Задачи с фантазией – 7

Задачи в этой серии статей подобрались одна к одной: не совсем привычные, требующие времени, часто имеющие два решения и требующие нестандартных подходов.

Задача 1. В остроугольном треугольнике провели высоту . Из точки на стороны и опустили перпендикуляры и соответственно. Чему равен радиус окружности, описанной около треугольника , если , а ?

Задача 1

Докажем, что треугольники и подобны. Они имеют один общий угол – , следовательно, осталось доказать равенство только еще каких-нибудь двух углов. Рассмотрим треугольники и . Они подобны по двум углам, так как имеют один общий угол и оба являются прямоугольными. Тогда .

Кроме того, поскольку четырехугольник  имеет два прямых противоположных угла, сумма которых , то около него можно описать окружность. Поэтому угол равен углу (как вписанный, опирающийся на ту же дугу). Следовательно, и подобие треугольников   и доказано.

Тогда из данного отношения площадей найдем коэффициент подобия треугольников:

Рассмотрим окружность. Так как углы , то – диаметр окружности. А радиус, следовательно, равен 1. Эта окружность является описанной окружностью треугольника , описанная же около треугольника окружность будет иметь радиус, в раз больший, то есть 4.

Ответ: 4.

Задача 2. Окружность находится внутри другой окружности и касается ее внутренним образом. Внутри большей окружности проведена хорда , которая касается меньшей окружности и делится точкой касания пополам. Чему равен радиус меньшей окружности, если , а радиус большей окружности равен 8?

Нарисуем чертеж. Случаев, как и во многих задачах этого цикла, может быть два. Поскольку окружности касаются, то их центры и лежат на одной прямой, которой принадлежит и точка касания. То, что хорда делится точкой касания пополам, прямо указывает на перпендикулярность этой хорды к радиусу, проведенному в точку касания (радиусам, поскольку они совпадают) окружностей. Поэтому  треугольник – прямоугольный.

Задача 2. Первый случай

Найдем катет этого треугольника :

В этом случае диаметр малой окружности равен , а радиус тогда 1,5.

Задача 2. Второй случай

Второй случай: по-прежнему равна 5, тогда , диаметр меньшей окружности равен , а радиус – 6,5.

Ответ: 1,5 или 6,5.

Задача 3. Дан четырехугольник . Чему равна длина , если , , , а ?

Изобразим четырехугольник .

Задача 3

Очевидно, что, продлив его стороны и до пересечения, мы получим правильный треугольник . Отметим равные по условию углы одной дугой. Двумя дугами отмечены углы, равенство которых вытекает непосредственно из условия.

Тогда треугольники и   подобны по двум углам. Для них можно записать отношение сходственных сторон:

Откуда вытекает, что  , и .

Ответ: .

Задача 4. Две равные окружности и касаются друг друга. Третья окружность касается этих окружностей извне в точках и . Чему равен радиус окружности , если радиус окружности равен 8 и ?

Задача 4

Треугольники и равнобедренные, и имеют общий угол – , следовательно, подобны. Запишем отношение сходственных сторон:

Где – искомый радиус. Тогда

Ответ: радиус окружности равен .

Задача 5. На прямых и выбраны точки и соответственно так, что окружность, проходящая через , , касается окружности, проходящей через , , (все перечисленные точки различны). Чему равна длина , если , и ?

Сделаем чертеж. При этом необходимо обратить внимание на то, что точки выбраны не на отрезках, но на прямых, а следовательно, могут располагаться по-разному, но обязательно по одну сторону от точки . Рассмотрим первый случай, когда точка – между точками и , а точка – между точками и .

Задача 5. Первый случай

Тогда треугольники и подобны (по одному общему углу, заключенному между сторонами, длины которых относятся пропорционально). Запишем отношение сходственных сторон треугольников в этом случае:

Теперь рассматриваем второй случай, когда точки и , и находятся по разные стороны от точки .

Задача 5. Второй случай.

Тогда треугольники HQVHGF$ подобны, и

Ответ: 48 или 42.