Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Емкости

Задачи с конденсаторами: сборная солянка

В эту статью вошли задачи всех типов: здесь и определение эквивалентных емкостей, и напряжений между определенными точками схемы, и бесконечные цепочки, и даже исчезновение конденсаторов из схем (бесследное и без последствий).

 

Задача 1. Плоский конденсатор разрезают на n = 4 равные части вдоль плоскостей, перпендикулярных обкладкам. Полученные n конденсаторов соединяют последовательно. Чему равна емкость полученной батaреи конденсаторов, если емкость исходного конденсатора C_0 = 16 мкФ?

К задаче 1

Площадь исходного конденсатора:

    \[C_{0}=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{d}\]

Площадь нового конденсатора (одного)  – в 4 раза меньше исходного (так как площадь меньше):

    \[C_{mal}=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{4d}=\frac{ C_{0}}{4}\]

Теперь соединяем последовательно:

    \[\frac{1}{C_{bat}}=\frac{1}{C_{mal}}\cdot 4\]

    \[C_{bat}=\frac{C_{mal}}{4}=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{16d}=\frac{ C_{0}}{16}=\frac{16}{16}=1\]

Ответ: 1 мкФ.

Задача 2. Два плоских конденсатора, емкостью C каждый, соединили параллельно. В один из них вставили диэлектрическую пластину с проницаемостью \varepsilon, заполнившую весь объем конденсатора. Какой емкости и как необходимо подключить третий конденсатор, чтобы емкость системы стала равной 3C?

Так как первые два конденсатора соединены параллельно, то их емкости надо сложить, чтобы получить эквивалентную емкость:

    \[C_1=C+C=2C\]

После введения пластины емкость такого конденсатора стала равна C\varepsilon, а эквивалентная емкость стала равна

    \[C_2=C+ C\varepsilon=C(1+\varepsilon )\]

Теперь к этой конструкции будем присоединять еще один конденсатор. Попробуем присоединить параллельно, тогда

    \[C(1+\varepsilon )+C_x=3C\]

    \[C_x=2C- C\varepsilon=C(2- \varepsilon)\]

Так как C_x > 0, то 2- \varepsilon > 0, \varepsilon < 2.

Теперь присоединяем последовательно, тогда:

    \[\frac{1}{ C(1+\varepsilon )}+ \frac{1}{ C_x}=\frac{1}{3C}\]

    \[\frac{ CC_x(1+\varepsilon )}{ C(1+\varepsilon )+C_x}=3C\]

    \[\frac{ C_x(1+\varepsilon )}{ 1+\varepsilon +\frac{C_x}{C}}=3C\]

    \[C_x(1+\varepsilon )=3C(1+\varepsilon+\frac{C_x}{C} )\]

    \[C_x(1+\varepsilon )-3C_x=3C(1+\varepsilon)\]

    \[C_x(\varepsilon-2 )=3C(1+\varepsilon)\]

    \[C_x=\frac{3C(1+\varepsilon)}{ \varepsilon-2}\]

Решим неравенство:

    \[\frac{3C(1+\varepsilon)}{ \varepsilon-2}>0\]

Решение – \varepsilon<-1 – это решение не имеет смысла, \varepsilon>2.

Ответ: C_x=C(2- \varepsilon), при \varepsilon < 2, параллельно.

C_x=\frac{3C(1+\varepsilon)}{ \varepsilon-2}, при \varepsilon>2, последовательно.

Задача 3. Разность потенциалов между точками А и В равна U . Емкости конденсаторов C_1, C_2, C_3 известны. Определить заряды конденсаторов q_1, q_2, q_3 и разность потенциалов U_1 между точками А и D.

К задаче 3

Так как емкости C_2 и C_3 соединены параллельно, то напряжение на них одинаковое. Кроме того, заряды на емкостях C_1 и системе конденсаторов C_2-C_3 одинаковы, так как они соединены последовательно. Поэтому

    \[q_1=q_2+q_3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

    \[U_2=U_3\]

    \[\frac{q_3}{C_3}=\frac{q_2}{C_2}\]

    \[q_3=\frac{q_2C_3}{C_2}\]

Эквивалентная емкость C_{23}=C_2+C_3, поэтому эквивалентная емкость всей схемы – произведение на сумму – C_e=\frac{C_1(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}.

Тогда заряд

    \[q=C_eU=\frac{UC_1(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}\]

Но вследствие (1)

    \[q_1=\frac{UC_1(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}\]

Тогда

    \[U_1=\frac{q_1}{C_1}=\frac{U(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}\]

Находим U_2=U_3:

    \[U_2= U_3=U-U_1=\frac{UC_1}{C_1+ C_2+C_3}\]

Определим заряды q_2 и q_3:

    \[q_2= \frac{UC_1C_2}{C_1+ C_2+C_3}\]

    \[q_3= \frac{UC_1C_3}{C_1+ C_2+C_3}\]

Ответ: U_1=\frac{U(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}, q_1=\frac{UC_1(C_2+C_3)}{C_1+ C_2+C_3}, q_2= \frac{UC_1C_2}{C_1+ C_2+C_3}, q_3= \frac{UC_1C_3}{C_1+ C_2+C_3}.
Задача 4. Определить емкость батареи конденсаторов, показанной на рисунке, если C_1 = 4 мкФ, C_2 = 10 мкФ, C_3 = 2 мкФ.

К задаче 4

Сначала два конденсатора C_1 подключены параллельно, при этом емкости складываются: 2C_1. В конце параллельное соединение C_1 и C_3: C_1+C_3. Теперь имеем последовательное соединение емкостей 2C_1, C_2 и C_1+C_3. Тогда

    \[\frac{1}{C_e}=\frac{1}{2C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{ C_1+C_3}\]

Можно подставить числа и довести решение до конца:

    \[\frac{1}{C_e}=\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{6}=\frac{15+12+20}{120}=\frac{47}{120}\]

    \[C_e=\frac{120}{47}=2,55\]

Ответ: C_e=2,55 мкФ.

Задача 5. Найти емкость системы конденсаторов, изображенной на рисунке.

К задаче 5

На рисунке a) емкость C_3 оказывается незаряженной, так как схема совершенно симметрична и U_{AB}=U_1+U_2, поэтому U_{CD}=U_1-U_1=U_2-U_2=0.

Рисунок 2 (задача 5)

Поэтому конденсатор C_3 не заряжен – разность потенциалов на его выводах нулевая. Следовательно, имеем две веточки, включенные в параллель: в каждой последовательное соединение C_1 и C_2.

Рисунок 3 (к задаче 5)

Сопротивление одной ветки (емкость двух последовательно включенных конденсаторов – произведение, деленное на сумму):

    \[C_{e1}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\]

А двух таких веток в параллель (емкости, включенные параллельно, складываются): \frac{2C_1C_2}{C_1+C_2}.

На рисунке б) – если приглядеться, та же самая ситуация:

К задаче 5 – рисунок 4

Так что, аналогично первой схеме, сопротивление одной ветки с двумя последовательно включенными конденсаторами – \frac{C}{2}, а две такие емкости в параллель дадут C.

Ответ: а) \frac{2C_1C_2}{C_1+C_2}; б) C.

Задача 6. Определить емкость Сх бесконечно длинной системы одинаковых конденсаторов, емкостью С каждый, соединенных друг с другом, как показано на рисунке.

К задаче 6, рисунок 1

Выделим в этой цепи повторяющийся элемент:

К задаче 6, рисунок 2

Эти элементы соединены параллельно. Так как емкость цепи бесконечна, то от нее не убудет, если мы один элемент удалим, или выделим. Тогда справа от выделенного элемента цепь с емкостью C_x, и слева – тоже.

К задаче 6, рисунок 3

Можем записать для последовательно включенных емкостей:

    \[\frac{1}{C}+\frac{1}{C+C_x}=\frac{1}{C_x}\]

    \[C_x=\frac{C(C+C_x)}{C+C+C_x}\]

    \[C_x^2-CC_x-C^2=0\]

    \[D=5C^2\]

    \[C_x=\frac{-C\pm c\sqrt{5}}{2}=C\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\]

Задача 7. Найти разность потенциалов между точками А и В в схеме, изображенной на рисунке. Емкость C_1 = 1 мкФ, C_2 =2 мкФ, C_3 = 3 мкФ. Напряжение источника U = 100 В.

К задаче 7

Емкость верхней ветки:

    \[C_v=\frac{C_1C_3}{C_1+C_3}=\frac{3}{1+3}=\frac{3}{4}\]

Емкость нижней ветки:

    \[C_n=\frac{C_2C_3}{C_2+C_3}=\frac{2\cdot3}{2+3}=\frac{6}{5}\]

Заряд верхней ветви (мкКл):

    \[q_v=UC_v=\frac{3}{4}\cdot100=75\]

Заряд нижней ветви (мкКл):

    \[q_n=UC_n=\frac{6}{5}\cdot100=120\]

Но C_1 соединен последовательно с C_3, поэтому q_1=q_3, и

    \[U_1=\frac{q_1}{C_1}=\frac{q_v}{C_1}=75\]

    \[U_3=\frac{q_1}{C_3}=\frac{q_v}{C_3}=25\]

Аналогично в нижней ветви:

    \[U_2=\frac{q_2}{C_2}=\frac{q_n}{C_2}=60\]

    \[U_4=\frac{q_2}{C_4}=\frac{q_n}{C_4}=40\]

В сумме U_1+U_3=U_2+U_4=100.

Найдем разность потенциалов между точками A и B:

    \[U_{AB}=U_2-U_1=U_3-U_4=60-75=25-40=-15\]

Ответ: U_{BA}=15 B.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *