Задачи с параметром. Геометрический подход – 2

[latexpage]

Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать графически.

Задача 1. Найти все $a$, при которых уравнение

$$\ln{5x-2}\sqrt{x^2-2x+2a-a^2}=0$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$. (ЕГЭ-2017, основная волна).

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{ 5x-2>0}\\{ x^2-2x+2a-2a^2\geqslant 0}\end{matrix}$$

Во втором неравенстве, если решать его как квадратное, корни будут $a$ и $2-a$ – это можно заметить по теореме Виета. Но кто с этой теоремой не дружит – то можно и так:

$$x^2-2x\geqslant a^2-2a$$

$$ x^2-2x+1\geqslant a^2-2a+1$$

$$(x-1)^2\geqslant (a-1)^2$$

$$(x-1)^2- (a-1)^2\geqslant 0$$

$$(x-a)(x-2+a) \geqslant 0$$

Таким образом, ОДЗ

$$\begin{Bmatrix}{ 5x-2>0}\\{ (x-a)(x-2+a)\geqslant 0}\end{matrix}$$

Решение

$$\begin{bmatrix}{ 5x-2=1}\\{ x-a= 0}\\{x-2+a=0}\end{matrix}$$

Строим прямые $x=a, x=2-a; x=\frac{3}{5}$.

ОДЗ – два угла, образованные пересечением прямых $x=a, x=2-a$ – см. рисунок, углы левый и правый. А именно – левый, именно в нем лежит отрезок $[0; 1]$. Один корень будет там, где отрезки прямых помечены красным цветом – там будет одно пересечение горизонтальной прямой и системы прямых.

К задаче 1

Определяем точки пересечения и записываем ответ:

Ответ: $a \in \left (\frac{2}{5}; \frac{3}{5}\right]\cup \left[\frac{7}{5}; \frac{8}{5}\right)$.

Задача 2. Найти все $a$, при которых уравнение

$$\sqrt{4x-1}\ln{x^2-2x+2-a^2}=0$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$. (ЕГЭ-2017, основная волна).

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{ 4x-1\geqslant 0}\\{ x^2-2x+2-a^2> 0}\end{matrix}$$

Решение

$$\begin{bmatrix}{ 4x-1=0}\\{ x^2-2x+2-a^2=1}\end{matrix}$$

Попробуем построить ОДЗ. Как построить корень из параболы? Можно немного упростить:

$$a^2=x^2-2x+2$$

$$a=\pm\sqrt{ x^2-2x+2}\approx \pm\sqrt{ x^2-2x+1}=\pm\mid x-1 \mid$$

Область ОДЗ выделена бежевым.

К задаче 2

Строим теперь решения. $x=\frac{1}{4}$, и две прямые, задаваемые уравнением:

$$ x^2-2x+2-a^2=1$$

$$(x-1)^2-a^2=0$$

$$a=x-1$$

$$a=1- x $$

К задаче 2 – решение

Теперь выделим красным цветом части прямых решения, находящиеся в области ОДЗ:

Выделяем красным цветом необходимые прямые

И, находя точки пересечения вертикальной красной прямой и двух других, записываем ответ:

Ответ: $a\in \left (-\frac{5}{4}; -\frac{3}{4}\right]\cup \left[\frac{3}{4}; \frac{5}{4}\right)$.

Задача 3. Найти все $a$, при которых уравнение

$$\frac{(x-a-7)(x+a-2)}{\sqrt{10x-x^2-a^2}}=0$$

имеет ровно один корень на отрезке $[4; 8]$. (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день).

$$\begin{Bmatrix}{ \begin{bmatrix}{ x-a-7= 0}\\{ x+a-2= 0}\end{matrix}}\\{ 10x-x^2-a^2> 0}\end{matrix}$$

Две прямые ($a=7-x; a=2-x$) – построить несложно.

Последнее условие – окружность (то есть внутренность круга).

$$x^2-10x+25+a^2<25$$

$$(x-5)^2+(a-0)^2<25$$

К задаче 3

Теперь выделим красным те части прямых, которые расположены между прямыми $x=4$ и $x=8$.

Выделяем нужные части прямых красным

Прямые пересекаются в точке $(4,5; -2,5)$.

Найдем точку пересечения прямой $a=2-x$ и окружности:

$$(x-5)^2+(2-x)^2=25$$

$$x^2-10x+4-4x+x^2=0$$

$$x^2-7x+4=0$$

$$x=\frac{7\pm \sqrt{49-8}}{2}=\frac{7\pm\sqrt{41}}{2}$$

Нам нужен корень $x=\frac{7+\sqrt{41}}{2}$

При этом $a=\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$.

Таким образом, единственное решение будет при $a \in \left(\frac{-3-\sqrt{41}}{2}; -3\right)\cup \{2,5\}\cup (-2; 1]$.