Задачи с конденсаторами: сборная солянка

В эту статью вошли задачи всех типов: здесь и определение эквивалентных емкостей, и напряжений между определенными точками схемы, и бесконечные цепочки, и даже исчезновение конденсаторов из схем (бесследное и без последствий).

Задача 1. Плоский конденсатор разрезают на $n = 4$ равные части вдоль плоскостей, перпендикулярных обкладкам. Полученные $n$ конденсаторов соединяют последовательно. Чему равна емкость полученной батaреи конденсаторов, если емкость исходного конденсатора $C_0 = 16$ мкФ?

К задаче 1

Площадь исходного конденсатора:

$C_{0}=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{d}$

Площадь нового конденсатора (одного) – в 4 раза меньше исходного (так как площадь меньше):

$C_{mal}=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{4d}=\frac{ C_{0}}{4}$

Теперь соединяем последовательно:

$\frac{1}{C_{bat}}=\frac{1}{C_{mal}}\cdot 4$

$C_{bat}=\frac{C_{mal}}{4}=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{16d}=\frac{ C_{0}}{16}=\frac{16}{16}=1$

Ответ: 1 мкФ.

Задача 2. Два плоских конденсатора, емкостью $C$ каждый, соединили параллельно. В один из них вставили диэлектрическую пластину с проницаемостью $\varepsilon$ , заполнившую весь объем конденсатора. Какой емкости и как необходимо подключить третий конденсатор, чтобы емкость системы стала равной $3C$ ?

Так как первые два конденсатора соединены параллельно, то их емкости надо сложить, чтобы получить эквивалентную емкость:

$C_1=C+C=2C$

После введения пластины емкость такого конденсатора стала равна $C\varepsilon$ , а эквивалентная емкость стала равна

$C_2=C+ C\varepsilon=C(1+\varepsilon )$

Теперь к этой конструкции будем присоединять еще один конденсатор. Попробуем присоединить параллельно, тогда

$C(1+\varepsilon )+C_x=3C$

$C_x=2C- C\varepsilon=C(2- \varepsilon)$

Так как $C_x > 0$ , то $2- \varepsilon > 0$ , $\varepsilon < 2$ .

Теперь присоединяем последовательно, тогда:

$\frac{1}{ C(1+\varepsilon )}+ \frac{1}{ C_x}=\frac{1}{3C}$

$\frac{ CC_x(1+\varepsilon )}{ C(1+\varepsilon )+C_x}=3C$

$\frac{ C_x(1+\varepsilon )}{ 1+\varepsilon +\frac{C_x}{C}}=3C$

$C_x(1+\varepsilon )=3C(1+\varepsilon+\frac{C_x}{C} )$

$C_x(1+\varepsilon )-3C_x=3C(1+\varepsilon)$

$C_x(\varepsilon-2 )=3C(1+\varepsilon)$

$C_x=\frac{3C(1+\varepsilon)}{ \varepsilon-2}$

Решим неравенство:

$\frac{3C(1+\varepsilon)}{ \varepsilon-2}>0$

Решение – $\varepsilon<-1$ – это решение не имеет смысла, $\varepsilon>2$ .

Ответ: $C_x=C(2- \varepsilon)$ , при $\varepsilon < 2$ , параллельно.

$C_x=\frac{3C(1+\varepsilon)}{ \varepsilon-2}$ , при $\varepsilon>2$ , последовательно.

Задача 3. Разность потенциалов между точками А и В равна $U$ . Емкости конденсаторов $C_1, C_2, C_3$ известны. Определить заряды конденсаторов $q_1, q_2, q_3$ и разность потенциалов $U_1$ между точками А и D.

К задаче 3

Так как емкости $C_2$ и $C_3$ соединены параллельно, то напряжение на них одинаковое. Кроме того, заряды на емкостях $C_1$ и системе конденсаторов $C_2-C_3$ одинаковы, так как они соединены последовательно. Поэтому

$q_1=q_2+q_3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$

$U_2=U_3$

$\frac{q_3}{C_3}=\frac{q_2}{C_2}$

$q_3=\frac{q_2C_3}{C_2}$

Эквивалентная емкость $C_{23}=C_2+C_3$ , поэтому эквивалентная емкость всей схемы – произведение на сумму – $C_e=\frac{C_1(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}$ .

