Свойство биссектрисы: биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, отношение длин которых равно отношению сторон, образующих угол.
1. Площадь треугольника АВС равна 60. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке Е, при этом BD:CD=1:2. Найдите площадь четырехугольника EDCK.
Задача 1
Медиана BK разделит основание АС на два равных отрезка: АК=КС, поэтому площади треугольников АВК и ВКС равны: 
.
Так как BD:CD=1:2, то площадь треугольника ABD вдвое меньше площади треугольника АDC, ведь высота этих треугольников одинаковая: 
, 
, 
.
Проведем отрезок KD, рассмотрим треугольники AKD и KDC. Их высоты равны, и равны основания – следовательно, у них одинаковая площадь:
.
Площадь треугольника BDK равна 10 (можно найти ее как разность площадей треугольников BKC и KDC).
Теперь надо определить площадь треугольника EDK – и дело в шляпе. Заметим, что площади треугольников ABD и ADK равны, а ведь у них общее основание – это отрезок AD. 
Но тогда равны и их высоты! А высоты этих треугольников являются высотами треугольников EBD и EDK, и получается, что ED – общее основание последних и высоты одинаковые – а значит, площади треугольников EBD и EDK равны, и равны они половине площади треугольника BDK: 
, тогда площадь четырехугольника EDCK равна 25: 
.
Ответ: 25.
2. Биссектриса угла А треугольника АВС делит медиану, проведенную из вершины В, в отношении 5:4, считая от вершины В. В каком отношении, считая от вершины С, эта биссектриса делит медиану, проведенную из вершины С?
Задача 2
Рассмотрим треугольник АВЕ. Так как BO:OE=5:4, то, по свойству биссектрисы, стороны относятся также: AB:AE=5:4. Тогда пусть AE=4y, AB=5y. Так как BE – медиана и AE=EC, то АС=8y. CF – также медиана, то есть AF=FB. так как АВ=5y, то AF=FB=2,5y. Тогда в треугольнике AFC отношение сторон AF:AC=2,5y:8y=5:16.
Ответ: FS:SC=5:16
3. В треугольнике АВС биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины В в отношении 13:12, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС=10.
Задача 3
По свойству биссектрисы, отношение сторон треугольника ABH AB:AH=13:12, тогда можно обозначить AB за 13x, а AH за 12х. Так как треугольник ABH прямоугольный, то, зная катет и гипотенузу, можно найти по теореме Пифагора второй катет: 
. Тогда можно просто определить синус угла А: 
, а, зная синус, воспользоваться теоремой синусов: 
, откуда 
Комментариев - 2
К задаче № 1. Поскольку ВD : DС = 1 : 2, то и АВ : АС = 1 : 2, поэтому АВ = АК, т.е. треугольник КАВ равнобедренный (к сожалению, приведенный чертеж не соответствует заданным параметрам), и биссектриса АЕ является высотой, отсюда треугольники ВЕА и КЕА равны, площадь каждого 60 : 2 : 2 = 15. Из площади тр-ка АDС (60 * 2/3 = 40) вычитаем площадь тр-ка КЕА и получаем искомую площадь: 40 – 15 = 25.
Да, это решение лучше, чем мое!