Задачи с фантазией

Задачи с фантазией – 7

Задачи в этой серии статей подобрались одна к одной: не совсем привычные, требующие времени, часто имеющие два решения и требующие нестандартных подходов.

Задача 1. В остроугольном треугольнике $KLV$ провели высоту $LA$ . Из точки $A$ на стороны $KL$ и $LV$ опустили перпендикуляры $AE$ и $AW$ соответственно. Чему равен радиус окружности, описанной около треугольника $KLV$ , если $LA=2$ , а $\frac{S_{ELW}}{S_{KLV}}=\frac{1}{16}$ ?

Задача 1

Докажем, что треугольники $KLV$ и $ELW$ подобны. Они имеют один общий угол – $\angle ELW=\angle KLV$ , следовательно, осталось доказать равенство только еще каких-нибудь двух углов. Рассмотрим треугольники $AEL$ и $AKL$ . Они подобны по двум углам, так как имеют один общий угол и оба являются прямоугольными. Тогда $\angle EAL=\angle LKA$ .

Кроме того, поскольку четырехугольник $ELWA$ имеет два прямых противоположных угла, сумма которых $180^{\circ}$ , то около него можно описать окружность. Поэтому угол $EAL$ равен углу $EWL$ (как вписанный, опирающийся на ту же дугу). Следовательно, $\angle LKA=\angle EWL$ и подобие треугольников $KLV$ и $ELW$ доказано.

Тогда из данного отношения площадей найдем коэффициент подобия треугольников:

$k^2=\frac{S_{ELW}}{S_{KLV}}=\frac{1}{16}$

$k=\frac{1}{4}$

Рассмотрим окружность. Так как углы $\angle LEA=\angle LWA=90^{\circ}$ , то $LA$ – диаметр окружности. А радиус, следовательно, равен 1. Эта окружность является описанной окружностью треугольника $ELW$ , описанная же около треугольника $KLV$ окружность будет иметь радиус, в $k$ раз больший, то есть 4.

Ответ: 4.

Задача 2. Окружность находится внутри другой окружности и касается ее внутренним образом. Внутри большей окружности проведена хорда $WQ$ , которая касается меньшей окружности и делится точкой касания $R$ пополам. Чему равен радиус меньшей окружности, если $RW=\sqrt{39}$ , а радиус большей окружности равен 8?

Нарисуем чертеж. Случаев, как и во многих задачах этого цикла, может быть два. Поскольку окружности касаются, то их центры $M$ и $N$ лежат на одной прямой, которой принадлежит и точка касания. То, что хорда делится точкой касания пополам, прямо указывает на перпендикулярность этой хорды к радиусу, проведенному в точку касания (радиусам, поскольку они совпадают) окружностей. Поэтому треугольник $MWR$ – прямоугольный.

Задача 2. Первый случай

Найдем катет этого треугольника $MR$ :

$MR=\sqrt{MW^2-WR^2}=\sqrt{64-39}=\sqrt{25}=5$

В этом случае диаметр малой окружности равен $D=R-MR=8-5=3$ , а радиус тогда 1,5.

Задача 2. Второй случай

Второй случай: $MR$ по-прежнему равна 5, тогда $TR=3$ , диаметр меньшей окружности равен $D-TR=16-3=13$ , а радиус – 6,5.

Ответ: 1,5 или 6,5.

Задача 3. Дан четырехугольник $ECUW$ . Чему равна длина $EW$ , если $\angle CEW=\angle UWE= 60^{\circ}$ , $UW=66$ , $\angle CWE=\angle UEC$ , а $EC=29$ ?

Изобразим четырехугольник $ECUW$ .

Задача 3

Очевидно, что, продлив его стороны $EC$ и $WU$ до пересечения, мы получим правильный треугольник $EOW$ . Отметим равные по условию углы одной дугой. Двумя дугами отмечены углы, равенство которых вытекает непосредственно из условия.

Тогда треугольники $OCW$ и $EUW$ подобны по двум углам. Для них можно записать отношение сходственных сторон:

$\frac{y}{x+66}=\frac{UW}{EW}$

$\frac{EW-29}{EW}=\frac{66}{EW}$

Откуда вытекает, что $EW-29=66$ , и $EW=95$ .

Ответ: $EW=95$ .

Задача 4. Две равные окружности $K$ и $\Theta$ касаются друг друга. Третья окружность $X$ касается этих окружностей извне в точках $E$ и $G$ . Чему равен радиус окружности $X$ , если радиус окружности $\Theta$ равен 8 и $EG=7$ ?

Задача 4

Треугольники $KJD$ и $EGD$ равнобедренные, и имеют общий угол – $KDJ$ , следовательно, подобны. Запишем отношение сходственных сторон:

$\frac{2R}{EG}=\frac{R+x}{x}$

Где $x$ – искомый радиус. Тогда

$\frac{16}{7}=\frac{8+x}{x}$

$9x=56$

$x=\frac{56}{9}$

Ответ: радиус окружности $X$ равен $\frac{56}{9}$ .

Задача 5. На прямых $HQ$ и $HV$ выбраны точки $G$ и $F$ соответственно так, что окружность, проходящая через $H$ , $Q$ , $V$ касается окружности, проходящей через $H$ , $G$ , $F$ (все перечисленные точки различны). Чему равна длина $HV$ , если $HF=6$ , $HG=1$ и $HQ=7$ ?

Сделаем чертеж. При этом необходимо обратить внимание на то, что точки выбраны не на отрезках, но на прямых, а следовательно, могут располагаться по-разному, но обязательно по одну сторону от точки $H$ . Рассмотрим первый случай, когда точка $G$ – между точками $H$ и $Q$ , а точка $F$ – между точками $H$ и $V$ .

Задача 5. Первый случай

Тогда треугольники $HQV$ и $HGF$ подобны (по одному общему углу, заключенному между сторонами, длины которых относятся пропорционально). Запишем отношение сходственных сторон треугольников в этом случае: