Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать графически.
Задача 1. Найти все , при которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке . (ЕГЭ-2017, основная волна).
, если
.
Скобка обращается в ноль только при . Если
.
Если – корни совпадают.
Итак, в ответ .
Графически: строим прямую , строим вертикальные прямые
– то есть такие значения
, когда синус и косинус равны. Но нас интересует только облаcть под прямой
, так как
, и нас интересует отрезок
. Поэтому сотрем все отрезки вне этих областей. Остались только те, что показаны на рисунке рыжим цветом. Теперь, положив на рисунок линейку горизонтально и двигая ее вверх по рисунку, находим ответ.

Графическое решение – к задаче 1
Ответ: .
Задача 2. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно 1 корень на отрезке . (ЕГЭ-2017, основная волна).
Ограничения:
Если , то
,
.
Скобка равна нулю, когда
Корни совпадают, если
По ограничениям все хорошо, поэтому берем в ответ.
– корень. Проверим ОДЗ: по первому условию
– выполняется.
По второму условию
По третьему условию:
Также ограничение возникает
Таким образом,
– корень. Проверяем ОДЗ:
По первому условию
По второму условию
По третьему условию (можно было и не проверять, логарифмы равны – поэтому условия совпадают):
Таким образом,
Получаем окончательно, что .
Графически: строим ОДЗ – бежевым цветом показана. Все прямые – пунктиры, потому что неравенства строгие.

Графическое решение – к задаче 2
Находим координату пересечения c
Находим пересечение и
– условие равенства логарифмов.
Между и
имеется ровно 1 корень.

Задача 2. Решение.
Ответ: .
Задача 3. Найдите все , при которых уравнение
Имеет ровно один корень на отрезке . (ЕГЭ-2017, основная волна)
ОДЗ:
Решение: либо ,
Либо логарифмы равны друг другу, тогда:
Корни совпадают, если
При этом . Проверяя ОДЗ, убеждаемся, что все хорошо.
1.Чтобы , а это точка между нулем и единицей, нужно,
2. – опять проверяем ОДЗ и корень должен принадлежать промежутку от
.
Таким образом,
Ответ: .
Графически: строим прямые – пунктиром, так как
-строгое неравенство. Строим
– тоже пунктиром,
– так, чтобы прямая эта существовала выше прямой
и ниже прямой
. Строим прямую
.

К задаче 3
Теперь, так как нас интересует отрезок – отсекаем лишнее за этими пределами.

Серый и рыжий отрезки – наши решения.
Серый и рыжий отрезки – наши решения. Находим точки пересечения зеленой и серой прямой, рыжей и серой. Определяем, что .
А куда делся квадрат синуса альфа в точке...
К зад.20 и аналогичным: Вектор конечной скорости можно разложить на...
Александр, закралась опечатка, теперь благодаря Вам она...
...
Да, спасибо, почему-то иногда право и лево... хм... меняются...