Тогда заряд

$q=C_eU=\frac{UC_1(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}$

Но вследствие (1)

$q_1=\frac{UC_1(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}$

Тогда

$U_1=\frac{q_1}{C_1}=\frac{U(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}$

Находим $U_2=U_3$ :

$U_2= U_3=U-U_1=\frac{UC_1}{C_1+ C_2+C_3}$

Определим заряды $q_2$ и $q_3$ :

$q_2= \frac{UC_1C_2}{C_1+ C_2+C_3}$

$q_3= \frac{UC_1C_3}{C_1+ C_2+C_3}$

Ответ: $U_1=\frac{U(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}$ , $q_1=\frac{UC_1(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}$ , $q_2= \frac{UC_1C_2}{C_1+ C_2+C_3}$ , $q_3= \frac{UC_1C_3}{C_1+ C_2+C_3}$ .
Задача 4. Определить емкость батареи конденсаторов, показанной на рисунке, если $C_1 = 4$ мкФ, $C_2 = 10$ мкФ, $C_3 = 2$ мкФ.

К задаче 4

Сначала два конденсатора $C_1$ подключены параллельно, при этом емкости складываются: $2C_1$ . В конце параллельное соединение $C_1$ и $C_3$ : $C_1+C_3$ . Теперь имеем последовательное соединение емкостей $2C_1$ , $C_2$ и $C_1+C_3$ . Тогда

$\frac{1}{C_e}=\frac{1}{2C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{ C_1+C_3}$

Можно подставить числа и довести решение до конца:

$\frac{1}{C_e}=\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{6}=\frac{15+12+20}{120}=\frac{47}{120}$

$C_e=\frac{120}{47}=2,55$

Ответ: $C_e=2,55$ мкФ.

Задача 5. Найти емкость системы конденсаторов, изображенной на рисунке.

К задаче 5

На рисунке a) емкость $C_3$ оказывается незаряженной, так как схема совершенно симметрична и $U_{AB}=U_1+U_2$ , поэтому $U_{CD}=U_1-U_1=U_2-U_2=0$ .

Рисунок 2 (задача 5)

Поэтому конденсатор $C_3$ не заряжен – разность потенциалов на его выводах нулевая. Следовательно, имеем две веточки, включенные в параллель: в каждой последовательное соединение $C_1$ и $C_2$ .

Рисунок 3 (к задаче 5)

Сопротивление одной ветки (емкость двух последовательно включенных конденсаторов – произведение, деленное на сумму):

$C_{e1}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$

А двух таких веток в параллель (емкости, включенные параллельно, складываются): $\frac{2C_1C_2}{C_1+C_2}$ .

На рисунке б) – если приглядеться, та же самая ситуация:

К задаче 5 – рисунок 4

Так что, аналогично первой схеме, сопротивление одной ветки с двумя последовательно включенными конденсаторами – $\frac{C}{2}$ , а две такие емкости в параллель дадут $C$ .

Ответ: а) $\frac{2C_1C_2}{C_1+C_2}$ ; б) $C$ .

Задача 6. Определить емкость Сх бесконечно длинной системы одинаковых конденсаторов, емкостью С каждый, соединенных друг с другом, как показано на рисунке.

К задаче 6, рисунок 1

Выделим в этой цепи повторяющийся элемент:

К задаче 6, рисунок 2

Эти элементы соединены параллельно. Так как емкость цепи бесконечна, то от нее не убудет, если мы один элемент удалим, или выделим. Тогда справа от выделенного элемента цепь с емкостью $C_x$ , и слева – тоже.

К задаче 6, рисунок 3

Можем записать для последовательно включенных емкостей:

$\frac{1}{C}+\frac{1}{C+C_x}=\frac{1}{C_x}$

$C_x=\frac{C(C+C_x)}{C+C+C_x}$

$C_x^2-CC_x-C^2=0$

$D=5C^2$

$C_x=\frac{-C\pm c\sqrt{5}}{2}=C\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$

Задача 7. Найти разность потенциалов между точками А и В в схеме, изображенной на рисунке. Емкость $C_1 = 1$ мкФ, $C_2 =2$ мкФ, $C_3 = 3$ мкФ. Напряжение источника $U = 100$ В.