Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Задачи с параметром. Геометрический подход – 2

Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать графически.

Задача 1. Найти все a, при которых уравнение

    \[\ln{5x-2}\sqrt{x^2-2x+2a-a^2}=0\]

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1]. (ЕГЭ-2017, основная волна).

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{ 5x-2>0}\\{ x^2-2x+2a-2a^2\geqslant 0}\end{matrix}\]

Во втором неравенстве, если решать его как квадратное, корни будут a и 2-a – это можно заметить по теореме Виета. Но кто с этой теоремой не дружит – то можно и так:

    \[x^2-2x\geqslant a^2-2a\]

    \[x^2-2x+1\geqslant a^2-2a+1\]

    \[(x-1)^2\geqslant (a-1)^2\]

    \[(x-1)^2- (a-1)^2\geqslant 0\]

    \[(x-a)(x-2+a) \geqslant 0\]

Таким образом, ОДЗ

    \[\begin{Bmatrix}{ 5x-2>0}\\{ (x-a)(x-2+a)\geqslant 0}\end{matrix}\]

Решение

    \[\begin{bmatrix}{ 5x-2=1}\\{ x-a= 0}\\{x-2+a=0}\end{matrix}\]

Строим прямые x=a, x=2-a; x=\frac{3}{5}.

ОДЗ – два угла, образованные пересечением прямых x=a, x=2-a – см. рисунок, углы левый и правый. А именно – левый, именно в нем лежит отрезок [0; 1]. Один корень будет там, где отрезки прямых помечены красным цветом – там будет одно пересечение горизонтальной прямой и системы прямых.

К задаче 1

Определяем точки пересечения и записываем ответ:

Ответ: a \in \left (\frac{2}{5}; \frac{3}{5}\right]\cup \left[\frac{7}{5}; \frac{8}{5}\right).

Задача 2. Найти все a, при которых уравнение

    \[\sqrt{4x-1}\ln{x^2-2x+2-a^2}=0\]

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1]. (ЕГЭ-2017, основная волна).

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{ 4x-1\geqslant 0}\\{ x^2-2x+2-a^2> 0}\end{matrix}\]

Решение

    \[\begin{bmatrix}{ 4x-1=0}\\{ x^2-2x+2-a^2=1}\end{matrix}\]

Попробуем построить ОДЗ. Как построить корень из параболы? Можно немного упростить:

    \[a^2=x^2-2x+2\]

    \[a=\pm\sqrt{ x^2-2x+2}\approx \pm\sqrt{ x^2-2x+1}=\pm\mid x-1 \mid\]

Область ОДЗ выделена бежевым.

К задаче 2

Строим теперь решения. x=\frac{1}{4}, и две прямые, задаваемые уравнением:

    \[x^2-2x+2-a^2=1\]

    \[(x-1)^2-a^2=0\]

    \[a=x-1\]

    \[a=1- x\]

К задаче 2 – решение

Теперь выделим красным цветом части прямых решения, находящиеся в области ОДЗ:

Выделяем красным цветом необходимые прямые

И, находя точки пересечения вертикальной красной прямой и двух других, записываем ответ:

Ответ: a\in \left (-\frac{5}{4}; -\frac{3}{4}\right]\cup \left[\frac{3}{4}; \frac{5}{4}\right).

Задача 3. Найти все a, при которых уравнение

    \[\frac{(x-a-7)(x+a-2)}{\sqrt{10x-x^2-a^2}}=0\]

имеет ровно один корень на отрезке [4; 8]. (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день).

    \[\begin{Bmatrix}{ \begin{bmatrix}{ x-a-7= 0}\\{ x+a-2= 0}\end{matrix}}\\{ 10x-x^2-a^2> 0}\end{matrix}\]

Две прямые (a=7-x; a=2-x) – построить несложно.

Последнее условие – окружность (то есть внутренность круга).

    \[x^2-10x+25+a^2<25\]

    \[(x-5)^2+(a-0)^2<25\]

К задаче 3

Теперь выделим красным те части прямых, которые расположены между прямыми x=4 и x=8.

Выделяем нужные части прямых красным

Прямые пересекаются в точке (4,5; -2,5).

Найдем точку пересечения прямой a=2-x и окружности:

    \[(x-5)^2+(2-x)^2=25\]

    \[x^2-10x+4-4x+x^2=0\]

    \[x^2-7x+4=0\]

    \[x=\frac{7\pm \sqrt{49-8}}{2}=\frac{7\pm\sqrt{41}}{2}\]

Нам нужен корень x=\frac{7+\sqrt{41}}{2}

При этом a=\frac{-3-\sqrt{41}}{2}.

Таким образом, единственное решение будет при a \in \left(\frac{-3-\sqrt{41}}{2}; -3\right)\cup \{2,5\}\cup (-2; 1].

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *