Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Задачи с параметром. Аналитический подход – 2

Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать аналитически.

Задача 1. Найти все a, при которых уравнение

    \[\frac{x-2a}{x+2}+\frac{x-1}{x-a}=1\]

имеет ровно один корень. (ЕГЭ-2016, основная волна).

Приведем к общему знаменателю:

    \[\frac{(x-2a)(x-a)+(x-1)(x+2)-(x+2)(x-a)}{(x+2)(x-a)}=0\]

    \[\frac{x^2-3ax+2a^2+x^2+x-2-x^2-2x+2a+ax}{(x+2)(x-a)}=0\]

    \[\frac{x^2-(2a+1)x+2a^2+2a-2}{(x+2)(x-a)}=0\]

Если дискриминант числителя D<0, то решений нет.

Если дискриминант числителя D=0, то

    \[D=(2a+1)^2-8a^2-8a+8\]

    \[D=-4a^2-4a+9=0\]

    \[a=\frac{-2\pm \sqrt{4+36}}{4}=\frac{-1\pm \sqrt{10}}{2}\]

При таких a корень один – вершина параболы.

    \[x=\frac{2a+1}{2}=a+\frac{1}{2}\]

Знаменатель – не ноль, x \neq a; x \neq -2.

    \[a+\frac{1}{2}\neq a\]

    \[a+\frac{1}{2}\neq -2\]

Таким образом оба значения a подходят: a=\frac{-1\pm \sqrt{10}}{2}

Если дискриминант числителя D>0, у числителя два корня. Нужно, чтобы один из них был либо a, либо -2.

    \[D=-4a^2-4a+9>0\]

    \[4a^2+4a-9<0\]

    \[\frac{-1- \sqrt{10}}{2}<a<\frac{-1+ \sqrt{10}}{2}\]

Пусть x=-2 – корень числителя.

    \[4-(2a-1)\cdot (-2)+2a^2+2a-2=0\]

    \[2a^2+6a+4=0\]

    \[a^2+3a+2=0\]

    \[a=-1; a=-2\]

При a=-1

    \[\frac{x^2+x-2}{(x-2)(x+1)}=0\]

\frac{(x+2)(x-1)}{(x-2)(x+1)}=0 – один корень. a=-1 берем в ответ.

При a=-2

    \[\frac{x^2+3x+2}{(x+2)(x+2)}=0\]

\frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)(x+2)}=0 – один корень. a=-2 берем в ответ.

Пусть x=a – корень числителя.

    \[a^2-2a^2-a+2a^2+2a-2=0\]

    \[a^2+a-2=0\]

    \[a=1\]

a=-2 – уже рассматривали.

При a=1

    \[\frac{x^2-3x+2}{(x+2)(x-1)}=0\]

\frac{(x-1)(x-2)}{(x+2)(x-1)}=0 – один корень. a=1 берем в ответ.

Принадлежность a промежутку \frac{-1- \sqrt{10}}{2}<a<\frac{-1+ \sqrt{10}}{2} можно не проверять, так как мы точно знаем, что числитель имеет два корня.

Ответ: a=1; a=-1; a=-2; a=\frac{-1\pm \sqrt{10}}{2}.

Задача 2. Найти все a, при которых уравнение

    \[\frac{x^3+x^2-9a^2x-2x+a}{x^3-9a^2x}=1\]

имеет ровно один корень. (ЕГЭ-2016, основная волна).

    \[\frac{x^3+x^2-9a^2x-2x+a-x^3+9a^2x}{x^3-9a^2x}=0\]

    \[\frac{x^2-2x+a}{ x^3-9a^2x }=0\]

    \[\frac{x^2-2x+a}{ x(x-3a)(x+3a) }=0\]

Дискриминант числителя D=4-4a.

1)

    \[D=0\]

    \[a=1\]

При этом

    \[\frac{(x-1)^2}{x(x-3)(x+3)}=0\]

Корень единственный, берем в ответ.

2)

    \[D>0\]

    \[a<1\]

2.1 x=0 – корень числителя.

    \[a=0\]

    \[\frac{x^2-2x}{x^3}=0\]

Корень один, a=0 забираем в ответ.

2.2 x=3a – корень числителя.

    \[9a^2-6a+a=0\]

    \[9a^2=5a\]

a=0 или a=\frac{5}{9}. Тогда корни числителя x=\frac{5}{3}. Второй корень x=\frac{1}{3}.  Корни знаменателя x=0, x=\pm\frac{5}{3}.

a=\frac{5}{9} – забираем в ответ.

2.3 x=-3a – корень числителя.

    \[9a^2+6a+a=0\]

    \[9a^2=-7a\]

a=0 или a=-\frac{7}{9}. Тогда корни числителя x=\frac{7}{3}. Второй корень x=-\frac{1}{3}.  Корни знаменателя x=0, x=\pm\frac{7}{3}.

a=-\frac{7}{9} – забираем в ответ.

Решим эту задачу еще и графически: нарисуем на параметрической плоскости параболу -x^2+2x и две прямые a\pm\frac{x}{3}.

Точки пересечения параболы и данных прямых, а также параболы и прямой x=0 – выколоты.

Горизонтальная прямая будет иметь одну точку пересечения  с параболой при  a=1, a=0, a=\frac{5}{9}, a=-\frac{7}{9}.

Ответ: a=1, a=0, a=\frac{5}{9}, a=-\frac{7}{9}.

Задача 3. Найти все a, при которых уравнение

    \[x\sqrt{x-a}=\sqrt{6x^2-(6a+3)x+3a}=0\]

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1]. (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день).

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{ x-a\geqslant 0}\\{ (6x-3)(x-a) \geqslant 0}\end{matrix}\]

Решение:

Если x=a – это хорошо, это корень, он нам подходит при a \in [0; 1].

Если x>a, то x=\sqrt{6x-3} – сократить на x-a можно лишь при условии, что этот множитель положителен. При оформлении нельзя заменить корень из произведения на произведение корней! Это неравносильный переход. Если x-a=0, то 6x-3 может быть даже отрицательным.

Сократив на x-a при условии x-a>0, получаем

    \[x=\sqrt{6x-3}\]

    \[x \geqslant 0\]

    \[x^2=6x-3\]

    \[x^2-6x+3=0\]

Корни x=3\pm \sqrt{9-3}, из них нас интересует x=3-\sqrt{6}, так как он расположен между 0 и 1. Этот корень (x> a) существует при a \in (-\infty; 3-\sqrt{6}).

В итоге имеем один корень при a \in (-\infty; 0)\cup ( 3-\sqrt{6}; 1).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *