Задачи С6 – ОГЭ 2015. Окружности.

1. Две касающиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 22 и 33, касаются сторон угла с вершиной А. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Задача 1

Нарисуем чертеж:

Вспоминаем, что радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Именно поэтому отрезки ОК и KS лежат на одной прямой, а углы BNS  и BMO – прямые.  Тогда треугольник АМО подобен треугольнику ANS (по двум углам). Обозначим отрезок АО за х. Тогда можно составить пропорцию  для этих двух треугольников: , или . Из этой пропорции найдем х: , . Отсюда .  Теперь в треугольнике АМО известна гипотенуза и один катет, поэт ому можем определить синус угла MAO: . Зная синус, определим косинус угла MAO: . Если же известны синус и косинус угла, то можно найти синус двойного угла (синус угла BAC): . Найти радиус описанной окружности легко по теореме синусов, если узнать длину стороны ВС треугольника АВС (или длину отрезка ВК, и потом умножить ее на 2). Треугольник АВК подобен треугольнику АМО по двум углам, и подобен треугольнику ANS (треугольник АВС прямоугольный, так как АК – высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Составим пропорцию для подобных треугольников АВК и АМО: , или  – вычисляем АМ по теореме Пифагора. Тогда , . Наконец дошло дело и до теоремы синусов: , .

Ответ: 68,75

2. Окружности радиусов 12 и 52 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки C  и D – на второй.  При этом АС и BD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и CD. 

Задача похожа на предыдущую. Искомое расстояние FK можно найти, определив длины отрезков FN  и KO. Тогда .

Задача 2

Треугольники TAB  и TCD – равнобедренные (по свойствам секущих, проведенных из одной точки). Треугольники TAN и TCO – прямоугольные и подобны по двум углам. Составляем для них пропорцию: , или, если обозначить TN за х, то . Тогда .  Треугольники TAN и FAN подобны (по двум углам), угол FAN равен углу ATN, тогда равны и их синусы. Треугольник FAN подобен также треугольнику KOC. Тогда , или . Из этой пропорции находим , . Окончательно находим  .

Ответ: 39.

3. Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР. Радиус окружности, вписанной в треугольник ВСР, равен 96, тангенс угла ВАС равен 8/15. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Задача 3

Известный тангенс угла дает отношение сторон треугольника BCP. Их, например, можно обозначить: . Тогда по теореме Пифагора . Далее нам даже необязательно знать длины сторон – хотя в этой задаче их можно найти, зная радиус вписанной окружности и воспользовавшись формулой Герона. Нам понадобятся не длины сторон, а их отношение, то есть коэффициент подобия треугольников ABC и BCP. Он равен 17:8. Тогда , или .

Ответ: 204.