Задачи с конденсаторами: сборная солянка

[latexpage]

В эту статью вошли задачи всех типов: здесь и определение эквивалентных емкостей, и напряжений между определенными точками схемы, и бесконечные цепочки, и даже исчезновение конденсаторов из схем (бесследное и без последствий).

 

Задача 1. Плоский конденсатор разрезают на $n = 4$ равные части вдоль плоскостей, перпендикулярных обкладкам. Полученные $n$ конденсаторов соединяют последовательно. Чему равна емкость полученной батaреи конденсаторов, если емкость исходного конденсатора $C_0 = 16$ мкФ?

Площадь исходного конденсатора:

$$C_{0}=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{d}$$

Площадь нового конденсатора (одного)  – в 4 раза меньше исходного (так как площадь меньше):

$$C_{mal}=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{4d}=\frac{ C_{0}}{4}$$

Теперь соединяем последовательно:

$$\frac{1}{C_{bat}}=\frac{1}{C_{mal}}\cdot 4$$

$$C_{bat}=\frac{C_{mal}}{4}=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{16d}=\frac{ C_{0}}{16}=\frac{16}{16}=1$$

Ответ: 1 мкФ.

Задача 2. Два плоских конденсатора, емкостью $C$ каждый, соединили параллельно. В один из них вставили диэлектрическую пластину с проницаемостью $\varepsilon$, заполнившую весь объем конденсатора. Какой емкости и как необходимо подключить третий конденсатор, чтобы емкость системы стала равной $3C$?

Так как первые два конденсатора соединены параллельно, то их емкости надо сложить, чтобы получить эквивалентную емкость:

$$C_1=C+C=2C$$

После введения пластины емкость такого конденсатора стала равна $C\varepsilon$, а эквивалентная емкость стала равна

$$C_2=C+ C\varepsilon=C(1+\varepsilon )$$

Теперь к этой конструкции будем присоединять еще один конденсатор. Попробуем присоединить параллельно, тогда

$$ C(1+\varepsilon )+C_x=3C$$

$$C_x=2C- C\varepsilon=C(2- \varepsilon)$$

Так как $C_x > 0$, то $2- \varepsilon > 0$, $\varepsilon < 2$.

Теперь присоединяем последовательно, тогда:

$$\frac{1}{ C(1+\varepsilon )}+ \frac{1}{ C_x}=\frac{1}{3C}$$

$$\frac{ CC_x(1+\varepsilon )}{ C(1+\varepsilon )+C_x}=3C$$

$$\frac{ C_x(1+\varepsilon )}{ 1+\varepsilon +\frac{C_x}{C}}=3C$$

$$C_x(1+\varepsilon )=3C(1+\varepsilon+\frac{C_x}{C} )$$

$$C_x(1+\varepsilon )-3C_x=3C(1+\varepsilon)$$

$$C_x(\varepsilon-2 )=3C(1+\varepsilon)$$

$$C_x=\frac{3C(1+\varepsilon)}{ \varepsilon-2}$$

Решим неравенство:

$$\frac{3C(1+\varepsilon)}{ \varepsilon-2}>0$$

Решение – $\varepsilon<-1$ – это решение не имеет смысла, $\varepsilon>2$.

Ответ: $C_x=C(2- \varepsilon)$, при $\varepsilon < 2$, параллельно.

$C_x=\frac{3C(1+\varepsilon)}{ \varepsilon-2}$, при $\varepsilon>2$, последовательно.

Задача 3. Разность потенциалов между точками А и В равна $U$ . Емкости конденсаторов $C_1, C_2, C_3$ известны. Определить заряды конденсаторов $q_1, q_2, q_3$ и разность потенциалов $U_1$ между точками А и D.

Так как емкости $C_2$ и $C_3$ соединены параллельно, то напряжение на них одинаковое. Кроме того, заряды на емкостях $C_1$ и системе конденсаторов $C_2-C_3$ одинаковы, так как они соединены последовательно. Поэтому

$$q_1=q_2+q_3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

$$U_2=U_3$$

$$\frac{q_3}{C_3}=\frac{q_2}{C_2}$$

$$q_3=\frac{q_2C_3}{C_2}$$

Эквивалентная емкость $C_{23}=C_2+C_3$, поэтому эквивалентная емкость всей схемы – произведение на сумму – $C_e=\frac{C_1(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}$.

