Задачи с реального ЕГЭ 2020 - сложности вычислений

Задачи с реального ЕГЭ 2020 – сложности вычислений

Все представленные задачи – с реального ЕГЭ 2020. Они попались моим ученикам. Все они одинаковы, но неодинаковые численные данные заставили некоторых отказаться от их решения, что очень обидно – сама-то задача очень простая! Вывод: учитесь быстро считать, и особенно – извлекать корень из шестизначного числа!

Задача 1. Основная волна 10.07.2020 (Адыгея)

В июле 2020 года планируется взять кредит сроком на 5 лет в размере 220 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

– в июле 2021, 2022 и 2023 годов долг остается равным 220 тыс. руб.;

– суммы выплат 2024 и 2025 годов равны.

Найдите $r$ , если в 2025 году долг будет полностью выплачен и общие выплаты составят 420 тыс. руб.

Решение. $S=220$ тыс. руб. – тело кредита, $R=1+\frac{r}{100}$ . В 24 и 25 годах выплаты по $x$ рублей.

Всего три раза выплачивались проценты и было две одинаковых выплаты по $x$ :

$\frac{r}{100}\cdot S\cdot 3+2x=420$

Преобразуем:

$\left( \frac{r}{100}+1\right)\cdot S\cdot 3-3S+2x=420$

$3RS-3S+2x=420$

$2x=420+3S-3RS$

$2x=1080-660R$

$x=540-330R$

Составим уравнение для последних двух выплат:

$(SR-x)R-x=0$

$SR^2-xR-x=0$

$SR^2=x(R+1)$

Подставим полученный ранее $x$ :

$220R^2=(540-330R )(R+1)$

И решим это уравнение:

$22R^2=(54-33R )(R+1)$

$22R^2=54R+54-33R^2-33R$

$55R^2-21R-54=0$

$D=(-21)^2+4\cdot 55\cdot 54=441+11880=12321$

$R=\frac{21\pm 111}{110}=1,2$

$r=20$

Ответ: 20%

Задача 2. В июле 2020 года планируется взять кредит сроком на 5 лет в размере 630 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

– в июле 2021, 2022 и 2023 годов долг остается равным 630 тыс. руб.;

– суммы выплат 2024 и 2025 годов равны.

Найдите $r$ , если в 2025 году долг будет полностью выплачен и общие выплаты составят 915 тыс. руб.

Решение. $S=630$ тыс. руб. – тело кредита, $R=1+\frac{r}{100}$ . В 24 и 25 годах выплаты по $x$ рублей.

Всего три раза выплачивались проценты и было две одинаковых выплаты по $x$ :

$\frac{r}{100}\cdot S\cdot 3+2x=915$

Преобразуем:

$\left( \frac{r}{100}+1\right)\cdot S\cdot 3-3S+2x=915$

$3RS-3S+2x=915$

$2x=915+3S-3RS$

$2x=2805-1890R$

$x=1402,5-945R$

Составим уравнение для последних двух выплат:

$(SR-x)R-x=0$

$SR^2-xR-x=0$

$SR^2=x(R+1)$

Подставим полученный ранее $x$ :

$630R^2=(1402,5-945R)(R+1)$

И решим это уравнение:

$630R^2=1402,5R+1402,5-945R^2-945R$

$1575R^2-457,5R-1402,5=0$

Домножим на 2:

$3150R^2-915R-2805=0$

Разделим на 5:

$630R^2-183R-561=0$

Разделим на 3:

$210R^2-61R-187=0$

Дискриминант:

$D=(-61)^2+4\cdot 187\cdot 210=3721+157080=160801$

Ребята, здесь один совет: либо учитесь быстро подбирать корень, либо учитесь вычислять корень в столбик. В конце концов, можно потратить 5 минут на разложение на множители.

$R=\frac{61\pm 401}{420}=1,1$