[latexpage]
Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать графически.
Задача 1. Найти все $a$, при которых уравнение
$$\sqrt{x-a}\sin x=\sqrt{x-a}\cos x$$
имеет ровно один корень на отрезке $[0; \pi]$. (ЕГЭ-2017, основная волна).
$$\sqrt{x-a}(\sin x-\cos x)=0$$
$x=a$, если $a \in [0; \pi]$.
Скобка обращается в ноль только при $x=\frac{\pi}{4}$. Если $\frac{\pi}{4}-a\geqslant 0$.
$$a\leqslant \frac{\pi}{4}$$
Если $a= \frac{\pi}{4}$ – корни совпадают.
Итак, в ответ $a \in (-\infty; 0) \cup [\frac{\pi}{4}; \pi]$.
Графически: строим прямую $x=a$, строим вертикальные прямые $x=\frac{\pi}{4}, x=-\frac{3\pi}{4}, x=\frac{5\pi}{4}$ – то есть такие значения $x$, когда синус и косинус равны. Но нас интересует только облаcть под прямой $x=a$, так как $a\leqslant x$, и нас интересует отрезок $x \in [0; \pi]$. Поэтому сотрем все отрезки вне этих областей. Остались только те, что показаны на рисунке рыжим цветом. Теперь, положив на рисунок линейку горизонтально и двигая ее вверх по рисунку, находим ответ.

Графическое решение – к задаче 1
Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup [\frac{\pi}{4}; \pi]$.
Задача 2. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$\ln (6a-x)\ln (2x+2a-2)=\ln (6a-x)\ln(x-a)$$
имеет ровно 1 корень на отрезке $[0; 1]$. (ЕГЭ-2017, основная волна).
$$\ln (6a-x)(\ln (2x+2a-2)-\ln(x-a))=0$$
Ограничения:
$$\begin{Bmatrix}{ 6a-x>0}\\{ 2x+2a-2>0}\\{x-a>0}\end{matrix}$$
Если $\ln (6a-x)=0$, то $6a-x=1$, $x=6a-1$.
Скобка равна нулю, когда
$$2x+2a-2=x-a$$
$$x=2-3a$$
Корни совпадают, если
$$6a-1=2-3a$$
$$9a=3$$
$$a=\frac{1}{3}$$
$$x=1$$
По ограничениям все хорошо, поэтому $a=\frac{1}{3}$ берем в ответ.
- $6a-1$ – корень. Проверим ОДЗ: по первому условию
$$6a-x>0$$
$6a-6a+1>0$ – выполняется.
По второму условию
$$(2(6a-1)+2a-2>0$$
$$12a-2+2a-2>0$$
$$14a>4$$
$$a>\frac{2}{7}$$
По третьему условию:
$$6a-1-a>0$$
$$5a-1>0$$
$$a>\frac{1}{5}$$
Также ограничение возникает
$$0\leqslant 6a-1\leqslant 1$$
$$0\frac{1}{6}\leqslant a\leqslant \frac{1}{3}$$
Таким образом, $a \in (\frac{2}{7}; \frac{1}{3}]$
- $2-3a$ – корень. Проверяем ОДЗ:
По первому условию
$$6a-2+3a>0$$
$$a>\frac{2}{9}$$
По второму условию
$$4-6a+2a-2>0$$
$$a<\frac{1}{2}$$
По третьему условию (можно было и не проверять, логарифмы равны – поэтому условия совпадают):
$$2-4a>0$$
$$ a<\frac{1}{2}$$
$$0\leqslant 2-3a\leqslant 1$$
$$\frac{1}{3}\leqslant a\leqslant \frac{2}{3}$$
Таким образом, $a \in [\frac{1}{3}; \frac{1}{2})$
Получаем окончательно, что $a \in (\frac{2}{7}; \frac{1}{2})$.
Графически: строим ОДЗ – бежевым цветом показана. Все прямые – пунктиры, потому что неравенства строгие.

Графическое решение – к задаче 2
$$6a-x=1$$
$$a=\frac{x}{6}+\frac{1}{6}$$
Находим координату пересечения $a=\frac{x}{6}+\frac{1}{6}$ c $a=1-x$
$$x=\frac{5}{7}$$
$$a=\frac{2}{7}$$
Находим пересечение $a=x$ и $x=2-3a$ – условие равенства логарифмов.
$$a=\frac{1}{2}$$
Между $a=\frac{2}{7}$ и $a=\frac{1}{2}$ имеется ровно 1 корень.

Задача 2. Решение.
Ответ: $a \in (\frac{2}{7}; \frac{1}{2})$.
Задача 3. Найдите все $a$, при которых уравнение
$$\sqrt{3x-2}\ln (x-a)- \sqrt{3x-2}\ln (2x+a)=0$$
Имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)
ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{ 3x-2\geqslant 0}\\{ x-a>0}\\{2x+a>0}\end{matrix}$$
Решение: либо $\sqrt{3x-2}=0$,
$$3x-2=0$$
Либо логарифмы равны друг другу, тогда:
$$x-a=2x+a$$
$$\begin{bmatrix}{ 3x-2= 0}\\{ x-a=2x+a}\end{matrix}$$
$$\begin{bmatrix}{ x= \frac{2}{3}}\\{ x=-2a}\end{matrix}$$
Корни совпадают, если
$$\frac{2}{3}}=-2a$$
$$a=-\frac{1}{3}$$
При этом $x=\frac{2}{3}$. Проверяя ОДЗ, убеждаемся, что все хорошо.
1.Чтобы $x=\frac{2}{3}$, а это точка между нулем и единицей, нужно,
$$\begin{Bmatrix}{\frac{2}{3}-a > 0}\\{ \frac{4}{3}+a>0}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{a <\frac{2}{3}}\\{ a>-\frac{4}{3}}\end{matrix}$$
2.$x=-2a$ – опять проверяем ОДЗ и корень должен принадлежать промежутку от $[0; 1]$.
$$\begin{Bmatrix}{-6a-2 \geqslant 0}\\{ -3a>0}\\{-2a \in [0; 1]}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{a\leqslant -\frac{1}{3}}\\{ a<0}\\{a \in [-\frac{1}{2}; 0]}\end{matrix}$$
Таким образом, $a \in [-\frac{1}{2}; -\frac{1}{3}] $
Ответ: $a \in (-\frac{4}{3}; -\frac{1}{2})\cup [-\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$.
Графически: строим прямые $a=-2x$ – пунктиром, так как $2x-a>0$ -строгое неравенство. Строим $a=x$ – тоже пунктиром, $x=\frac{2}{3}$ – так, чтобы прямая эта существовала выше прямой $a=-2x$ и ниже прямой $a=x$. Строим прямую $a=-\frac{x}{2}$.

К задаче 3
Теперь, так как нас интересует отрезок $[0; 1]$ – отсекаем лишнее за этими пределами.

Серый и рыжий отрезки – наши решения.
Серый и рыжий отрезки – наши решения. Находим точки пересечения зеленой и серой прямой, рыжей и серой. Определяем, что $a \in (-\frac{4}{3}; -\frac{1}{2})\cup [-\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$.
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...