Тогда заряд

$$q=C_eU=\frac{UC_1(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}$$

Но вследствие (1)

$$q_1=\frac{UC_1(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}$$

Тогда

$$U_1=\frac{q_1}{C_1}=\frac{U(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}$$

Находим $U_2=U_3$:

$$U_2= U_3=U-U_1=\frac{UC_1}{C_1+ C_2+C_3}$$

Определим заряды $q_2$ и $q_3$:

$$q_2= \frac{UC_1C_2}{C_1+ C_2+C_3}$$

$$q_3= \frac{UC_1C_3}{C_1+ C_2+C_3}$$

Ответ: $U_1=\frac{U(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}$, $q_1=\frac{UC_1(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}$, $q_2= \frac{UC_1C_2}{C_1+ C_2+C_3}$, $q_3= \frac{UC_1C_3}{C_1+ C_2+C_3}$.
Задача 4. Определить емкость батареи конденсаторов, показанной на рисунке, если $C_1 = 4$ мкФ, $C_2 = 10$ мкФ, $C_3 = 2$ мкФ.

Сначала два конденсатора $C_1$ подключены параллельно, при этом емкости складываются: $2C_1$. В конце параллельное соединение $C_1$ и $C_3$: $C_1+C_3$. Теперь имеем последовательное соединение емкостей $2C_1$, $C_2$ и $C_1+C_3$. Тогда

$$\frac{1}{C_e}=\frac{1}{2C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{ C_1+C_3}$$

Можно подставить числа и довести решение до конца:

$$\frac{1}{C_e}=\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{6}=\frac{15+12+20}{120}=\frac{47}{120}$$

$$C_e=\frac{120}{47}=2,55$$

Ответ: $C_e=2,55$ мкФ.

Задача 5. Найти емкость системы конденсаторов, изображенной на рисунке.

На рисунке a) емкость $C_3$ оказывается незаряженной, так как схема совершенно симметрична и $U_{AB}=U_1+U_2$, поэтому $U_{CD}=U_1-U_1=U_2-U_2=0$.

Поэтому конденсатор $C_3$ не заряжен – разность потенциалов на его выводах нулевая. Следовательно, имеем две веточки, включенные в параллель: в каждой последовательное соединение $C_1$ и $C_2$.

Сопротивление одной ветки (емкость двух последовательно включенных конденсаторов – произведение, деленное на сумму):

$$C_{e1}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$$

А двух таких веток в параллель (емкости, включенные параллельно, складываются): $\frac{2C_1C_2}{C_1+C_2}$.

На рисунке б) – если приглядеться, та же самая ситуация:

Так что, аналогично первой схеме, сопротивление одной ветки с двумя последовательно включенными конденсаторами – $\frac{C}{2}$, а две такие емкости в параллель дадут $C$.

Ответ: а) $\frac{2C_1C_2}{C_1+C_2}$; б) $C$.

Задача 6. Определить емкость Сх бесконечно длинной системы одинаковых конденсаторов, емкостью С каждый, соединенных друг с другом, как показано на рисунке.

Выделим в этой цепи повторяющийся элемент:

Эти элементы соединены параллельно. Так как емкость цепи бесконечна, то от нее не убудет, если мы один элемент удалим, или выделим. Тогда справа от выделенного элемента цепь с емкостью $C_x$, и слева – тоже.

Можем записать для последовательно включенных емкостей:

$$\frac{1}{C}+\frac{1}{C+C_x}=\frac{1}{C_x}$$

$$C_x=\frac{C(C+C_x)}{C+C+C_x}$$

$$C_x^2-CC_x-C^2=0$$

$$D=5C^2$$

$$C_x=\frac{-C\pm c\sqrt{5}}{2}=C\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$$

Задача 7. Найти разность потенциалов между точками А и В в схеме, изображенной на рисунке. Емкость $C_1 = 1$ мкФ, $C_2 =2$ мкФ, $C_3 = 3$ мкФ. Напряжение источника $U = 100$ В.

Емкость верхней ветки:

$$C_v=\frac{C_1C_3}{C_1+C_3}=\frac{3}{1+3}=\frac{3}{4}$$

Емкость нижней ветки:

$$C_n=\frac{C_2C_3}{C_2+C_3}=\frac{2\cdot3}{2+3}=\frac{6}{5}$$

Заряд верхней ветви (мкКл):

$$q_v=UC_v=\frac{3}{4}\cdot100=75$$

Заряд нижней ветви (мкКл):

$$q_n=UC_n=\frac{6}{5}\cdot100=120$$

Но $C_1$ соединен последовательно с $C_3$, поэтому $q_1=q_3$, и

$$U_1=\frac{q_1}{C_1}=\frac{q_v}{C_1}=75$$

$$U_3=\frac{q_1}{C_3}=\frac{q_v}{C_3}=25$$

Аналогично в нижней ветви:

$$U_2=\frac{q_2}{C_2}=\frac{q_n}{C_2}=60$$

$$U_4=\frac{q_2}{C_4}=\frac{q_n}{C_4}=40$$

В сумме $U_1+U_3=U_2+U_4=100$.

Найдем разность потенциалов между точками $A$ и $B$:

$$U_{AB}=U_2-U_1=U_3-U_4=60-75=25-40=-15$$

Ответ: $U_{BA}=15$ B.