Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Задачи с параметром. Аналитический подход

Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать аналитически.

Задача 1. Найти все a, при которых уравнение

    \[\sqrt{x^4-9x^2+a^2}=x^2-3x-a\]

имеет ровно три корня. (ЕГЭ-2016, основная волна).

Решение. Возведем в квадрат:

    \[x^4-9x^2+a^2=x^4+9x^2+a^2-6x^3-2ax^2+6ax\]

    \[6x^3+(2a-18)x^2-6ax=0\]

    \[6x\left(x^2+\left(\frac{a}{3}-3\right)x-a\right)=0\]

Чтобы корни были разными, a\neq -9; a\neq 0.

Корни x=\frac{a}{3}; x=0; x=3.

Проверяем: при x=0

    \[\sqrt{a^2}=-a\]

То есть a\leqslant 0.

При x=3

    \[\sqrt{81-81+a^2}=9-9-a\]

То есть опять a\leqslant 0.

При x=\frac{a}{3}

    \[\sqrt{\frac{a^4}{81}-a^2+a^2}=\frac{a^2}{9}+a-a\]

    \[\sqrt{\frac{a^4}{81}}=\frac{a^2}{9}\]

Последнее всегда верно.

Ответ: a \in (-\infty; -9)\cup (-9; 0).

 

Задача 2. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

    \[2^x-a=\sqrt{4^x-3a}\]

имеет ровно 1 корень.

Решение. Введем замену t=2^x>0~~~~~~~~~~~~~~~(1).

    \[t-a=\sqrt{t^2-3a}~~~~~~~~~~~~(2)\]

Возводим в квадрат:

    \[t^2-2at+a^2=t^2-3a\]

    \[2at=a^2+3a\]

Подставив в исходное уравнение a=0, получим

    \[2^x=\sqrt{4^x}\]

Что верно всегда, при любом x. Нам же нужен 1 корень, поэтому a=0 не подходит, значит, можно разделить на 2a выражение 2at=a^2+3a. Получим:

    \[t=\frac{a+3}{2}\]

Из (2)

    \[t-a\geqslant 0\]

Из (1)

    \[\frac{a+3}{2}>0\]

    \[\frac{a+3}{2}-a\geqslant 0\]

    \[\frac{3-a}{2}\geqslant 0\]

Получили, что a>-3; a \leqslant 3

Ответ: a \in (-3; 0)\cup (0; 3].

Задача 3. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

    \[x^2+(x-1)\sqrt{3x-a}=x\]

имеет ровно 1 корень на отрезке [0; 1]. (ЕГЭ-2017, основная волна).

Решение:

    \[x^2-x+(x-1)\sqrt{3x-a}=0\]

    \[(x-1)(x+\sqrt{3x-a})=0\]

x=1 является корнем при 3-a\geqslant 0.

    \[x+\sqrt{3x-a}=0\]

На отрезке [0; 1] x \geqslant 0. Но

    \[\sqrt{3x-a}=-x\]

    \[\sqrt{3x-a}\geqslant 0\]

То есть x=0. Но x=0 при a=0 – а это уже два корня. Поэтому один корень будет у уравнения при a \in (-\infty; 0)\cup (0; 3].

Ответ: a \in (-\infty; 0)\cup (0; 3].

 

Задача 4. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

    \[\sqrt{x}+\sqrt{2a-x}=a\]

имеет ровно 2 корня. (ЕГЭ-2016, основная волна).

Введем замену:

    \[t=\sqrt{x} \geqslant 0\]

Уравнение примет вид:

    \[t+\sqrt{2a-t^2}=a\]

    \[\sqrt{2a-t^2}=a-t\geqslant 0\]

Возводим в квадрат:

    \[2a-t^2=a^2-2at+t^2\]

    \[2t^2-2a(t+1)+a^2=0\]

    \[2t^2-2at+a^2-2a=0\]

Решаем как квадратное. Второй коэффициент – четный, поэтому

    \[\frac{D}{4}=a^2-2a^2+4a>0\]

    \[t_{1,2}=\frac{a\pm \sqrt{4a-a^2}}{2}\in (0; a]\]

t_{1,2}=\frac{a}{2}\pm \frac{\sqrt{4a-a^2}}{2} –  корни симметричны относительно \frac{a}{2}. \frac{a}{2} – середина отрезка (0; a].

Тогда

    \[0<\frac{\sqrt{4a-a^2}}{2}\leqslant \frac{a}{2}\]

Таким образом

    \[\begin{Bmatrix}{ 4a-a^2\leqslant a^2}\\{ 4a-a^2>0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ a\geqslant 2}\\{ a<4}\end{matrix}\]

Ответ: a \in [2; 4).

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *