt{3}}{2}$$

А

$$DE=2FE= h\sqrt{3}$$

Тогда отрезок $MN$ равен

$$MN=\frac{1}{2}DE=\frac{h\sqrt{3}}{2}$$

А гипотенуза  треугольника $DMN$ равна

$$DN=\sqrt{h^2+\frac{3h^2}{4}}=h\sqrt{1,75}$$

Определяем коэффициент преломления:

$$n=\frac{\sin {60^{\circ}}}{\sin{\beta}}=\frac{\sqrt{7}}{2}=1,32$$

Ответ: $n=1,32$.