Задачи С6 – ОГЭ 2015. Подобие.

Задачи на подобие – это, без преувеличения, самые сложные задачи в геометрии. И дело не в расчете, а в том, чтобы это подобие увидеть – это и есть самая большая сложность. Попробуем решить пару таких задач, в которых подобие углядеть действительно сложно.

1. На стороне ВС остроугольного треугольника АВС  (AB не равно AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке М, , H – точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Детализация чертежа

Задача 1

Сделаем чертеж. Когда я его делала впервые, я, конечно, провела высоты треугольника – ведь речь шла о точке их пересечения. Высоты соединили вершины треугольника с точками пересечения окружности и сторон треугольника – ведь вписанные углы, опирающиеся на диаметр, равны . Я подумала также и о том, что угол ВМС будет прямым тоже, но рисовать треугольник ВМС не стала – и задача долго не решалась. Да и когда я нарисовала этот треугольник, решение тоже пришло не сразу – не замечалось подобие.

Давайте рассмотрим треугольник ВМС поближе. Высота МD делит его на два подобных треугольника: BMD и DMC (подобие по двум углам). Для этих двух треугольников можем записать: , или , .

Теперь наша задача найти еще подобные треугольники, и она отнюдь не простая. Обратим внимание на равенство вертикальных углов . Если это заметить, то понятно, что треугольники  AQH и DHC подобны, а кроме того, подобны и треугольники AQH и ABD. Тогда для последних можно записать: ,  откуда . Уже теперь мы можем, наконец, вычислить интересующий нас отрезок: , .

Ответ: 30.

2. В треугольнике АВС известны длины сторон  , точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Тоже совсем непростая задача. Нарисуем чертеж.

Точку пересечения прямых АО и BD обозначим буквой T. Рассмотрим треугольник АОС. Он равнобедренный (его стороны – радиусы окружности), и его угол AOC является центральным углом. Так как центральный угол вдвое больше, чем вписанный, то угол AOC вдвое больше угла В треугольника АВС. Если в треугольнике АОС провести высоту из вершины О, то она также будет являться медианой и биссектрисой, и разделит угол АОС на два равных угла: AON и NOC, каждый из этих углов равен углу В треугольника АВС: , , .

Задача 2

Треугольник AON прямоугольный, обозначим его второй острый угол  . Тогда в треугольнике AON , или . Тогда в треугольнике ATN, который является прямоугольным по условию, угол . Это показывает, что треугольник ABD подобен треугольнику ABC по двум углам: равенство двух мы только что доказали, а угол А у них – общий. Для этих подобных треугольников запишем отношение длин их сторон: , или , .

Ответ: 39.

3. В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой СD, если AD=15, BC=12.

Задача 3

Рассмотрим рисунок. Здесь важно, что CD не является диаметром окружности. Найти нужно длину красного отрезка, который перпендикулярен CD. Точка H – пересечение продолжений боковых сторон трапеции, рисовать само продолжение я не стала. Обозначим угол при вершине H треугольника AHD за .

Из точки С опустим высоту СT. Рассмотрим треугольники AHD и CTD. Они подобны по двум углам: оба прямоугольные и угол TCD равен . Составим для них отношение сторон: . , тогда , . Можем записать: .

Вот он и наступил – момент, когда так нужно заметить НУЖНОЕ подобие! А именно: если присмотреться, то треугольник EGH также подобен треугольникам AHD и TCD, как и треугольнику HBC.Треугольник EGH также прямоугольный и при вершине Н имеет общий угол с треугольником AHD. Тогда для треугольников отношение сторон:  , , откуда  . Для треугольников HBC и EGH отношение сторон:  , .

Ответ: .