Задачи с параметром. Геометрический подход

Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать графически.

Задача 1. Найти все $a$ , при которых уравнение

$\sqrt{x-a}\sin x=\sqrt{x-a}\cos x$

имеет ровно один корень на отрезке $[0; \pi]$ . (ЕГЭ-2017, основная волна).

$\sqrt{x-a}(\sin x-\cos x)=0$

$x=a$ , если $a \in [0; \pi]$ .

Скобка обращается в ноль только при $x=\frac{\pi}{4}$ . Если $\frac{\pi}{4}-a\geqslant 0$ .

$a\leqslant \frac{\pi}{4}$

Если $a= \frac{\pi}{4}$ – корни совпадают.

Итак, в ответ $a \in (-\infty; 0) \cup [\frac{\pi}{4}; \pi]$ .

Графически: строим прямую $x=a$ , строим вертикальные прямые $x=\frac{\pi}{4}, x=-\frac{3\pi}{4}, x=\frac{5\pi}{4}$ – то есть такие значения $x$ , когда синус и косинус равны. Но нас интересует только облаcть под прямой $x=a$ , так как $a\leqslant x$ , и нас интересует отрезок $x \in [0; \pi]$ . Поэтому сотрем все отрезки вне этих областей. Остались только те, что показаны на рисунке рыжим цветом. Теперь, положив на рисунок линейку горизонтально и двигая ее вверх по рисунку, находим ответ.

Графическое решение – к задаче 1

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup [\frac{\pi}{4}; \pi]$ .

Задача 2. Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$\ln (6a-x)\ln (2x+2a-2)=\ln (6a-x)\ln(x-a)$

имеет ровно 1 корень на отрезке $[0; 1]$ . (ЕГЭ-2017, основная волна).

$\ln (6a-x)(\ln (2x+2a-2)-\ln(x-a))=0$

Ограничения:

$\begin{Bmatrix}{ 6a-x>0}\\{ 2x+2a-2>0}\\{x-a>0}\end{matrix}$

Если $\ln (6a-x)=0$ , то $6a-x=1$ , $x=6a-1$ .

Скобка равна нулю, когда

$2x+2a-2=x-a$

$x=2-3a$

Корни совпадают, если

$6a-1=2-3a$

$9a=3$

$a=\frac{1}{3}$

$x=1$

По ограничениям все хорошо, поэтому $a=\frac{1}{3}$ берем в ответ.

$6a-1$ – корень. Проверим ОДЗ: по первому условию

$6a-x>0$

$6a-6a+1>0$ – выполняется.

По второму условию

$(2(6a-1)+2a-2>0$

$12a-2+2a-2>0$

$14a>4$

$a>\frac{2}{7}$

По третьему условию:

$6a-1-a>0$

$5a-1>0$

$a>\frac{1}{5}$

Также ограничение возникает

$0\leqslant 6a-1\leqslant 1$

$0\frac{1}{6}\leqslant a\leqslant \frac{1}{3}$

Таким образом, $a \in (\frac{2}{7}; \frac{1}{3}]$

$2-3a$ – корень. Проверяем ОДЗ:

По первому условию

$6a-2+3a>0$

$a>\frac{2}{9}$

По второму условию

$4-6a+2a-2>0$

$a<\frac{1}{2}$

По третьему условию (можно было и не проверять, логарифмы равны – поэтому условия совпадают):

$2-4a>0$

$a<\frac{1}{2}$

$0\leqslant 2-3a\leqslant 1$

$\frac{1}{3}\leqslant a\leqslant \frac{2}{3}$

Таким образом, $a \in [\frac{1}{3}; \frac{1}{2})$

Получаем окончательно, что $a \in (\frac{2}{7}; \frac{1}{2})$ .

Графически: строим ОДЗ – бежевым цветом показана. Все прямые – пунктиры, потому что неравенства строгие.

Графическое решение – к задаче 2

$6a-x=1$

$a=\frac{x}{6}+\frac{1}{6}$

Находим координату пересечения $a=\frac{x}{6}+\frac{1}{6}$ c $a=1-x$

$x=\frac{5}{7}$

$a=\frac{2}{7}$

Находим пересечение $a=x$ и $x=2-3a$ – условие равенства логарифмов.

$a=\frac{1}{2}$

Между $a=\frac{2}{7}$ и $a=\frac{1}{2}$ имеется ровно 1 корень.

Задача 2. Решение.

Ответ: $a \in (\frac{2}{7}; \frac{1}{2})$ .

Задача 3. Найдите все $a$ , при которых уравнение

$\sqrt{3x-2}\ln (x-a)- \sqrt{3x-2}\ln (2x+a)=0$

Имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$ . (ЕГЭ-2017, основная волна)

ОДЗ:

$\begin{Bmatrix}{ 3x-2\geqslant 0}\\{ x-a>0}\\{2x+a>0}\end{matrix}$

Решение: либо $\sqrt{3x-2}=0$ ,

$3x-2=0$

Либо логарифмы равны друг другу, тогда:

$x-a=2x+a$

$\begin{bmatrix}{ 3x-2= 0}\\{ x-a=2x+a}\end{matrix}$

$\begin{bmatrix}{ x= \frac{2}{3}}\\{ x=-2a}\end{matrix}$

Корни совпадают, если

$\frac{2}{3}}=-2a$

$a=-\frac{1}{3}$

При этом $x=\frac{2}{3}$ . Проверяя ОДЗ, убеждаемся, что все хорошо.

1.Чтобы $x=\frac{2}{3}$ , а это точка между нулем и единицей, нужно,

$\begin{Bmatrix}{\frac{2}{3}-a > 0}\\{ \frac{4}{3}+a>0}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{a <\frac{2}{3}}\\{ a>-\frac{4}{3}}\end{matrix}$

2. $x=-2a$ – опять проверяем ОДЗ и корень должен принадлежать промежутку от $[0; 1]$ .

$\begin{Bmatrix}{-6a-2 \geqslant 0}\\{ -3a>0}\\{-2a \in [0; 1]}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{a\leqslant -\frac{1}{3}}\\{ a<0}\\{a \in [-\frac{1}{2}; 0]}\end{matrix}$

Таким образом, $a \in [-\frac{1}{2}; -\frac{1}{3}]$

Ответ: $a \in (-\frac{4}{3}; -\frac{1}{2})\cup [-\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$ .

Графически: строим прямые $a=-2x$ – пунктиром, так как $2x-a>0$ -строгое неравенство. Строим $a=x$ – тоже пунктиром, $x=\frac{2}{3}$ – так, чтобы прямая эта существовала выше прямой $a=-2x$ и ниже прямой $a=x$ . Строим прямую $a=-\frac{x}{2}$ .

К задаче 3

Теперь, так как нас интересует отрезок $[0; 1]$ – отсекаем лишнее за этими пределами.

Серый и рыжий отрезки – наши решения.

Серый и рыжий отрезки – наши решения. Находим точки пересечения зеленой и серой прямой, рыжей и серой. Определяем, что $a \in (-\frac{4}{3}; -\frac{1}{2})\cup [-\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$ .

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Авг
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30

Задачи с параметром. Геометрический подход

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы