Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 16 (C4)

Задачи с фантазией – 8

В задачах этого цикла хорошо то, что часто они могут иметь два варианта решения. Такие задачи особенно хорошо развивают геометрическое видение. Начинать решать задачи этой серии можно с любой статьи, но прежде чем подсмотреть в решение – попробуйте обязательно сначала решить сами.

Задача 1. Сторона квадрата равна 1120. На стороне лежит точка , а на продолжении стороны за точкой лежит точка . Чему равна длина отрезка , если , а ?

Задача 1

Подумаем, что можно в этой задаче определить. Угол равен . Тангенс угла тоже можно найти. Он равен

   

Определим тангенс угла :

   

Теперь можно воспользоваться равенством углов   и :

   

   

   

Ответ: 1225

 

Задача 2. В окружности проведена хорда и диаметр , образующий с хордой угол . Касательная к окружности, проходящая через точку , пересекает луч в точке . Чему равна длина , если радиус окружности равен 5, а ?

Задача 2

 

 

Треугольник – прямоугольный, поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Найдем тангенс угла . Этот угол – центральный, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол , поэтому он равен , и

   

   

Откуда

   

Ответ: 12.

Задача 3. Чему равен радиус окружности, вписанной в угол и касающейся другой окружности радиуса 9, вписанной в тот же угол, если ?

Задача 3

Определим косинус половинного угла:

   

Тогда синус половинного угла равен:

   

В этой задаче неизвестно, какая из двух окружностей имеет больший радиус, поэтому примем сначала, что окружность неизвестного радиуса – меньшая. Тогда обозначим радиус . Проведем . Тогда угол равен , и его синус равен:

   

Откуда

   

   

Теперь второй случай, если неизвестен радиус большей окружности. Тогда и:

   

   

   

Ответ: 15 или .

 

Задача 4. Все углы шестиугольника равны . Чему равна сумма длин отрезков и , если , , , а ?

Задача 4

Понятно, что шестиугольник не является правильным, а благодаря равенству углов его противоположные стороны параллельны. Угол , смежный с одним из углов шестиугольника, равен , следовательно, в прямоугольном треугольникe угол равен , а катет , следовательно, равен половине гипотенузы, или 0,5. Аналогично угол равен , угол , а катет – 7. Такие же рассуждения приведут нас к тому, что катет , а катет . Можем записать:

   

   

   

   

Ответ: сумма отрезков и равна 35.

 

Задача 5. Две окружности с центрами и касаются некоторой прямой в различных точках и соответственно, а также касаются друг друга в точке . Чему равен тангенс угла , если тангенс угла равен 2?

Задача 5

Рассмотрим рисунок. Треугольник – прямоугольный. Поэтому, зная тангенс угла , можем записать:

   

Теперь рассмотрим второй рисунок. , так как все эти отрезки являются отрезками касательных, проведенных к окружностям из одной точки. Поэтому , и . Следовательно, окружности имеют равные радиусы. А это значит, что треугольник прямоугольный и равнобедренный, угол , угол , и тангенс его равен 1.

Ответ: 1.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *