Задачи с параметром. Аналитический подход

Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать аналитически.

Задача 1. Найти все $a$ , при которых уравнение

$\sqrt{x^4-9x^2+a^2}=x^2-3x-a$

имеет ровно три корня. (ЕГЭ-2016, основная волна).

Решение. Возведем в квадрат:

$x^4-9x^2+a^2=x^4+9x^2+a^2-6x^3-2ax^2+6ax$

$6x^3+(2a-18)x^2-6ax=0$

$6x\left(x^2+\left(\frac{a}{3}-3\right)x-a\right)=0$

Чтобы корни были разными, $a\neq -9; a\neq 0$ .

Корни $x=\frac{a}{3}$ ; $x=0; x=3$ .

Проверяем: при $x=0$

$\sqrt{a^2}=-a$

То есть $a\leqslant 0$ .

При $x=3$

$\sqrt{81-81+a^2}=9-9-a$

То есть опять $a\leqslant 0$ .

При $x=\frac{a}{3}$

$\sqrt{\frac{a^4}{81}-a^2+a^2}=\frac{a^2}{9}+a-a$

$\sqrt{\frac{a^4}{81}}=\frac{a^2}{9}$

Последнее всегда верно.

Ответ: $a \in (-\infty; -9)\cup (-9; 0)$ .

Задача 2. Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$2^x-a=\sqrt{4^x-3a}$

имеет ровно 1 корень.

Решение. Введем замену $t=2^x>0~~~~~~~~~~~~~~~(1)$ .

$t-a=\sqrt{t^2-3a}~~~~~~~~~~~~(2)$

Возводим в квадрат:

$t^2-2at+a^2=t^2-3a$

$2at=a^2+3a$

Подставив в исходное уравнение $a=0$ , получим

$2^x=\sqrt{4^x}$

Что верно всегда, при любом $x$ . Нам же нужен 1 корень, поэтому $a=0$ не подходит, значит, можно разделить на $2a$ выражение $2at=a^2+3a$ . Получим:

$t=\frac{a+3}{2}$

Из (2)

$t-a\geqslant 0$

Из (1)

$\frac{a+3}{2}>0$

$\frac{a+3}{2}-a\geqslant 0$

$\frac{3-a}{2}\geqslant 0$

Получили, что $a>-3; a \leqslant 3$

Ответ: $a \in (-3; 0)\cup (0; 3]$ .

Задача 3. Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$x^2+(x-1)\sqrt{3x-a}=x$

имеет ровно 1 корень на отрезке $[0; 1]$ . (ЕГЭ-2017, основная волна).

Решение:

$x^2-x+(x-1)\sqrt{3x-a}=0$

$(x-1)(x+\sqrt{3x-a})=0$

$x=1$ является корнем при $3-a\geqslant 0$ .

$x+\sqrt{3x-a}=0$

На отрезке $[0; 1]$ $x \geqslant 0$ . Но

$\sqrt{3x-a}=-x$

$\sqrt{3x-a}\geqslant 0$

То есть $x=0$ . Но $x=0$ при $a=0$ – а это уже два корня. Поэтому один корень будет у уравнения при $a \in (-\infty; 0)\cup (0; 3]$ .

Ответ: $a \in (-\infty; 0)\cup (0; 3]$ .

Задача 4. Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$\sqrt{x}+\sqrt{2a-x}=a$

имеет ровно 2 корня. (ЕГЭ-2016, основная волна).

Введем замену:

$t=\sqrt{x} \geqslant 0$

Уравнение примет вид:

$t+\sqrt{2a-t^2}=a$

$\sqrt{2a-t^2}=a-t\geqslant 0$

Возводим в квадрат:

$2a-t^2=a^2-2at+t^2$

$2t^2-2a(t+1)+a^2=0$

$2t^2-2at+a^2-2a=0$

Решаем как квадратное. Второй коэффициент – четный, поэтому

$\frac{D}{4}=a^2-2a^2+4a>0$

$t_{1,2}=\frac{a\pm \sqrt{4a-a^2}}{2}\in (0; a]$

$t_{1,2}=\frac{a}{2}\pm \frac{\sqrt{4a-a^2}}{2}$ – корни симметричны относительно $\frac{a}{2}$ . $\frac{a}{2}$ – середина отрезка $(0; a]$ .

Тогда

$0<\frac{\sqrt{4a-a^2}}{2}\leqslant \frac{a}{2}$

Таким образом

$\begin{Bmatrix}{ 4a-a^2\leqslant a^2}\\{ 4a-a^2>0}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{ a\geqslant 2}\\{ a<4}\end{matrix}$

Ответ: $a \in [2; 4)$ .

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Июн
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Задачи с параметром. Аналитический подход

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Пароль для библиотеки – 777

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы