Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Емкости

Задачи, в которых емкости конденсаторов меняют

В данных задачах емкости конденсаторов меняют тем или иным способом – например, сдвигают с определенной скоростью. Или вводят внутрь пластину диэлектрика.

Задача 1. Плоский конденсатор с площадью квадратных пластин S=400 см^2 и расстоянием между ними d=2 мм подключен к источнику напряжением U=120 В. В пространство между обкладками конденсатора  со скоростью \upsilon=10 см/с вдвигают пластину с диэлектрической проницаемостью \varepsilon=2. Определить величину тока, протекающего в цепи.

Решение. Емкость становится больше, то есть ее изменение положительно. Первоначальная емкость

    \[C_1=\frac{\varepsilon_0 S}{d}\]

Конечная

    \[C_2=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}\]

Изменение емкости

    \[\Delta C=C_2-C_1=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}-\frac{\varepsilon_0 S}{d}=\frac{\varepsilon_0 S}{d}\left(\varepsilon-1\right)\]

С изменением емкости заряд конденсатора изменится:

    \[\Delta q=U \Delta C\]

Ток через конденсатор

    \[I=\frac{\Delta q }{\Delta t}=\frac{U\varepsilon_0 S}{d\Delta t }\left(\varepsilon-1\right)= \frac{U\varepsilon_0 a^2}{d\Delta t }\left(\varepsilon-1\right)\]

a – длина пластины конденсатора.

Но \frac{a}{\Delta t }=\frac{\sqrt{S}}{\Delta t }=\upsilon, поэтому

    \[I=\frac{U\varepsilon_0 \upsilon \sqrt{S}}{d}\left(\varepsilon-1\right)\]

    \[I=\frac{120\cdot 8,85 \cdot 10^{-12}\cdot 0,1 \sqrt{0,04}}{0,002}\left(2-1\right)=10,62\cdot 10^{-9}\]

Ответ: 10,62 нА.

Задача 2. В электрической цепи после зарядки конденсатора емкостью C=10^{-3} Ф, расстояние между обкладками которого d=10^{-2} м, напряжение U=10^2 В, начинают сдвигать обкладки со скоростью \upsilon=10 см/с. Определить величину и направление тока в цепи в момент начала сдвига обкладок.

Решение. Расстояние между обкладками меняется со временем

    \[d(t)=d-2\upsilon t\]

По определению

    \[I=\frac{dq}{dt}=\frac{UdC}{dt}=\frac{U\varepsilon_0 S\cdot 2\upsilon}{(d-2\upsilon t)^2}\]

    \[I=\frac{2U\varepsilon_0 S\cdot \upsilon}{(d-2\upsilon t)^2}\]

    \[I(0)=\frac{2U\varepsilon_0 S\cdot \upsilon}{d^2}=\frac{2UC\upsilon}{d}=1\]

Ответ: 1 А.

Задача 3. Пластины плоского воздушного конденсатора, площадью S=7,2\cdot10^{-2} м^2 каждая, подсоединены к источнику ЭДС E=12 В. Одна из пластин движется навстречу другой таким образом, что расстояние между ними меняется по закону d=0,1-2t. Определить, как меняется сила тока в этой цепи.  Вычислить I(0).

Решение. По предыдущей задаче

    \[I_0=\frac{CU\upsilon}{d}=\frac{\varepsilon_0 SU\upsilon}{d^2}= \frac{8,85\cdot 10^{-12}\cdot 7,2 \cdot 10^{-2}\cdot 12\cdot 2}{10^{-2}}=1,53\cdot 10^{-9}\]

Где модуль скорости \upsilon=\mid d'\mid =2

Ток же будет меняться по закону

    \[I=\frac{\Delta q }{\Delta t}=\frac{U\varepsilon_0 S\upsilon}{d^2}=\frac{U\varepsilon_0 S\upsilon}{(0,1-2t)^2}\]

Ответ: I_0=1,53 нА.

Задача 4. Двум воздушным плоским одинаковым конденсаторам, соединенным параллельно, сообщен заряд Q. В момент времени t=0 расстояние между пластинами первого конденсатора начинают равномерно увеличивать по закону d_1=d_0+\upsilon  t, а расстояние между пластинами второго конденсатора равномерно уменьшать по закону d_2=d_0-\upsilon t. Найти силу тока в цепи во время движения пластин.

Решение. Емкость этой системы конденсаторов равна C_1+C_2. Очевидно, что заряд каждого из них равен \frac{Q}{2}. Далее емкость одного растет, а емкость второго – уменьшается и так же ведут себя заряды. В цепи возникнет ток из зарядов, перемещающихся с пластин одного конденсатора на пластины другого.

    \[I=\frac{\Delta q }{\Delta t}=\frac{UС_0\upsilon}{d}=\frac{Q\upsilon}{2d}\]

Ответ: I=\frac{Q\upsilon}{2d}

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *