Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Работа газа, Уравнение Менделеева-Клапейрона

Задачи с графиками: работа газа и внутренняя энергия

Задачи средней сложности, для решения нужна только внимательность. Никаких «подвохов»- все математически четко и понятно.

Задача 1. Температура идеального газа в состоянии 1 была T_0. Чему равна температура в состоянии 3 после осуществления процесса 1-2-3, изображенного на диаграмме p-V? T_0=400 К.

К задаче 1

 

Процесс 1-2 – изохорный. Запишем закон Шарля.

    \[\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}\]

    \[T_2=\frac{T_1p_2}{p_1}\]

Процесс 2-3 – не изотермический, поэтому просто запишем уравнение состояния:

    \[\frac{p_2V_2}{T_2}=\frac{p_3V_3}{T_3}\]

Откуда

    \[T_3=\frac{T_2p_3V_3}{p_2V_2}=\frac{T_1p_2p_3V_3}{p_1p_2V_2}=\frac{T_1p_3V_3}{p_1V_2}=\frac{T_1\cdot1,5p_0\cdot3V_0}{p_0V_0}=4,5T_1=1800\]

Ответ: 1800 К.

Задача 2. Идеальный одноатомный газ, находящийся при нормальных условиях, переводят из состояния 1 в состояние 2 двумя способами: 1-3-2 и 1-4-2. Найдите отношение количеств теплоты, которые необходимо сообщить 1 кмоль газа в этих двух процессах.

К задаче 2

Рассмотрим переход 1-3-2. Процесс 1-3 – изохора, работа не совершается. Но температура растет, определим, как.

    \[\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_3}{T_3}\]

    \[T_3=\frac{T_1p_3}{p_1}=2T_1\]

Процесс 3-2 – изобара. Работа в процессе 3-2 равна

    \[A_{32}=2p_0V_0\]

    \[\frac{V_3}{T_3}=\frac{V_2}{T_2}\]

    \[T_2=\frac{T_3V_2}{V_3}=2T_3=4T_1\]

Изменение температуры составило 3T_1. Следовательно, можем определить изменение внутренней энергии:

    \[\Delta U_{132}=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=4,5\nu R T_1=4,5p_0V_0\]

Теперь найдем общее количество теплоты, переданное газу при таком переходе:

    \[Q_{132}=A_{32}+\Delta U_{132}=2p_0V_0+4,5p_0V_0=6,5p_0V_0\]

Процесс перехода 1-4-2 отличается только совершенной работой. Определим ее:

    \[A_{14}=p_0V_0\]

    \[Q_{142}=A_{14}+\Delta U_{132}=p_0V_0+4,5p_0V_0=5,5p_0V_0\]

Определим отношение количеств теплоты:

    \[\frac{ Q_{132}}{ Q_{142}}=\frac{6,5p_0V_0}{5,5p_0V_0}=\frac{13}{11}\]

Ответ: \frac{ Q_{132}}{ Q_{142}}=\frac{13}{11}.

Задача 3. Идеальный одноатомный газ, взятый в количестве 1 моль, переводят из состояния 1 в состояние 4. Какое количество теплоты  сообщили в этом процессе газу? Масса газа во время процесса не меняется.

К задаче 3

Определим сначала изменение внутренней энергии, для этого составим объединенный газовый закон для точек 1 и 4.

    \[\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_4V_4}{T_4}\]

    \[T_4=\frac{ T_1 p_4V_4}{ p_1V_1 }=5T_1\]

Изменение внутренней энергии равно

    \[\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=1,5\nu R 4T_1=6p_1V_1=600\]

Теперь определим работу. Работу удобно определить как площадь под кривой процесса. Разобьем эту площадь на удобные «куски» – трапеции.

К задаче 3. Определяем работу

    \[S=S_1+S_2+S_3=\frac{100+400}{2}\cdot1+\frac{400+200}{2}\cdot1+\frac{200+100}{2}\cdot2=250+300+300=850\]

Теперь найдем общее количество теплоты, переданное газу:

    \[Q=A+\Delta U=600+850=1450\]

Ответ: 1450 Дж.

Задача 4. На рисунке представлена диаграмма цикла с одноатомным идеальным газом, взятым в количестве 0,3 моль. Участки BC и DA – адиабаты.  Определите работу, совершенную газом на участке BC.

К задаче 4

Участок BC по условию – адиабата, то есть передачи тепла газу на этом участке не происходит, следовательно, работа будет совершена за счет «внутренних резервов» – то есть внутренней энергии. Нужно, следовательно, найти, как она изменилась.

Задачу можно решить двумя способами. Во-первых, просто определить температуры в точках B и C, это легко сделать из данных графика с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона, и затем посчитать \Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T. Но, так как \nu R  T_B=p_B V_B, а \nu R  T_С=p_С V_С,то изменение внутренней энергии будет равно

    \[\Delta U= \frac{3}{2}(p_B V_B-p_C V_C)= \frac{3}{2}\cdot(3300-2400)= \frac{3}{2}\cdot 900=1350\]

Ответ: 1350 Дж.

Задача 5. Один моль одноатомного идеального газа расширяется сначала изобарно, а затем по линейному закону, причем прямая линия проходит через начало координат  p-V\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_2}. Найдите \frac{V_2}{V_1}, если количество тепла, сообщенное газу на участке 1-2, в 4 раза меньше работы, совершенной на участке 2-3.

К задаче 5

Определим количество тепла, сообщенное газу на участке 1-2, и работу, совершенную на участке 2-3.

Для изобарного процесса 1-2 запишем закон Гей-Люссака:

    \[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\]

Откуда

    \[T_2=\frac{ T_1 V_2}{ V_1}\]

Следовательно, изменение внутренней энергии газа равно

    \[\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=1,5\nu R (T_2-T_1)= 1,5\nu R (\frac{ T_1 V_2}{ V_1}-T_1)= 1,5\nu R T_1 (\frac{ V_2}{ V_1}-1)\]

Работа на этом участке равна площади под графиком, под участком 1-2:

    \[A_{12}=p(V_2-V_1)=pV_1\left(\frac{V_2}{V_1}-1\right)= \nu R T_1 \left(\frac{V_2}{V_1}-1\right)\]

Тогда тепло, переданное газу, равно

    \[Q=\Delta U_{12}+ A_{12}=1,5\nu R T_1 (\frac{ V_2}{ V_1}-1)+ \nu R T_1 (\frac{ V_2}{ V_1}-1)= 2,5\nu R T_1 (\frac{ V_2}{ V_1}-1)\]

Теперь рассмотрим процесс 2-3. Нам нужно определить лишь работу газа на этом участке. Площадь под этим участком – трапеция, поэтому

    \[A_{23}= \frac{p_2+p_3}{2}(V_3-V_2)\]

Из подобия треугольников ABC и ADE запишем:

    \[\frac{p_3}{p_2}=\frac{V_3}{V_2}\]

    \[p_3=\frac{V_3}{V_2}p_2\]

Тогда

    \[A_{23}= \frac{p_2+\frac{V_3}{V_2}p_2}{2}(V_3-V_2)=\frac{p_2V_2}{2}\left(\frac{V_3}{V_2}-1\right) \left(\frac{V_3}{V_2}+1\right)\]

Так как по условию \frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_2}, то

    \[A_{23}= \frac{p_2V_2}{2}\left(\frac{V_2}{V_1}-1\right) \left(\frac{V_2}{V_1}+1\right)= \frac{p_2V_2}{2}\left(\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2-1\right)= \frac{\nu R T_2}{2}\left(\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2-1\right)\]

Так как \frac{A_{23}}{4}=Q, то

    \[2,5\nu R T_1 (\frac{ V_2}{ V_1}-1)= \frac{\nu R T_2}{8}\left(\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2-1\right)\]

Сократим, что возможно:

    \[2,5T_1 = \frac{T_2}{8}\left(\frac{V_2}{V_1}+1\right)\]

Из первой записанной нами формулы  (закона Гей-Люссака) следует, что

    \[\frac{T_1}{T_2}=\frac{V_1}{V_2}\]

Тогда

    \[\left(\frac{V_2}{V_1}+1\right)=20\frac{T_1}{T_2}=20{V_1}{V_2}\]

Или

    \[\frac{V_2}{V_1}+1\right-20{V_1}{V_2}=0\]

Введем замену a=\frac{V_2}{V_1}:

    \[a-\frac{20}{a}+1=0\]

    \[a^2+a-20=0\]

    \[D=81\]

    \[a=\frac{-1+\sqrt{81}}{2}=4\]

Понятно, отрицательный корень нас не интересует.

Ответ: \frac{V_2}{V_1}=4.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *