Задачи на подобие – это, без преувеличения, самые сложные задачи в геометрии. И дело не в расчете, а в том, чтобы это подобие увидеть – это и есть самая большая сложность. Попробуем решить пару таких задач, в которых подобие углядеть действительно сложно.
1. На стороне ВС остроугольного треугольника АВС (AB не равно AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке М, , H – точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Детализация чертежа

Задача 1
Сделаем чертеж. Когда я его делала впервые, я, конечно, провела высоты треугольника – ведь речь шла о точке их пересечения. Высоты соединили вершины треугольника с точками пересечения окружности и сторон треугольника – ведь вписанные углы, опирающиеся на диаметр, равны . Я подумала также и о том, что угол ВМС будет прямым тоже, но рисовать треугольник ВМС не стала – и задача долго не решалась. Да и когда я нарисовала этот треугольник, решение тоже пришло не сразу – не замечалось подобие.
Давайте рассмотрим треугольник ВМС поближе. Высота МD делит его на два подобных треугольника: BMD и DMC (подобие по двум углам). Для этих двух треугольников можем записать: , или
,
.
Теперь наша задача найти еще подобные треугольники, и она отнюдь не простая. Обратим внимание на равенство вертикальных углов . Если это заметить, то понятно, что треугольники AQH и DHC подобны, а кроме того, подобны и треугольники AQH и ABD. Тогда для последних можно записать:
, откуда
. Уже теперь мы можем, наконец, вычислить интересующий нас отрезок:
,
.
Ответ: 30.
2. В треугольнике АВС известны длины сторон , точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
Тоже совсем непростая задача. Нарисуем чертеж.
Точку пересечения прямых АО и BD обозначим буквой T. Рассмотрим треугольник АОС. Он равнобедренный (его стороны – радиусы окружности), и его угол AOC является центральным углом. Так как центральный угол вдвое больше, чем вписанный, то угол AOC вдвое больше угла В треугольника АВС. Если в треугольнике АОС провести высоту из вершины О, то она также будет являться медианой и биссектрисой, и разделит угол АОС на два равных угла: AON и NOC, каждый из этих углов равен углу В треугольника АВС: ,
,
.

Задача 2
Треугольник AON прямоугольный, обозначим его второй острый угол . Тогда в треугольнике AON
, или
. Тогда в треугольнике ATN, который является прямоугольным по условию, угол
. Это показывает, что треугольник ABD подобен треугольнику ABC по двум углам: равенство двух мы только что доказали, а угол А у них – общий. Для этих подобных треугольников запишем отношение длин их сторон:
, или
,
.
Ответ: 39.
3. В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой СD, если AD=15, BC=12.

Задача 3
Рассмотрим рисунок. Здесь важно, что CD не является диаметром окружности. Найти нужно длину красного отрезка, который перпендикулярен CD. Точка H – пересечение продолжений боковых сторон трапеции, рисовать само продолжение я не стала. Обозначим угол при вершине H треугольника AHD за .
Из точки С опустим высоту СT. Рассмотрим треугольники AHD и CTD. Они подобны по двум углам: оба прямоугольные и угол TCD равен . Составим для них отношение сторон:
.
, тогда
,
. Можем записать:
.
Вот он и наступил – момент, когда так нужно заметить НУЖНОЕ подобие! А именно: если присмотреться, то треугольник EGH также подобен треугольникам AHD и TCD, как и треугольнику HBC.Треугольник EGH также прямоугольный и при вершине Н имеет общий угол с треугольником AHD. Тогда для треугольников отношение сторон: ,
, откуда
. Для треугольников HBC и EGH отношение сторон:
,
.
Ответ: .
Я просто потрясен объемом материала.Трудно представить,что все это сделано одним...
Спасибо, Азат. Суть решения от этого не изменилась, ответ...
В задаче №3 в решении арифметическая ошибка при подсчете t2. Написано у вас что...
Здесь...
Здравствуйте, а где можно посмотреть разбор заданий 1-24 от...