Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Планиметрия (16 (C4))

Задачи с фантазией – 8

В задачах этого цикла хорошо то, что часто они могут иметь два варианта решения. Такие задачи особенно хорошо развивают геометрическое видение. Начинать решать задачи этой серии можно с любой статьи, но прежде чем подсмотреть в решение – попробуйте обязательно сначала решить сами.

Задача 1. Сторона квадрата LQCF равна 1120. На стороне LF лежит точка P, а на продолжении стороны LQ за точкой Q лежит точка D. Чему равна длина отрезка LD, если \angle LCP=\angle LDP, а LP=1015?

Задача 1

Подумаем, что можно в этой задаче определить. Угол LCF равен 45^{\circ}. Тангенс угла PCF тоже можно найти. Он равен

    \[\operatorname{tg}{PCF}=\frac{PF}{FC}=\frac{105}{1120}=\frac{3}{32}\]

Определим тангенс угла \angle LCP:

    \[\operatorname{tg}{LCP}=\operatorname{tg}(45^{\circ}-\angle PCF)=\frac{\operatorname{tg}{45^{\circ}}-\operatorname{tg}{PCF}}{1+\operatorname{tg}{45^{\circ}} \cdot\operatorname{tg}{PCF}}=\frac{1-\frac{3}{32}}{1+\frac{3}{32}}=\frac{29}{35}\]

Теперь можно воспользоваться равенством углов  LСP и LDP:

    \[\frac{LP}{LD}=\operatorname{tg}{LDP}=\frac{29}{35}\]

    \[\frac{1015}{LD}=\frac{29}{35}\]

    \[LD=1225\]

Ответ: 1225

 

Задача 2. В окружности проведена хорда BJ и диаметр BW, образующий с хордой угол \mu. Касательная к окружности, проходящая через точку J, пересекает луч BW в точке T. Чему равна длина JT, если радиус окружности равен 5, а \mu=\operatorname{arctg} \frac{2}{3}?

Задача 2

 

 

Треугольник QJT – прямоугольный, поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Найдем тангенс угла JQT. Этот угол – центральный, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол \mu, поэтому он равен 2\mu, и

    \[\operatorname{tg}{2\mu}=\frac{2\operatorname{tg}{\mu}}{1-\operatorname{tg}^2{\mu}}=\frac{12}{5}\]

    \[\operatorname{tg}^2{\mu}}=\frac{JT}{JQ}=\frac{JT}{5}=\frac{12}{5}\]

Откуда

    \[JT=12\]

Ответ: 12.

Задача 3. Чему равен радиус окружности, вписанной в угол \eta и касающейся другой окружности радиуса 9, вписанной в тот же угол, если \cos \eta=\frac{7}{8}?

Задача 3

Определим косинус половинного угла:

    \[\cos \frac{\eta}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \eta }{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{7}{8}}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{4}\]

Тогда синус половинного угла равен:

    \[\sin \frac{\eta}{2}=\frac{1}{4}\]

В этой задаче неизвестно, какая из двух окружностей имеет больший радиус, поэтому примем сначала, что окружность неизвестного радиуса – меньшая. Тогда обозначим радиус RQ=x. Проведем QT \parallel UV. Тогда угол SQT равен \frac{\eta}{2}, и его синус равен:

    \[\sin \frac{\eta}{2}=\frac{ST}{SQ}=\frac{R-r}{R+r}=\frac{9-r}{9+r}=\frac{1}{4}\]

Откуда

    \[36-4x=x+9\]

    \[x=\frac{27}{5}\]

Теперь второй случай, если неизвестен радиус большей окружности. Тогда x=SU и:

    \[\sin \frac{\eta}{2}=\frac{ST}{SQ}=\frac{R-r}{R+r}=\frac{R-9}{9+r}=\frac{1}{4}\]

    \[4x-36=x+9\]

    \[x=15\]

Ответ: 15 или \frac{27}{5}.

 

Задача 4. Все углы шестиугольника FULJHR равны 120^{\circ}. Чему равна сумма длин отрезков FR и JH, если FU=1, UL=13, RH=3, а LJ=14?

Задача 4

Понятно, что шестиугольник не является правильным, а благодаря равенству углов его противоположные стороны параллельны. Угол MUF, смежный с одним из углов шестиугольника, равен 60^{\circ}, следовательно, в прямоугольном треугольникe MUF угол MFU равен 30^{\circ}, а катет MU, следовательно, равен половине гипотенузы, или 0,5. Аналогично угол NLJ равен 60^{\circ}, угол NJL30^{\circ}, а катет LN – 7. Такие же рассуждения приведут нас к тому, что катет PR=\frac{x}{2}, а катет HO=\frac{y}{2}. Можем записать:

    \[MU+UL+LN=PR+RH+HO\]

    \[0,5+13+7=\frac{x}{2}+3+\frac{y}{2}\]

    \[17,5=\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\]

    \[x+y=35\]

Ответ: сумма отрезков FR и JH равна 35.

 

Задача 5. Две окружности с центрами U и F касаются некоторой прямой в различных точках B и R соответственно, а также касаются друг друга в точке D. Чему равен тангенс угла BRD, если тангенс угла BUR равен 2?

Задача 5

Рассмотрим рисунок. Треугольник BUR – прямоугольный. Поэтому, зная тангенс угла BUR, можем записать:

    \[\frac{BU}{BR}=\frac{2x}{x}\]

Теперь рассмотрим второй рисунок. TB=TD=TR=y, так как все эти отрезки являются отрезками касательных, проведенных к окружностям из одной точки. Поэтому 2x=2y, и y=x. Следовательно, окружности имеют равные радиусы. А это значит, что треугольник FRD прямоугольный и равнобедренный, угол FRD=45^{\circ}, угол BRD=45^{\circ}, и тангенс его равен 1.

Ответ: 1.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *