Задачи с реального ЕГЭ 2020 – сложности вычислений

[latexpage]

Все представленные задачи – с реального ЕГЭ 2020. Они попались моим ученикам. Все они одинаковы, но неодинаковые численные данные заставили некоторых отказаться от их решения, что очень обидно – сама-то задача очень простая! Вывод: учитесь быстро считать, и особенно – извлекать корень из шестизначного числа!

Задача 1.  Основная волна 10.07.2020 (Адыгея)

В июле 2020 года планируется взять кредит сроком на 5 лет в размере 220 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $r$% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

– в июле 2021, 2022 и 2023 годов долг остается равным 220 тыс. руб.;

– суммы выплат 2024 и 2025 годов равны.

Найдите $r$, если в 2025 году долг будет полностью выплачен и общие выплаты составят 420 тыс. руб.

Решение. $S=220$ тыс. руб. – тело кредита, $R=1+\frac{r}{100}$. В 24 и 25 годах выплаты по $x$ рублей.

Всего три раза выплачивались проценты и было две одинаковых выплаты по $x$:

$$ \frac{r}{100}\cdot S\cdot 3+2x=420$$

Преобразуем:

$$\left( \frac{r}{100}+1\right)\cdot S\cdot 3-3S+2x=420$$

$$3RS-3S+2x=420$$

$$2x=420+3S-3RS$$

$$2x=1080-660R$$

$$x=540-330R$$

Составим уравнение для последних двух выплат:

$$(SR-x)R-x=0$$

$$SR^2-xR-x=0$$

$$SR^2=x(R+1)$$

Подставим полученный ранее $x$:

$$220R^2=(540-330R )(R+1)$$

И решим это уравнение:

$$22R^2=(54-33R )(R+1)$$

$$22R^2=54R+54-33R^2-33R$$

$$55R^2-21R-54=0$$

$$D=(-21)^2+4\cdot 55\cdot 54=441+11880=12321$$

$$R=\frac{21\pm 111}{110}=1,2$$

$$r=20$$

Ответ: 20%

Задача 2. В июле 2020 года планируется взять кредит сроком на 5 лет в размере 630 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $r$% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

– в июле 2021, 2022 и 2023 годов долг остается равным 630 тыс. руб.;

– суммы выплат 2024 и 2025 годов равны.

Найдите $r$, если в 2025 году долг будет полностью выплачен и общие выплаты составят 915 тыс. руб.

Решение. $S=630$ тыс. руб. – тело кредита, $R=1+\frac{r}{100}$. В 24 и 25 годах выплаты по $x$ рублей.

Всего три раза выплачивались проценты и было две одинаковых выплаты по $x$:

$$ \frac{r}{100}\cdot S\cdot 3+2x=915$$

Преобразуем:

$$\left( \frac{r}{100}+1\right)\cdot S\cdot 3-3S+2x=915$$

$$3RS-3S+2x=915$$

$$2x=915+3S-3RS$$

$$2x=2805-1890R$$

$$x=1402,5-945R$$

Составим уравнение для последних двух выплат:

$$(SR-x)R-x=0$$

$$SR^2-xR-x=0$$

$$SR^2=x(R+1)$$

Подставим полученный ранее $x$:

$$630R^2=(1402,5-945R)(R+1)$$

И решим это уравнение:

$$630R^2=1402,5R+1402,5-945R^2-945R$$

$$1575R^2-457,5R-1402,5=0$$

Домножим на 2:

$$3150R^2-915R-2805=0$$

Разделим на 5:

$$630R^2-183R-561=0$$

Разделим на 3:

$$210R^2-61R-187=0$$

Дискриминант:

$$D=(-61)^2+4\cdot 187\cdot 210=3721+157080=160801$$

Ребята, здесь один совет: либо учитесь быстро подбирать корень, либо учитесь вычислять корень в столбик. В конце концов, можно потратить 5 минут на разложение на множители.

$$R=\frac{61\pm 401}{420}=1,1$$

$$r=10$$

Ответ: 10%

И еще одна такая задача, только числа другие:

Задача 3. В июле 2020 года планируется взять кредит сроком на 5 лет в размере 432 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $r$% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

– в июле 2021, 2022 и 2023 годов долг остается равным 432 тыс. руб.;

– суммы выплат 2024 и 2025 годов равны.

Найдите $r$, если в 2025 году долг будет полностью выплачен и общие выплаты составят 924 тыс. руб.

Решение. $S=432$ тыс. руб. – тело кредита, $R=1+\frac{r}{100}$. В 24 и 25 годах выплаты по $x$ рублей.

Всего три раза выплачивались проценты и было две одинаковых выплаты по $x$:

$$ \frac{r}{100}\cdot S\cdot 3+2x=924$$

Преобразуем:

$$\left( \frac{r}{100}+1\right)\cdot S\cdot 3-3S+2x=924$$

$$3RS-3S+2x=924$$

$$2x=924+3S-3RS$$

$$2x=2220-1296R$$

$$x=1110-648R$$

Составим уравнение для последних двух выплат:

$$(SR-x)R-x=0$$

$$SR^2-xR-x=0$$

$$SR^2=x(R+1)$$

Подставим полученный ранее $x$:

$$432R^2=(1110-648R)(R+1)$$

И решим это уравнение:

$$432R^2=1110R+1110-648R^2-648R$$

$$1080R^2-462R-1110=0$$

Разделим на 2:

$$540R^2-231R-555=0$$

Разделим на 3:

$$180R^2-77R-185=0$$

Дискриминант:

$$D=(-77)^2+4\cdot 185\cdot 180=5929+133200=139129$$

Ребята, здесь один совет: либо учитесь быстро подбирать корень, либо учитесь вычислять корень в столбик. В конце концов, можно потратить 5 минут на разложение на множители.

$$R=\frac{77\pm 373}{360}=1,25$$

$$r=25$$

Ответ: 25%.