Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Задачи с параметром. Геометрический подход

Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать графически.

Задача 1. Найти все a, при которых уравнение

    \[\sqrt{x-a}\sin x=\sqrt{x-a}\cos x\]

имеет ровно один корень на отрезке [0; \pi]. (ЕГЭ-2017, основная волна).

    \[\sqrt{x-a}(\sin x-\cos x)=0\]

x=a, если a \in [0; \pi].

Скобка обращается в ноль только при x=\frac{\pi}{4}. Если \frac{\pi}{4}-a\geqslant 0.

    \[a\leqslant \frac{\pi}{4}\]

Если a= \frac{\pi}{4} – корни совпадают.

Итак, в ответ a \in (-\infty; 0) \cup [\frac{\pi}{4}; \pi].

Графически: строим прямую x=a, строим вертикальные прямые x=\frac{\pi}{4}, x=-\frac{3\pi}{4}, x=\frac{5\pi}{4} – то есть такие значения x, когда синус и косинус равны. Но нас интересует только облаcть под прямой x=a, так как a\leqslant x, и нас интересует отрезок x \in [0; \pi]. Поэтому сотрем все отрезки вне этих областей. Остались только те, что показаны на рисунке рыжим цветом. Теперь, положив на рисунок линейку горизонтально и двигая ее вверх по рисунку, находим ответ.

Графическое решение – к задаче 1

Ответ: a \in (-\infty; 0) \cup [\frac{\pi}{4}; \pi].

Задача 2. Найдите все значения a, при каждом из которых  уравнение

    \[\ln (6a-x)\ln (2x+2a-2)=\ln (6a-x)\ln(x-a)\]

имеет ровно 1 корень на отрезке [0; 1]. (ЕГЭ-2017, основная волна).

    \[\ln (6a-x)(\ln (2x+2a-2)-\ln(x-a))=0\]

Ограничения:

    \[\begin{Bmatrix}{ 6a-x>0}\\{ 2x+2a-2>0}\\{x-a>0}\end{matrix}\]

Если \ln (6a-x)=0, то 6a-x=1, x=6a-1.

Скобка равна нулю, когда

    \[2x+2a-2=x-a\]

    \[x=2-3a\]

Корни совпадают, если

    \[6a-1=2-3a\]

    \[9a=3\]

    \[a=\frac{1}{3}\]

    \[x=1\]

По ограничениям все хорошо, поэтому a=\frac{1}{3} берем в ответ.

  1. 6a-1 – корень. Проверим ОДЗ: по первому условию

    \[6a-x>0\]

6a-6a+1>0 – выполняется.

По второму условию

    \[(2(6a-1)+2a-2>0\]

    \[12a-2+2a-2>0\]

    \[14a>4\]

    \[a>\frac{2}{7}\]

По третьему условию:

    \[6a-1-a>0\]

    \[5a-1>0\]

    \[a>\frac{1}{5}\]

Также ограничение возникает

    \[0\leqslant 6a-1\leqslant 1\]

    \[0\frac{1}{6}\leqslant a\leqslant \frac{1}{3}\]

Таким образом, a \in (\frac{2}{7}; \frac{1}{3}]

  1. 2-3a – корень. Проверяем ОДЗ:

По первому условию

    \[6a-2+3a>0\]

    \[a>\frac{2}{9}\]

По второму условию

    \[4-6a+2a-2>0\]

    \[a<\frac{1}{2}\]

По третьему условию (можно было и не проверять, логарифмы равны – поэтому условия совпадают):

    \[2-4a>0\]

    \[a<\frac{1}{2}\]

    \[0\leqslant 2-3a\leqslant 1\]

    \[\frac{1}{3}\leqslant a\leqslant \frac{2}{3}\]

Таким образом, a \in [\frac{1}{3}; \frac{1}{2})

Получаем окончательно,  что a \in (\frac{2}{7}; \frac{1}{2}).

Графически: строим ОДЗ – бежевым цветом показана. Все прямые  – пунктиры, потому что неравенства строгие.

Графическое решение – к задаче 2

    \[6a-x=1\]

    \[a=\frac{x}{6}+\frac{1}{6}\]

Находим координату пересечения a=\frac{x}{6}+\frac{1}{6} c a=1-x

    \[x=\frac{5}{7}\]

    \[a=\frac{2}{7}\]

Находим пересечение a=x и x=2-3a – условие равенства логарифмов.

    \[a=\frac{1}{2}\]

Между a=\frac{2}{7} и a=\frac{1}{2} имеется ровно 1 корень.

Задача 2. Решение.

Ответ: a \in (\frac{2}{7}; \frac{1}{2}).

Задача 3. Найдите все a, при которых уравнение

    \[\sqrt{3x-2}\ln (x-a)- \sqrt{3x-2}\ln (2x+a)=0\]

Имеет ровно один корень на отрезке [0; 1]. (ЕГЭ-2017, основная волна)

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{ 3x-2\geqslant 0}\\{ x-a>0}\\{2x+a>0}\end{matrix}\]

Решение: либо \sqrt{3x-2}=0,

    \[3x-2=0\]

Либо логарифмы равны друг другу, тогда:

    \[x-a=2x+a\]

    \[\begin{bmatrix}{ 3x-2= 0}\\{ x-a=2x+a}\end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix}{ x= \frac{2}{3}}\\{ x=-2a}\end{matrix}\]

Корни совпадают, если

    \[\frac{2}{3}}=-2a\]

    \[a=-\frac{1}{3}\]

При этом x=\frac{2}{3}. Проверяя ОДЗ, убеждаемся, что все хорошо.

1.Чтобы x=\frac{2}{3}, а это точка между нулем и единицей, нужно,

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{2}{3}-a > 0}\\{ \frac{4}{3}+a>0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{a <\frac{2}{3}}\\{ a>-\frac{4}{3}}\end{matrix}\]

2.x=-2a – опять проверяем ОДЗ и корень должен принадлежать промежутку от [0; 1].

    \[\begin{Bmatrix}{-6a-2 \geqslant 0}\\{ -3a>0}\\{-2a \in [0; 1]}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{a\leqslant -\frac{1}{3}}\\{ a<0}\\{a \in [-\frac{1}{2}; 0]}\end{matrix}\]

Таким образом, a \in [-\frac{1}{2}; -\frac{1}{3}]

Ответ: a \in (-\frac{4}{3}; -\frac{1}{2})\cup [-\frac{1}{3}; \frac{2}{3}).

Графически: строим прямые a=-2x – пунктиром, так как 2x-a>0  -строгое неравенство. Строим a=x – тоже пунктиром, x=\frac{2}{3} – так, чтобы прямая эта существовала выше прямой a=-2x и ниже прямой a=x. Строим прямую a=-\frac{x}{2}.

К задаче 3

Теперь, так как нас интересует отрезок [0; 1] – отсекаем лишнее за этими пределами.

Серый и рыжий отрезки – наши решения.

Серый и рыжий отрезки – наши решения. Находим точки пересечения зеленой и серой прямой, рыжей и серой. Определяем, что a \in (-\frac{4}{3}; -\frac{1}{2})\cup [-\frac{1}{3}; \frac{2}{3}).

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *