Задачи с параметром. Геометрический подход

[latexpage]

Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать графически.

Задача 1. Найти все $a$, при которых уравнение

$$\sqrt{x-a}\sin x=\sqrt{x-a}\cos x$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0; \pi]$. (ЕГЭ-2017, основная волна).

$$\sqrt{x-a}(\sin x-\cos x)=0$$

$x=a$, если $a \in [0; \pi]$.

Скобка обращается в ноль только при $x=\frac{\pi}{4}$. Если $\frac{\pi}{4}-a\geqslant 0$.

$$a\leqslant \frac{\pi}{4}$$

Если $a= \frac{\pi}{4}$ – корни совпадают.

Итак, в ответ $a \in (-\infty; 0) \cup [\frac{\pi}{4}; \pi]$.

Графически: строим прямую $x=a$, строим вертикальные прямые $x=\frac{\pi}{4}, x=-\frac{3\pi}{4}, x=\frac{5\pi}{4}$ – то есть такие значения $x$, когда синус и косинус равны. Но нас интересует только облаcть под прямой $x=a$, так как $a\leqslant x$, и нас интересует отрезок $x \in [0; \pi]$. Поэтому сотрем все отрезки вне этих областей. Остались только те, что показаны на рисунке рыжим цветом. Теперь, положив на рисунок линейку горизонтально и двигая ее вверх по рисунку, находим ответ.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup [\frac{\pi}{4}; \pi]$.

Задача 2. Найдите все значения $a$, при каждом из которых  уравнение

$$\ln (6a-x)\ln (2x+2a-2)=\ln (6a-x)\ln(x-a)$$

имеет ровно 1 корень на отрезке $[0; 1]$. (ЕГЭ-2017, основная волна).

$$\ln (6a-x)(\ln (2x+2a-2)-\ln(x-a))=0$$

Ограничения:

$$\begin{Bmatrix}{ 6a-x>0}\\{ 2x+2a-2>0}\\{x-a>0}\end{matrix}$$

Если $\ln (6a-x)=0$, то $6a-x=1$, $x=6a-1$.

Скобка равна нулю, когда

$$2x+2a-2=x-a$$

$$x=2-3a$$

Корни совпадают, если

$$6a-1=2-3a$$

$$9a=3$$

$$a=\frac{1}{3}$$

$$x=1$$

По ограничениям все хорошо, поэтому $a=\frac{1}{3}$ берем в ответ.

1. $6a-1$ – корень. Проверим ОДЗ: по первому условию

$$6a-x>0$$

$6a-6a+1>0$ – выполняется.

По второму условию

$$(2(6a-1)+2a-2>0$$

$$12a-2+2a-2>0$$

$$14a>4$$

$$a>\frac{2}{7}$$

По третьему условию:

$$6a-1-a>0$$

$$5a-1>0$$

$$a>\frac{1}{5}$$

Также ограничение возникает

$$0\leqslant 6a-1\leqslant 1$$

$$0\frac{1}{6}\leqslant a\leqslant \frac{1}{3}$$

Таким образом, $a \in (\frac{2}{7}; \frac{1}{3}]$

2. $2-3a$ – корень. Проверяем ОДЗ:

По первому условию

$$6a-2+3a>0$$

$$a>\frac{2}{9}$$

По второму условию

$$4-6a+2a-2>0$$

$$a<\frac{1}{2}$$

По третьему условию (можно было и не проверять, логарифмы равны – поэтому условия совпадают):

$$2-4a>0$$

$$ a<\frac{1}{2}$$

$$0\leqslant 2-3a\leqslant 1$$

$$\frac{1}{3}\leqslant a\leqslant \frac{2}{3}$$

Таким образом, $a \in [\frac{1}{3}; \frac{1}{2})$

Получаем окончательно,  что $a \in (\frac{2}{7}; \frac{1}{2})$.

Графически: строим ОДЗ – бежевым цветом показана. Все прямые  – пунктиры, потому что неравенства строгие.

$$6a-x=1$$

$$a=\frac{x}{6}+\frac{1}{6}$$

Находим координату пересечения $a=\frac{x}{6}+\frac{1}{6}$ c $a=1-x$

$$x=\frac{5}{7}$$

$$a=\frac{2}{7}$$

Находим пересечение $a=x$ и $x=2-3a$ – условие равенства логарифмов.

$$a=\frac{1}{2}$$

Между $a=\frac{2}{7}$ и $a=\frac{1}{2}$ имеется ровно 1 корень.

Ответ: $a \in (\frac{2}{7}; \frac{1}{2})$.

Задача 3. Найдите все $a$, при которых уравнение

$$\sqrt{3x-2}\ln (x-a)- \sqrt{3x-2}\ln (2x+a)=0$$

Имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{ 3x-2\geqslant 0}\\{ x-a>0}\\{2x+a>0}\end{matrix}$$

Решение: либо $\sqrt{3x-2}=0$,

$$3x-2=0$$

Либо логарифмы равны друг другу, тогда:

$$x-a=2x+a$$

$$\begin{bmatrix}{ 3x-2= 0}\\{ x-a=2x+a}\end{matrix}$$

$$\begin{bmatrix}{ x= \frac{2}{3}}\\{ x=-2a}\end{matrix}$$

Корни совпадают, если

$$\frac{2}{3}}=-2a$$

$$a=-\frac{1}{3}$$

При этом $x=\frac{2}{3}$. Проверяя ОДЗ, убеждаемся, что все хорошо.

1.Чтобы $x=\frac{2}{3}$, а это точка между нулем и единицей, нужно,

$$\begin{Bmatrix}{\frac{2}{3}-a > 0}\\{ \frac{4}{3}+a>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{a <\frac{2}{3}}\\{ a>-\frac{4}{3}}\end{matrix}$$

2.$x=-2a$ – опять проверяем ОДЗ и корень должен принадлежать промежутку от $[0; 1]$.

$$\begin{Bmatrix}{-6a-2 \geqslant 0}\\{ -3a>0}\\{-2a \in [0; 1]}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{a\leqslant -\frac{1}{3}}\\{ a<0}\\{a \in [-\frac{1}{2}; 0]}\end{matrix}$$

Таким образом, $a \in [-\frac{1}{2}; -\frac{1}{3}] $

Ответ: $a \in (-\frac{4}{3}; -\frac{1}{2})\cup [-\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$.

Графически: строим прямые $a=-2x$ – пунктиром, так как $2x-a>0$  -строгое неравенство. Строим $a=x$ – тоже пунктиром, $x=\frac{2}{3}$ – так, чтобы прямая эта существовала выше прямой $a=-2x$ и ниже прямой $a=x$. Строим прямую $a=-\frac{x}{2}$.

Теперь, так как нас интересует отрезок $[0; 1]$ – отсекаем лишнее за этими пределами.

Серый и рыжий отрезки – наши решения. Находим точки пересечения зеленой и серой прямой, рыжей и серой. Определяем, что $a \in (-\frac{4}{3}; -\frac{1}{2})\cup [-\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$.