Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 26 (ГИА С6)

Задачи С6 – ОГЭ 2015. Окружности.


1. Две касающиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 22 и 33, касаются сторон угла с вершиной А. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Задача 1

Нарисуем чертеж:

Вспоминаем, что радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Именно поэтому отрезки ОК и KS лежат на одной прямой, а углы BNS  и BMO – прямые.  Тогда треугольник АМО подобен треугольнику ANS (по двум углам). Обозначим отрезок АО за х. Тогда можно составить пропорцию  для этих двух треугольников: NS:MO=AS:AO, или 33/22=(55+x)/x. Из этой пропорции найдем х: 3/2=(55+x)/x3x=2(55+x). Отсюда x=AO=110.  Теперь в треугольнике АМО известна гипотенуза и один катет, поэт ому можем определить синус угла MAO: sin MAO=MO/AO=22/110=0,2. Зная синус, определим косинус угла MAO: cos MAO=sqrt{1-(sin MAO)^2}=sqrt{1-0,04}={2*sqrt{6}}/5. Если же известны синус и косинус угла, то можно найти синус двойного угла (синус угла BAC): 2*sin MAO*cos MAO=sin BAC=2*{0,2}*{2*sqrt{6}}/5={4*sqrt{6}}/25. Найти радиус описанной окружности легко по теореме синусов, если узнать длину стороны ВС треугольника АВС (или длину отрезка ВК, и потом умножить ее на 2). Треугольник АВК подобен треугольнику АМО по двум углам, и подобен треугольнику ANS (треугольник АВС прямоугольный, так как АК – высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Составим пропорцию для подобных треугольников АВК и АМО: BK:MO=AK:AM, или BK/22=132/sqrt{110^2-22^2} – вычисляем АМ по теореме Пифагора. Тогда BK=132*22/{44sqrt{6}}=11sqrt{6}BC=22sqrt{6}. Наконец дошло дело и до теоремы синусов: BC/{sin{BAC}}=2RR={BC}/{2*sin{BAC}}={22*sqrt{6}/2}*25/{4*sqrt{6}}=275/4=68,75.

Ответ: 68,75

2. Окружности радиусов 12 и 52 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки C  и D – на второй.  При этом АС и BD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и CD. 

Задача похожа на предыдущую. Искомое расстояние FK можно найти, определив длины отрезков FN  и KO. Тогда FK=NO+FN-KO.

Задача 2

Треугольники TAB  и TCD – равнобедренные (по свойствам секущих, проведенных из одной точки). Треугольники TAN и TCO – прямоугольные и подобны по двум углам. Составляем для них пропорцию: CO:AN=TO:TN, или, если обозначить TN за х, то 52/12=(64+x)/x. Тогда TN=x=19,2.  Треугольники TAN и FAN подобны (по двум углам), угол FAN равен углу ATN, тогда равны и их синусы. Треугольник FAN подобен также треугольнику KOC. Тогда AN/TN=FN/AN=KO/OC, или 12/{19,2}=FN/12=KO/52. Из этой пропорции находим FN=7,5KO=32,5. Окончательно находим  FK=NO+FN-KO=(12+52)+7,5-32,5=64-25=39.

Ответ: 39.

3. Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР. Радиус окружности, вписанной в треугольник ВСР, равен 96, тангенс угла ВАС равен 8/15. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Задача 3

Известный тангенс угла дает отношение сторон треугольника BCP. Их, например, можно обозначить: PB=8x; PC=15x. Тогда по теореме Пифагора CB=sqrt{(8x)^2+(15x)^2}=17x. Далее нам даже необязательно знать длины сторон – хотя в этой задаче их можно найти, зная радиус вписанной окружности и воспользовавшись формулой Герона. Нам понадобятся не длины сторон, а их отношение, то есть коэффициент подобия треугольников ABC и BCP. Он равен 17:8. Тогда {r_{ABC}}/{r_{BCP}}=17/8, или {r_ABC}={17/8}*{r_{BCP}}=96*{17/8}=204.

Ответ: 204.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *