Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 16 (C4)

Задачи с фантазией – 9

Продолжаю серию статей “Задачи с фантазией”. Эти задачи можно и нужно использовать как подготовку к решению задачи 16: они очень хорошо развивают “геометрическое видение”. Решайте больше – и количество не замедлит перерасти в качество!

Задача 1. Дан правильный десятиугольник . Чему равен угол между диагоналями и ?

Задача 1

Рассчитаем угол между сторонами по известной формуле:

   

Тогда треугольник – равнобедренный, его острые углы равны

   

Четырехугольник – равнобедренная трапеция, сумма углов  , поэтому угол .

Теперь рассмотрим треугольник . Два угла в нем известны, найдем внешний , он и будет искомым углом:

   

Ответ: .

 

Задача 2. Расстояния от концов диаметра окружности до некоторой касательной равны 3 и 8. Чему равно наибольшее из расстояний от концов этого же диаметра до перпендикулярной касательной?

Пусть диаметр окружности – . Точка касания первой касательной – , перпендикулярной ей касательной – . Тогда , .

Задача 2

Расстояние от точки до прямой – это перпендикуляр. Следовательно, раз и , то и – трапеция, средняя линия которой – радиус окружности, тогда .

В задаче требуется найти длину , для этого сначала придется отыскать длину .

Рассмотрим прямоугольный треугольник . В нем . – диаметр окружности, а , тогда по теореме Пифагора

   

Тогда , а :

   

Ответ: .

 

Задача 3. В окружности проведены два радиуса и . Вторая окружность касается обоих отрезков и , а также касается первой окружности. Чему равен радиус первой окружности, если угол равен , а радиус второй окружности равен 1?

Задача 3

Найдем косинус половинного угла – угла : с ним работать будет, очевидно, удобнее.

   

Опеределим синус половинного угла:

   

Обозначим длину отрезка  за , тогда можно записать синус половинного угла как отношение:

   

Откуда

   

Радиус первой, большей, окружности, равен:

   

Ответ: .

 

Задача 4. На биссектрисе угла выбрана точка , и в треугольник вписана окружность. Пусть и – точки касания этой окружности со сторонами и соответственно. Оказалось, что – параллелограмм. Чему равна длина , если , ?

Задача 4

Так как , , а – параллелограмм, то , а , и треугольник – равнобедренный. По свойству касательных , и треугольник – равнобедренный. Также из свойств асательных вытекает, что . Следовательно, треугольники и   подобны. Из подобия можем записать:

   

   

Ответ:

 

Задача 5. В трапеции с основаниями и на стороне  лежит точка так, что . Отрезок параллелен основаниям трапеции, точка лежит на стороне . Чему равен , если и ?

Задача 5

Достроим трапецию до треугольника: пересечем вверху продолжения ее сторон. Тогда треугольники  и , и подобны. Так как , то введем обозначения: , , , .

Тогда для подобных треугольников и запишем отношение сходственных сторон:

   

   

   

Откуда

Тогда для подобных треугольников и :

   

   

   

Откуда

Ответ: .

 

Задача 6. В треугольник вписан ромб , вершины которого лежат на сторонах , и соответственно. Чему равна сторона ромба, если стороны и равны 2 и 5 соответственно?

Задача 6

 

 

Обозначим длину стороны ромба за . Треугольники и подобны (так как ). Тогда для сходственных сторон запишем:

   

   

   

   

   

Ответ: .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *