Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 26 (ГИА С6)

Задачи С6 – ОГЭ 2015. Свойства биссектрисы.


Свойство биссектрисы: биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, отношение длин которых равно отношению сторон, образующих угол.

1. Площадь треугольника АВС равна 60. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке Е, при этом BD:CD=1:2. Найдите площадь четырехугольника EDCK.

Задача 1

Медиана BK разделит основание АС на два равных отрезка: АК=КС, поэтому площади треугольников АВК и ВКС равны: S_{Delta}ABK=S_{Delta}BKC=30.

Так как  BD:CD=1:2, то площадь треугольника ABD вдвое меньше площади треугольника АDC, ведь высота этих треугольников одинаковая: 2S_{Delta}ABD=S_{Delta}ADCS_{Delta}ABD=20, S_{Delta}ADC=40.

Проведем отрезок KD, рассмотрим треугольники AKD  и KDC. Их высоты равны, и равны основания – следовательно, у них одинаковая площадь:

S_{Delta}ADK=S_{Delta}KDC=20.

Площадь треугольника BDK равна 10 (можно найти ее как разность площадей треугольников BKC и KDC).

Теперь надо определить площадь треугольника EDK – и дело в шляпе. Заметим, что площади треугольников ABD  и ADK равны, а ведь у них общее основание – это отрезок AD. Но тогда равны и их высоты!  А высоты этих треугольников являются высотами треугольников EBD и EDK, и получается, что ED – общее основание последних и высоты одинаковые – а значит, площади треугольников EBD и EDK равны, и равны они половине площади треугольника BDK: S_{Delta}EBD=S_{Delta}EDK=5, тогда площадь четырехугольника EDCK равна 25: S_EDCK=S_{Delta}KDC+S_{Delta}EDK=20+5=25.

Ответ: 25.

 

2. Биссектриса угла А треугольника АВС делит медиану, проведенную из вершины В, в отношении 5:4, считая от вершины В. В каком отношении, считая от вершины С, эта биссектриса делит медиану, проведенную из вершины С?

Задача 2

Рассмотрим треугольник АВЕ. Так как BO:OE=5:4, то, по свойству биссектрисы, стороны относятся также: AB:AE=5:4. Тогда пусть AE=4y, AB=5y. Так как BE – медиана и AE=EC, то АС=8y. CF – также медиана, то есть AF=FB. так как АВ=5y, то AF=FB=2,5y. Тогда в треугольнике AFC отношение сторон AF:AC=2,5y:8y=5:16.

Ответ: FS:SC=5:16

3. В треугольнике АВС биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины В в отношении 13:12, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС=10.

Задача 3

По свойству биссектрисы, отношение сторон треугольника ABH AB:AH=13:12, тогда можно обозначить AB за 13x, а AH за 12х. Так как треугольник ABH прямоугольный, то, зная катет и гипотенузу, можно найти по теореме Пифагора второй катет: BH=sqrt{AB^2-AH^2}=sqrt{(13x)^2-(12x)^2}=5x. Тогда можно просто определить синус угла А: sin A={5x}/{13x}=5/13, а, зная синус, воспользоваться теоремой синусов: 2R=BC/{sin A}, откуда R=BC/{2*{sin A}}=10/{2*{5/13}}=13

Комментариев - 2

  • Виктор
    |

    К задаче № 1. Поскольку ВD : DС = 1 : 2, то и АВ : АС = 1 : 2, поэтому АВ = АК, т.е. треугольник КАВ равнобедренный (к сожалению, приведенный чертеж не соответствует заданным параметрам), и биссектриса АЕ является высотой, отсюда треугольники ВЕА и КЕА равны, площадь каждого 60 : 2 : 2 = 15. Из площади тр-ка АDС (60 * 2/3 = 40) вычитаем площадь тр-ка КЕА и получаем искомую площадь: 40 – 15 = 25.

    Ответить
    • Анна
      |

      Да, это решение лучше, чем мое!

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *