Задачи с параметром. Аналитический подход – 2

[latexpage]

Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать аналитически.

Задача 1. Найти все $a$, при которых уравнение

$$\frac{x-2a}{x+2}+\frac{x-1}{x-a}=1$$

имеет ровно один корень. (ЕГЭ-2016, основная волна).

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{(x-2a)(x-a)+(x-1)(x+2)-(x+2)(x-a)}{(x+2)(x-a)}=0$$

$$\frac{x^2-3ax+2a^2+x^2+x-2-x^2-2x+2a+ax}{(x+2)(x-a)}=0$$

$$\frac{x^2-(2a+1)x+2a^2+2a-2}{(x+2)(x-a)}=0$$

Если дискриминант числителя $D<0$, то решений нет.

Если дискриминант числителя $D=0$, то

$$D=(2a+1)^2-8a^2-8a+8$$

$$D=-4a^2-4a+9=0$$

$$a=\frac{-2\pm \sqrt{4+36}}{4}=\frac{-1\pm \sqrt{10}}{2}$$

При таких $a$ корень один – вершина параболы.

$$x=\frac{2a+1}{2}=a+\frac{1}{2}$$

Знаменатель – не ноль, $x \neq a; x \neq -2$.

$$a+\frac{1}{2}\neq a$$

$$a+\frac{1}{2}\neq -2$$

Таким образом оба значения $a$ подходят: $a=\frac{-1\pm \sqrt{10}}{2}$

Если дискриминант числителя $D>0$, у числителя два корня. Нужно, чтобы один из них был либо $a$, либо $-2$.

$$D=-4a^2-4a+9>0$$

$$4a^2+4a-9<0$$

$$\frac{-1- \sqrt{10}}{2}<a<\frac{-1+ \sqrt{10}}{2}$$

Пусть $x=-2$ – корень числителя.

$$4-(2a-1)\cdot (-2)+2a^2+2a-2=0$$

$$2a^2+6a+4=0$$

$$a^2+3a+2=0$$

$$a=-1; a=-2$$

При $a=-1$

$$\frac{x^2+x-2}{(x-2)(x+1)}=0$$

$\frac{(x+2)(x-1)}{(x-2)(x+1)}=0$ – один корень. $a=-1$ берем в ответ.

При $a=-2$

$$\frac{x^2+3x+2}{(x+2)(x+2)}=0$$

$\frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)(x+2)}=0$ – один корень. $a=-2$ берем в ответ.

Пусть $x=a$ – корень числителя.

$$a^2-2a^2-a+2a^2+2a-2=0$$

$$a^2+a-2=0$$

$$a=1$$

$a=-2$ – уже рассматривали.

При $a=1$

$$\frac{x^2-3x+2}{(x+2)(x-1)}=0$$

$\frac{(x-1)(x-2)}{(x+2)(x-1)}=0$ – один корень. $a=1$ берем в ответ.

Принадлежность $a$ промежутку $\frac{-1- \sqrt{10}}{2}<a<\frac{-1+ \sqrt{10}}{2}$ можно не проверять, так как мы точно знаем, что числитель имеет два корня.

Ответ: $a=1; a=-1; a=-2; a=\frac{-1\pm \sqrt{10}}{2}$.

Задача 2. Найти все $a$, при которых уравнение

$$\frac{x^3+x^2-9a^2x-2x+a}{x^3-9a^2x}=1$$

имеет ровно один корень. (ЕГЭ-2016, основная волна).

$$\frac{x^3+x^2-9a^2x-2x+a-x^3+9a^2x}{x^3-9a^2x}=0$$

$$\frac{x^2-2x+a}{ x^3-9a^2x }=0$$

$$\frac{x^2-2x+a}{ x(x-3a)(x+3a) }=0$$

Дискриминант числителя $D=4-4a$.

1)

$$D=0$$

$$a=1$$

При этом

$$\frac{(x-1)^2}{x(x-3)(x+3)}=0$$

Корень единственный, берем в ответ.

2)

$$D>0$$

$$a<1$$

2.1 $x=0$ – корень числителя.

$$a=0$$

$$\frac{x^2-2x}{x^3}=0$$

Корень один, $a=0$ забираем в ответ.

2.2 $x=3a$ – корень числителя.

$$9a^2-6a+a=0$$

$$9a^2=5a$$

$a=0$ или $a=\frac{5}{9}$. Тогда корни числителя $x=\frac{5}{3}$. Второй корень $x=\frac{1}{3}$.  Корни знаменателя $x=0$, $x=\pm\frac{5}{3}$.

$a=\frac{5}{9}$ – забираем в ответ.

2.3 $x=-3a$ – корень числителя.

$$9a^2+6a+a=0$$

$$9a^2=-7a$$

$a=0$ или $a=-\frac{7}{9}$. Тогда корни числителя $x=\frac{7}{3}$. Второй корень $x=-\frac{1}{3}$.  Корни знаменателя $x=0$, $x=\pm\frac{7}{3}$.

$a=-\frac{7}{9}$ – забираем в ответ.

Решим эту задачу еще и графически: нарисуем на параметрической плоскости параболу $-x^2+2x$ и две прямые $a\pm\frac{x}{3}$.

Точки пересечения параболы и данных прямых, а также параболы и прямой $x=0$ – выколоты.

Горизонтальная прямая будет иметь одну точку пересечения  с параболой при  $a=1, a=0, a=\frac{5}{9}, a=-\frac{7}{9}$.

Ответ: $a=1, a=0, a=\frac{5}{9}, a=-\frac{7}{9}$.

Задача 3. Найти все $a$, при которых уравнение

$$x\sqrt{x-a}=\sqrt{6x^2-(6a+3)x+3a}=0$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$. (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день).

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{ x-a\geqslant 0}\\{ (6x-3)(x-a) \geqslant 0}\end{matrix}$$

Решение:

Если $x=a$ – это хорошо, это корень, он нам подходит при $a \in [0; 1]$.

Если $x>a$, то $x=\sqrt{6x-3}$ – сократить на $x-a$ можно лишь при условии, что этот множитель положителен. При оформлении нельзя заменить корень из произведения на произведение корней! Это неравносильный переход. Если $x-a=0$, то $6x-3$ может быть даже отрицательным.

Сократив на $x-a$ при условии $x-a>0$, получаем

$$x=\sqrt{6x-3}$$

$$x \geqslant 0$$

$$x^2=6x-3$$

$$x^2-6x+3=0$$

Корни $x=3\pm \sqrt{9-3}$, из них нас интересует $x=3-\sqrt{6}$, так как он расположен между 0 и 1. Этот корень ($x> a $) существует при $a \in (-\infty; 3-\sqrt{6})$.

В итоге имеем один корень при $a \in (-\infty; 0)\cup ( 3-\sqrt{6}; 1)$.