Задачи с фантазией – 7

[latexpage]

Задачи в этой серии статей подобрались одна к одной: не совсем привычные, требующие времени, часто имеющие два решения и требующие нестандартных подходов.

Задача 1. В остроугольном треугольнике $KLV$ провели высоту $LA$. Из точки $A$ на стороны $KL$ и $LV$ опустили перпендикуляры $AE$ и $AW$ соответственно. Чему равен радиус окружности, описанной около треугольника $KLV$, если $LA=2$, а $\frac{S_{ELW}}{S_{KLV}}=\frac{1}{16}$?

Задача 1

Докажем, что треугольники $KLV$ и $ELW$ подобны. Они имеют один общий угол – $\angle ELW=\angle KLV$, следовательно, осталось доказать равенство только еще каких-нибудь двух углов. Рассмотрим треугольники $AEL$ и $AKL$. Они подобны по двум углам, так как имеют один общий угол и оба являются прямоугольными. Тогда $\angle EAL=\angle LKA$.

Кроме того, поскольку четырехугольник $ELWA$  имеет два прямых противоположных угла, сумма которых $180^{\circ}$, то около него можно описать окружность. Поэтому угол $EAL$ равен углу $EWL$ (как вписанный, опирающийся на ту же дугу). Следовательно, $\angle LKA=\angle EWL$ и подобие треугольников  $KLV$ и $ELW$ доказано.

Тогда из данного отношения площадей найдем коэффициент подобия треугольников:

$$k^2=\frac{S_{ELW}}{S_{KLV}}=\frac{1}{16}$$

$$k=\frac{1}{4}$$

Рассмотрим окружность. Так как углы $\angle LEA=\angle LWA=90^{\circ}$, то $LA$ – диаметр окружности. А радиус, следовательно, равен 1. Эта окружность является описанной окружностью треугольника $ELW$, описанная же около треугольника $KLV$ окружность будет иметь радиус, в $k$ раз больший, то есть 4.

Ответ: 4.

Задача 2. Окружность находится внутри другой окружности и касается ее внутренним образом. Внутри большей окружности проведена хорда $WQ$, которая касается меньшей окружности и делится точкой касания $R$ пополам. Чему равен радиус меньшей окружности, если $RW=\sqrt{39}$, а радиус большей окружности равен 8?

Нарисуем чертеж. Случаев, как и во многих задачах этого цикла, может быть два. Поскольку окружности касаются, то их центры $M$ и $N$ лежат на одной прямой, которой принадлежит и точка касания. То, что хорда делится точкой касания пополам, прямо указывает на перпендикулярность этой хорды к радиусу, проведенному в точку касания (радиусам, поскольку они совпадают) окружностей. Поэтому  треугольник $MWR$ – прямоугольный.

Задача 2. Первый случай

Найдем катет этого треугольника $MR$:

$$MR=\sqrt{MW^2-WR^2}=\sqrt{64-39}=\sqrt{25}=5$$

В этом случае диаметр малой окружности равен $D=R-MR=8-5=3$, а радиус тогда 1,5.

Задача 2. Второй случай

Второй случай: $MR$ по-прежнему равна 5, тогда $TR=3$, диаметр меньшей окружности равен $D-TR=16-3=13$, а радиус – 6,5.

Ответ: 1,5 или 6,5.

Задача 3. Дан четырехугольник $ECUW$. Чему равна длина $EW$, если $\angle CEW=\angle UWE= 60^{\circ}$, $UW=66$, $\angle CWE=\angle UEC$, а $EC=29$?

Изобразим четырехугольник $ECUW$.

Задача 3

Очевидно, что, продлив его стороны $EC$ и $WU$ до пересечения, мы получим правильный треугольник $EOW$. Отметим равные по условию углы одной дугой. Двумя дугами отмечены углы, равенство которых вытекает непосредственно из условия.

Тогда треугольники $OCW$ и  $EUW$ подобны по двум углам. Для них можно записать отношение сходственных сторон:

$$\frac{y}{x+66}=\frac{UW}{EW}$$

$$\frac{EW-29}{EW}=\frac{66}{EW}$$

Откуда вытекает, что  $EW-29=66$, и $EW=95$.

Ответ: $EW=95$.

Задача 4. Две равные окружности $K$ и $\Theta$ касаются друг друга. Третья окружность $X$ касается этих окружностей извне в точках $E$ и $G$. Чему равен радиус окружности $X$, если радиус окружности $\Theta$ равен 8 и $EG=7$?

Задача 4

Треугольники $KJD$ и $EGD$ равнобедренные, и имеют общий угол – $KDJ$, следовательно, подобны. Запишем отношение сходственных сторон:

$$\frac{2R}{EG}=\frac{R+x}{x}$$

Где $x$ – искомый радиус. Тогда

$$\frac{16}{7}=\frac{8+x}{x}$$

$$9x=56$$

$$x=\frac{56}{9}$$

Ответ: радиус окружности $X$ равен $\frac{56}{9}$.

Задача 5. На прямых $HQ$ и $HV$ выбраны точки $G$ и $F$ соответственно так, что окружность, проходящая через $H$, $Q$, $V$ касается окружности, проходящей через $H$, $G$, $F$ (все перечисленные точки различны). Чему равна длина $HV$, если $HF=6$, $HG=1$ и $HQ=7$?

Сделаем чертеж. При этом необходимо обратить внимание на то, что точки выбраны не на отрезках, но на прямых, а следовательно, могут располагаться по-разному, но обязательно по одну сторону от точки $H$. Рассмотрим первый случай, когда точка $G$ – между точками $H$ и $Q$, а точка $F$ – между точками $H$ и $V$.

Задача 5. Первый случай

Тогда треугольники $HQV$ и $HGF$ подобны (по одному общему углу, заключенному между сторонами, длины которых относятся пропорционально). Запишем отношение сходственных сторон треугольников в этом случае:

$$\frac{HG}{HQ}=\frac{HF}{HV}$$

$$\frac{1}{8}=\frac{6}{HV}$$

$$HV=48$$

Теперь рассматриваем второй случай, когда точки $G$ и $Q$, $F$ и $V$ находятся по разные стороны от точки $H$.

Задача 5. Второй случай.

Тогда треугольники HQV$ и $HGF$ подобны, и

$$\frac{HG}{HQ}=\frac{HF}{HV}$$

$$\frac{1}{7}=\frac{6}{HV}$$

$$HV=42$$

Ответ: 48 или 42.