Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 26 (ГИА С6)

Задачи С6 – ОГЭ 2015. Трапеция.


1. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF=24, BF=10.

Задача 1

Сумма углов при боковой стороне трапеции, как известно, равна {180{circ}}. Каждая из биссектрис разделит свой угол пополам, поэтому сумма углов FBA и BAF будет равна {180{circ}}/2={90{circ}}, и значит, треугольник BAF – прямоугольный, и его гипотенузу АВ можно определить по теореме Пифагора: AB=sqrt{{AF}^2+{BF}^2}=sqrt{24^2+10^2}=sqrt{676}=26

Ответ: 26.

2. Боковые стороны AB  и CD трапеции ABCD равны соответственно 36 и 39, а основание ВС  равно 12. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Задача 2

Так как по условию  АК=КB=18, то точка К – один из концов средней линии. Проведем среднюю линию трапеции. Тогда L – середина CD, и CL=LD=19,5. Образовался треугольник KLD, который является равнобедренным: биссектриса KD разделит угол ADC пополам, а углы KLD и KAD равны как накрестлежащие. Тогда средняя линия этой трапеции равна 19,5, а это значит, что нижнее основание равно 27 – тогда полусумма оснований будет равна 19,5.

Проведем высоты трапеции. Высоты отсекут от нижнего основания трапеции отрезки  AM  и ND, которые мы обозначим a и b. Тогда высоту трапеции можно записать для прямоугольного треугольника ABM:

h^2=36^2-a^2

Высоту можно записать и в треугольнике CND:

h^2=39^2-b^2

Приравняем данные два выражения: 36^2-a^2=39^2-b^2

Это выражение можно переписать так: b^2-a^2=39^2-36^2

А теперь разложим правую и левую части как разность квадратов: (b+a)(b-a)=(39-36)(39+36)

Сумму отрезков a и b легко определить как разность оснований трапеции: a+b=27-12=15

Подставим данную сумму в предыдущее уравнение:   15(b-a)=3*75, или  b-a=15.

Составим систему:  delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a+b=15} {b-a=15}}}{ }

Сложив два уравнения системы, найдем:  2b=30,  b=15.

Теперь можно найти высоту трапеции и ее площадь:  h^2=36^2,  h=36.

S={1/2}(27+12)*36=702.

Ответ: 702.

3. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 9, а средняя линия равна 6.

Задача 3

Для того, чтобы решить эту задачу, сделаем “финт ушами”: перенесем диагональ BD вправо на длину верхнего основания трапеции ВС, образовав таким образом треугольник ACD’:

Сторона АС нашего треугольника является диагональю трапеции и равна 15, сторона СD’ – это вторая диагональ, равная 9. Основание треугольника AD’- сумма длин оснований трапеции, а так как нам известна средняя линия, то можно узнать и сумму оснований: 6*2=12. Таким образом, в треугольнике ACD’ мы знаем длины всех его сторон.

Теперь вернемся к цели задачи: надо определить площадь трапеции. Она равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции. Но площадь треугольника ACD’ равна половине произведения основания на высоту, а высота у него такая же, как и у трапеции, и половина основания – ни что иное, как средняя линия трапеции, или полусумма ее оснований! То есть искомая площадь трапеции и площадь треугольника ACD’ равны. Осталось найти площадь треугольника ACD’, для этого воспользуемся формулой Герона:

S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. Здесь p – полупериметр, в нашем случае половина периметра равна p={a+b+c}/2={15+9+12}/2=18

Тогда: S=sqrt{18(18-15)(18-9)(18-12)}=sqrt{18*3*9*6}=sqrt{3^4*6^2}=6*9=54

Ответ: 54.

4. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке F. Биссектрисы углов С и D при боковой стороне CD пересекаются в точке G. Найдите FG, если основания равны 16 и 30, боковые стороны 13 и 15.

Задача 4

Как уже было пояснено в задаче 1, треугольники ABF и CDG – прямоугольные, это нам пригодится попозже. А сейчас рассмотрим треугольник ABM. Он равнобедренный, так как угол ABM равен углу MBC по условию, а угол AMB равен углу MBC как накрестлежащий. Аналогично и треугольник CDN также является равнобедренным по тем же соображениям. Тогда AM=AB=13, CD=DN=15, а отрезок MN= 30-13-15=2. Так как треугольник ABM равнобедренный, а треугольник ABF – прямоугольный, то отрезок AF является высотой, а также и медианой треугольника ABM и делит его сторону BM  пополам: BF=FM. Так же DG является высотой и медианой треугольника CDN, и делит NC пополам: NG=CG. Тогда можно заметить, что FG – средняя линия трапеции BMNC, и тогда она равна полусумме оснований: FG={1/2}(BC+MN)={1/2}(16+2)=9

Ответ: 9.

5. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке E. Биссектрисы углов С и D при боковой стороне CD пересекаются в точке F. Найдите EF, если средняя линия равна 21, боковые стороны 13 и 15.

Задача 5

Решение этой задачи похоже на решение предыдущей. Опять биссектрисы отсекут равнобедренные треугольники ABM и CDN: AM=AB=13, CD=DN=15. Так как треугольник ABM равнобедренный, а треугольник ABE – прямоугольный, то отрезок AE является биссектрисой, высотой, а также и медианой треугольника ABM и делит его сторону BM  пополам: BE=EM. Так же DG является биссектрисой, высотой и медианой треугольника CDN, и делит NC пополам: NF=CF. Тогда KE – средняя линия треугольника ABM, и равна половине основания: KE={1/2}(AM)={1/2}(13)=6,5, а FT – средняя линия треугольника NCD: FT={1/2}(ND)={1/2}(15)=7,5.

Найдем EF: EF=KT-KE-ET=21-6,5-7,5=7

 

6. Углы при одном из оснований трапеции АВСD равны 53 и 37 градусов, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания трапеции.

 

Посмотрим на рисунок. Для начала предположим, что средняя линия NM=6, а вторая линия, соединяющая середины оснований HS=2.

Задача 6

В условии этой задачи самое важное – это сумма углов при основании. Если заметить, что сумма этих углов равна 90 градусам – догадаться, как решается задача, совсем просто. Достроим нашу трапецию до треугольника. Треугольник ATD – прямоугольный (по теореме о сумме углов треугольника).  Треугольники ATD, NMT, BTC подобны (по двум углам, так как углы при основаниях этих треугольников – соответственные, а прямые BC, NM, AD – параллельны по условию). Так как треугольник ATD – прямоугольный, то, если описать около него окружность, то ее центр будет лежать на середине гипотенузы AD, в точке H, AD – диаметр этой окружности. Поэтому, если провести медиану к гипотенузе AD из вершины T, то она будет равна радиусу окружности и половине AD: AH=HD=HT. Тогда треугольники ATH, NOT, BST – равнобедренные. Кроме того, ОТ – медиана треугольника NMT и разделит его основание пополам: NO=OM=OT=3. Если же OT=3, то ST=OT-OS=2. (Отрезок SO равен 1, так как OM – средняя линия трапеции HSCD, и разделит HS пополам). Так как BS=SC=ST=2, то BC=4, и тогда из теоремы о средней линии AD=8.

Если немного подумать, то понятно, что ситуация, когда отрезок HS=6, а NM=2 – невозможна.

Ответ: 4, 8.

Комментариев - 26

  • Маргарита
    |

    В решении задачи №3 получается всё хорошо, если пользоваться формулой Герона., а если проанализировать, то получается абсурд.
    В самом деле сторона треугольника АСД1 :
    АС является гипотенузой, т.к. её квадрат равен сумме квадратов сторон СД1 и АД1, 225=144+81. АС лежит против прямого угла, т.е. угол АД1С равен 90 градусам, ВС параллельна АД1 и СД1 – секущая, получается и угол ВСД1 тоже прямой (они внутренние односторонние).
    Прошу помочь мне разобраться.
    С уважением М.Н.ия

    Ответить
    • Анна
      |

      Да, задачу можно было бы решить и так: записываем высоту трапеции через диагональ и верхнее основание, а затем через вторую диагональ и нижнее основание. Тогда верхнее основание пусть b, а нижнее – a. h^2=15^2-a^2, h^2=9^2-b^2. Приравниваем: 225-a^2=81-b^2. Переносим: a^2-b^2=225-81=144. Раскладываем слева разность квадратов: (a-b)(a+b)=144. Сумма оснований равна a+b=12 (находим, зная среднюю линию). Тогда (a-b)=12! Или b=0, a=12. Выходит, что такой трапеции и не существует вовсе, а она была треугольником изначально. Но это – уже не наши с вами проблемы, а составителей пособия “ОГЭ-2015. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Под ред. Ященко”, откуда и взята эта задача.

      Ответить
  • Маргарита
    |

    Помогите решить задачу:

    Углы при одном из оснований трапеции равны 35 и 37 градусов, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны 6 и 2. найдите основания трапеции

    Ответить
    • Анна
      |

      Часто попадается такая задачка в последнее время, однако во всех вариантах, что мне встречались, сумма углов при основании равна была 90 градусам. Это существенно, так как такую трапецию можно достроить до прямоугольного треугольника, и один из упомянутых отрезков тогда обязательно придет в эту вершину, так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе – это радиус описанной окружности. При этом длина этой медианы равна половине основания (гипотенузы). Далее решение строится на подобии. Рассмотрим пока случай, когда углы 53 и 37.
      Обозначим половину верхнего основания a/2, нижнего b/2. Рассмотрим случай, когда 6 – средняя линия. Оба отрезка будут делить точкой пересечения друг друга пополам – так как один из них средняя линия. Достраиваем трапецию до треугольника. Рассматриваем верхний треугольничек, маленький. Его медиана – продолжение отрезка длиной 2 – будет равна a/2. А медиана самого большого получившегося треугольника равна b/2. Так как треугольники все у нас прямоугольные, то длина медиан равна половине гипотенузы в любом. То есть образовались три равнобедренных треугольника по одну сторону от медианы. Составляем пропорцию: (a/2):2=3:3=(b/2):4, откуда a=4; b=8. Можно проверить, что второй случай (когда средняя линия равна 2) невозможен.

      Ответить
  • Маргарита
    |

    Пожалуйста, сделайте чертёж к этой задаче.
    Маргарита

    Ответить
    • Анна
      |

      https://easy-physic.ru/zadachi-s6-oge-2015-trapetsiya/ – здесь в конце и решение, и чертеж добавила.

      Ответить
      • Маргарита
        |

        Площадь треугольника равна 80. Биссектриса АД пересекает медиану ВК в точке Е, при этом ВД:СД=1:3. Найдите площадь четырёхугольника ЕДСК.

        Ответить
        • Маргарита
          |

          Прошу помочь решить задачу:
          Площадь треугольника равна 80. Биссектриса АД пересекает медиану ВК в точке Е, при этом ВД:СД=1:3. Найдите площадь четырёхугольника ЕДСК.

          Ответить
          • Анна
            |

            Я уже ответила на этот комментарий выше, по ссылке выложено решение.

            Ответить
  • Маргарита
    |

    Помогите решить уравнение:
    корень кубический из выражения 3х2+8х +10 равен х

    Ответить
    • Анна
      |

      Возводим все уравнение в куб. Получаем: x^3-3x^2-8x-10=0.
      Если есть целые корни, то они среди делителей числа (-10) – свободного члена уравнения. Делителями -10 являются: 1, -1, 2, -2, 5, -5, 10, -10. По схеме Горнера https://easy-physic.ru/shema-gornera/ определяем, что данный многочлен делится на (x-5). То есть получили (x-5)(x^2+2x+2)=0 Это уравнение имеет корень 5 и еще два мнимых, но мы их рассматривать не будем (многочлен x^2+2x+2 имеет отрицательный знаменатель).
      Ответ: 5
      Когда о чем-либо просишь, принято пользоваться словом “пожалуйста”.

      Ответить
  • Маргарита
    |

    Прошу меня извинить.

    Ответить
  • Маргарита
    |

    Помогите пожалуйста решить задачу:
    В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки
    С и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки Е до прямой СD, если AD=15, BC=12.

    Ответить
  • Виктор
    |

    Предлагаю решить задачу № 4 с теми же боковыми сторонами, но с основаниями 6 и 20.

    Ответить
    • Анна
      |

      Легко. В этом случае наши биссектрисы пересекутся внутри трапеции, а не вне ее, как на моем рисунке. Но в целом решение точно такое же до места, где устанавливается, что отрезок ЕF – часть средней линии трапеции. Тогда основание AM треугольника AMD равно 13, а его средняя линия – 6,5. Аналогично основание треугольника ABM ND=15, а его средняя линия 7,5. Средняя линия трапеции равна (6+20)/2=13. Тогда точки E и F поменяются местами: E будет справа, а F – слева, и расстояние между ними равно 1: 13-(6,5+7,5)=-1, минус как раз и говорит о том, что точки поменялись местами.

      Ответить
  • Ян
    |

    Помогите пожалуйста.
    Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 21 км/ч. Через час после него со скоростью 15 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час – третий. Найдите скорость третьего, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого.

    Ответить
  • ольга
    |

    пожалуйста объясните почему если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции 12 и 10, то за среднюю линию надо брать больший, т.е. 12?

    Ответить
    • Анна
      |

      Я взяла сначала навскидку, наугад. А потом расчетом показала, что случай с 10 – невозможен.

      Ответить
  • дмитрий
    |

    тоже обратил внимание на треугольную сущность этой трапеции-из огэ-2015 где сл=6,диагонали 15 и 9 и надо площадь найти=)
    но ведь треугольник и трапеция это брат и сестра родные (см формулу площади), так что составители огэ не так уж и неправы=)
    если серьёзно ,то это хорошая тема для факультатива,а в экзаменационных материалах такая двусмысленность как в этой задаче недопустима

    Ответить
  • дмитрий
    |

    тоже весёлая задача-про трёх велосипедистов!! велосипедист ,который грубо говоря 12 часов с седла не слезает!!=)=) такое бывает только в задачах=) ведь про остановки там не сказано=)

    Ответить
  • Ян
    |

    В трапеции АВСД боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и Д и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние
    от точки Е до прямой СД, если АД=6, ВС=5

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *