1. Две касающиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 22 и 33, касаются сторон угла с вершиной А. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Задача 1
Нарисуем чертеж:
Вспоминаем, что радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Именно поэтому отрезки ОК и KS лежат на одной прямой, а углы BNS и BMO – прямые. Тогда треугольник АМО подобен треугольнику ANS (по двум углам). Обозначим отрезок АО за х. Тогда можно составить пропорцию для этих двух треугольников: , или
. Из этой пропорции найдем х:
,
. Отсюда
. Теперь в треугольнике АМО известна гипотенуза и один катет, поэт ому можем определить синус угла MAO:
. Зная синус, определим косинус угла MAO:
. Если же известны синус и косинус угла, то можно найти синус двойного угла (синус угла BAC):
. Найти радиус описанной окружности легко по теореме синусов, если узнать длину стороны ВС треугольника АВС (или длину отрезка ВК, и потом умножить ее на 2). Треугольник АВК подобен треугольнику АМО по двум углам, и подобен треугольнику ANS (треугольник АВС прямоугольный, так как АК – высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Составим пропорцию для подобных треугольников АВК и АМО:
, или
– вычисляем АМ по теореме Пифагора. Тогда
,
. Наконец дошло дело и до теоремы синусов:
,
.
Ответ: 68,75
2. Окружности радиусов 12 и 52 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки C и D – на второй. При этом АС и BD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и CD.
Задача похожа на предыдущую. Искомое расстояние FK можно найти, определив длины отрезков FN и KO. Тогда .

Задача 2
Треугольники TAB и TCD – равнобедренные (по свойствам секущих, проведенных из одной точки). Треугольники TAN и TCO – прямоугольные и подобны по двум углам. Составляем для них пропорцию: , или, если обозначить TN за х, то
. Тогда
. Треугольники TAN и FAN подобны (по двум углам), угол FAN равен углу ATN, тогда равны и их синусы. Треугольник FAN подобен также треугольнику KOC. Тогда
, или
. Из этой пропорции находим
,
. Окончательно находим
.
Ответ: 39.
3. Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР. Радиус окружности, вписанной в треугольник ВСР, равен 96, тангенс угла ВАС равен 8/15. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Задача 3
Известный тангенс угла дает отношение сторон треугольника BCP. Их, например, можно обозначить: . Тогда по теореме Пифагора
. Далее нам даже необязательно знать длины сторон – хотя в этой задаче их можно найти, зная радиус вписанной окружности и воспользовавшись формулой Герона. Нам понадобятся не длины сторон, а их отношение, то есть коэффициент подобия треугольников ABC и BCP. Он равен 17:8. Тогда
, или
.
Ответ: 204.
...
Да, спасибо, почему-то иногда право и лево... хм... меняются...
Добрый час! Во втором примере небольшая несозвучность: функции на графике...
Здравствуйте, насчет задачи №4. Вы пишите, что c=h1*cos(beta), но это неверно, потому что...
Рассматривается произвольный случай, когда точки приземления и броска не на...