Задачи, в которых емкости конденсаторов меняют

[latexpage]

В данных задачах емкости конденсаторов меняют тем или иным способом – например, сдвигают с определенной скоростью. Или вводят внутрь пластину диэлектрика.

Задача 1. Плоский конденсатор с площадью квадратных пластин $S=400$ см$^2$ и расстоянием между ними $d=2$ мм подключен к источнику напряжением $U=120$ В. В пространство между обкладками конденсатора  со скоростью $\upsilon=10$ см/с вдвигают пластину с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=2$. Определить величину тока, протекающего в цепи.

Решение. Емкость становится больше, то есть ее изменение положительно. Первоначальная емкость

$$C_1=\frac{\varepsilon_0 S}{d}$$

Конечная

$$C_2=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}$$

Изменение емкости

$$\Delta C=C_2-C_1=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}-\frac{\varepsilon_0 S}{d}=\frac{\varepsilon_0 S}{d}\left(\varepsilon-1\right)$$

С изменением емкости заряд конденсатора изменится:

$$\Delta q=U \Delta C$$

Ток через конденсатор

$$I=\frac{\Delta q }{\Delta t}=\frac{U\varepsilon_0 S}{d\Delta t }\left(\varepsilon-1\right)= \frac{U\varepsilon_0 a^2}{d\Delta t }\left(\varepsilon-1\right)$$

$a$ – длина пластины конденсатора.

Но $\frac{a}{\Delta t }=\frac{\sqrt{S}}{\Delta t }=\upsilon$, поэтому

$$I=\frac{U\varepsilon_0 \upsilon \sqrt{S}}{d}\left(\varepsilon-1\right)$$

$$I=\frac{120\cdot 8,85 \cdot 10^{-12}\cdot 0,1 \sqrt{0,04}}{0,002}\left(2-1\right)=10,62\cdot 10^{-9}$$

Ответ: 10,62 нА.

Задача 2. В электрической цепи после зарядки конденсатора емкостью $C=10^{-3}$ Ф, расстояние между обкладками которого $d=10^{-2}$ м, напряжение $U=10^2$ В, начинают сдвигать обкладки со скоростью $\upsilon=10$ см/с. Определить величину и направление тока в цепи в момент начала сдвига обкладок.

Решение. Расстояние между обкладками меняется со временем

$$d(t)=d-2\upsilon t$$

По определению

$$I=\frac{dq}{dt}=\frac{UdC}{dt}=\frac{U\varepsilon_0 S\cdot 2\upsilon}{(d-2\upsilon t)^2}$$

$$I=\frac{2U\varepsilon_0 S\cdot \upsilon}{(d-2\upsilon t)^2}$$

$$ I(0)=\frac{2U\varepsilon_0 S\cdot \upsilon}{d^2}=\frac{2UC\upsilon}{d}=1$$

Ответ: 1 А.

Задача 3. Пластины плоского воздушного конденсатора, площадью $S=7,2\cdot10^{-2}$ м$^2$ каждая, подсоединены к источнику ЭДС $E=12$ В. Одна из пластин движется навстречу другой таким образом, что расстояние между ними меняется по закону $d=0,1-2t$. Определить, как меняется сила тока в этой цепи.  Вычислить $I(0)$.

Решение. По предыдущей задаче

$$ I_0=\frac{CU\upsilon}{d}=\frac{\varepsilon_0 SU\upsilon}{d^2}=

\frac{8,85\cdot 10^{-12}\cdot 7,2 \cdot 10^{-2}\cdot 12\cdot 2}{10^{-2}}=1,53\cdot 10^{-9}$$

Где модуль скорости $\upsilon=\mid d’\mid =2$

Ток же будет меняться по закону

$$I=\frac{\Delta q }{\Delta t}=\frac{U\varepsilon_0 S\upsilon}{d^2}=\frac{U\varepsilon_0 S\upsilon}{(0,1-2t)^2}$$

Ответ: $ I_0=1,53$ нА.

Задача 4. Двум воздушным плоским одинаковым конденсаторам, соединенным параллельно, сообщен заряд $Q$. В момент времени $t=0$ расстояние между пластинами первого конденсатора начинают равномерно увеличивать по закону $d_1=d_0+\upsilon  t$, а расстояние между пластинами второго конденсатора равномерно уменьшать по закону $d_2=d_0-\upsilon t$. Найти силу тока в цепи во время движения пластин.

Решение. Емкость этой системы конденсаторов равна $C_1+C_2$. Очевидно, что заряд каждого из них равен $\frac{Q}{2}$. Далее емкость одного растет, а емкость второго – уменьшается и так же ведут себя заряды. В цепи возникнет ток из зарядов, перемещающихся с пластин одного конденсатора на пластины другого.

$$I=\frac{\Delta q }{\Delta t}=\frac{UС_0\upsilon}{d}=\frac{Q\upsilon}{2d}$$

Ответ: $I=\frac{Q\upsilon}{2d}$