Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Планиметрия (16 (C4))

Задачи с фантазией – 7

Задачи в этой серии статей подобрались одна к одной: не совсем привычные, требующие времени, часто имеющие два решения и требующие нестандартных подходов.

Задача 1. В остроугольном треугольнике KLV провели высоту LA. Из точки A на стороны KL и LV опустили перпендикуляры AE и AW соответственно. Чему равен радиус окружности, описанной около треугольника KLV, если LA=2, а \frac{S_{ELW}}{S_{KLV}}=\frac{1}{16}?

Задача 1

Докажем, что треугольники KLV и ELW подобны. Они имеют один общий угол – \angle ELW=\angle KLV, следовательно, осталось доказать равенство только еще каких-нибудь двух углов. Рассмотрим треугольники AEL и AKL. Они подобны по двум углам, так как имеют один общий угол и оба являются прямоугольными. Тогда \angle EAL=\angle LKA.

Кроме того, поскольку четырехугольник ELWA  имеет два прямых противоположных угла, сумма которых 180^{\circ}, то около него можно описать окружность. Поэтому угол EAL равен углу EWL (как вписанный, опирающийся на ту же дугу). Следовательно, \angle LKA=\angle EWL и подобие треугольников  KLV и ELW доказано.

Тогда из данного отношения площадей найдем коэффициент подобия треугольников:

    \[k^2=\frac{S_{ELW}}{S_{KLV}}=\frac{1}{16}\]

    \[k=\frac{1}{4}\]

Рассмотрим окружность. Так как углы \angle LEA=\angle LWA=90^{\circ}, то LA – диаметр окружности. А радиус, следовательно, равен 1. Эта окружность является описанной окружностью треугольника ELW, описанная же около треугольника KLV окружность будет иметь радиус, в k раз больший, то есть 4.

Ответ: 4.

 

Задача 2. Окружность находится внутри другой окружности и касается ее внутренним образом. Внутри большей окружности проведена хорда WQ, которая касается меньшей окружности и делится точкой касания R пополам. Чему равен радиус меньшей окружности, если RW=\sqrt{39}, а радиус большей окружности равен 8?

Нарисуем чертеж. Случаев, как и во многих задачах этого цикла, может быть два. Поскольку окружности касаются, то их центры M и N лежат на одной прямой, которой принадлежит и точка касания. То, что хорда делится точкой касания пополам, прямо указывает на перпендикулярность этой хорды к радиусу, проведенному в точку касания (радиусам, поскольку они совпадают) окружностей. Поэтому  треугольник MWR – прямоугольный.

Задача 2. Первый случай

Найдем катет этого треугольника MR:

    \[MR=\sqrt{MW^2-WR^2}=\sqrt{64-39}=\sqrt{25}=5\]

В этом случае диаметр малой окружности равен D=R-MR=8-5=3, а радиус тогда 1,5.

Задача 2. Второй случай

Второй случай: MR по-прежнему равна 5, тогда TR=3, диаметр меньшей окружности равен D-TR=16-3=13, а радиус – 6,5.

Ответ: 1,5 или 6,5.

Задача 3. Дан четырехугольник ECUW. Чему равна длина EW, если \angle CEW=\angle UWE= 60^{\circ}, UW=66, \angle CWE=\angle UEC, а EC=29?

Изобразим четырехугольник ECUW.

Задача 3

Очевидно, что, продлив его стороны EC и WU до пересечения, мы получим правильный треугольник EOW. Отметим равные по условию углы одной дугой. Двумя дугами отмечены углы, равенство которых вытекает непосредственно из условия.

Тогда треугольники OCW и  EUW подобны по двум углам. Для них можно записать отношение сходственных сторон:

    \[\frac{y}{x+66}=\frac{UW}{EW}\]

    \[\frac{EW-29}{EW}=\frac{66}{EW}\]

Откуда вытекает, что  EW-29=66, и EW=95.

Ответ: EW=95.

 

Задача 4. Две равные окружности K и \Theta касаются друг друга. Третья окружность X касается этих окружностей извне в точках E и G. Чему равен радиус окружности X, если радиус окружности \Theta равен 8 и EG=7?

Задача 4

Треугольники KJD и EGD равнобедренные, и имеют общий угол – KDJ, следовательно, подобны. Запишем отношение сходственных сторон:

    \[\frac{2R}{EG}=\frac{R+x}{x}\]

Где x – искомый радиус. Тогда

    \[\frac{16}{7}=\frac{8+x}{x}\]

    \[9x=56\]

    \[x=\frac{56}{9}\]

Ответ: радиус окружности X равен \frac{56}{9}.

 

Задача 5. На прямых HQ и HV выбраны точки G и F соответственно так, что окружность, проходящая через H, Q, V касается окружности, проходящей через H, G, F (все перечисленные точки различны). Чему равна длина HV, если HF=6, HG=1 и HQ=7?

Сделаем чертеж. При этом необходимо обратить внимание на то, что точки выбраны не на отрезках, но на прямых, а следовательно, могут располагаться по-разному, но обязательно по одну сторону от точки H. Рассмотрим первый случай, когда точка G – между точками H и Q, а точка F – между точками H и V.

Задача 5. Первый случай

Тогда треугольники HQV и HGF подобны (по одному общему углу, заключенному между сторонами, длины которых относятся пропорционально). Запишем отношение сходственных сторон треугольников в этом случае:

    \[\frac{HG}{HQ}=\frac{HF}{HV}\]

    \[\frac{1}{8}=\frac{6}{HV}\]

    \[HV=48\]

Теперь рассматриваем второй случай, когда точки G и Q, F и V находятся по разные стороны от точки H.

Задача 5. Второй случай.

Тогда треугольники HQVиHGF$ подобны, и

    \[\frac{HG}{HQ}=\frac{HF}{HV}\]

    \[\frac{1}{7}=\frac{6}{HV}\]

    \[HV=42\]

Ответ: 48 или 42.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *