Задачи с фантазией

Задачи с фантазией – 30

Несколько интересных геометрических задач. Я их предлагаю своим ученикам как разминочные перед подготовкой к решению 26 задачи ОГЭ и 16 – профильного ЕГЭ.

Задача 1. Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник $ABC$ , если высота $BH=12$ и известно, что $\sin A=\frac{12}{13}$ , а $\sin C=\frac{4}{5}$ .

К задаче 1

Так как даны синусы углов $A$ и $C$ , то можно найти стороны треугольника:

К задаче 1

$\sin A=\frac{12}{13}=\frac{BH}{AB}$

$AB=13$

$\sin C=\frac{4}{5}=\frac{BH}{BC}$

$BC=15$

Таким образом, $AH=5$ , $HC=9$ .

$S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{13+15+14}{2}=21$

$S_{ABC}=\sqrt{21(21-13)(21-15)(21-14)}=84$

А так как

$S=pr$

То

$r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4$

Ответ: 4

Задача 2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

К задаче 2

Можно записать, что

$d\cos\alpha=16$

$15\cos\alpha=x$

Для среднего из подобных треугольников можно записать теорему Пифагора:

$x^2+16^2=d^2$

И переписать ее с учетом записанного выше:

$x^2+16^2=\left(\frac{16}{\cos\alpha}\right)^2$

Или

$\cos\alpha=\frac{x}{15}$

$x^2+16^2=\left(\frac{16\cdot 15}{x}\right)^2$

Домножив на $x^2$ , получим биквадратное уравнение:

$x^4+256x^2-225\cdot256=0$

$D=16^4+4\cdot225\cdot256=(16\cdot34)^2$

Положительный корень 144, $x=12$ .

$x^2=16\cdot a$

$a=9$

Таким образом, гипотенуза равна 25, это и есть диаметр описанной окружности.

Ответ: 25

Задача 3. В равнобедренный треугольник $ABC$ вписана окружность. Параллельно его основанию проведена касательная к окружности, пересекающая стороны треугольника в точках $D$ и $E$ . Найдите радиус окружности, если $DE=8$ , $AC=18$ .

К задаче 3

Так как треугольник равнобедренный, то точки касания окружности $G$ и $H$ являются серединами отрезков $DE$ и $AC$ . Тогда $DG=GE=4$ , $AH=HC=9$ . Но по теореме об отрезках касательных, проведенных к окружности из одной точки можно записать

$LD=EK=4$

$AL=KC=9$

Диаметр окружности – высота трапеции $ADEC$ . Трапеция равнобедренная, поэтому можно определить ее площадь по формуле Герона.

$S_{ADEC}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

$p=\frac{AD+DE+EC+AC}{2}=\frac{13+13+18+8}{2}=26$

$S_{ADEC}=\sqrt{(26-13)^2(26-18)(26-8)}=13\cdot4\cdot3=156$

По «классической» формуле площади трапеции

$S_{ADEC}=\frac{DE+AC}{2}\cdot h$

$h=\frac{2 S_{ADEC}}{ DE+AC }=\frac{2\cdot156}{26}=24$

Таким образом, $D=24$ , $r=12$ .

Ответ: 12.

Задача 4. Около треугольника $ABC$ описана окружность. Медиана треугольника $AM$ продлена до пересечения с окружностью в точке $K$ . Найдите сторону $AC$ , если $AM=18$ , $MK=8$ , $BK=10$ .

К задаче 4

По теореме о секущей и касательной

$AM\cdot MK=BM\cdot MC$

Так как $BM=MC$ , то

$BM=\sqrt{ AM\cdot MK}=\sqrt{18\cdot 8}=12$

Для треугольника $BMK$ составим теорему косинусов:

$MK^2=BM^2+BK^2-2\cdotBM\cdotBK\cos MBK$

$\cos MBK=\frac{ MK^2-BM^2-BK^2}{-2\cdotBM\cdotBK }=\frac{64-144-100}{-2\cdot12\cdot10}=\frac{3}{4}$

Этот угол равен углу $KAC$ , как вписанный. Тогда найдем $AC$ из теоремы косинусов для треугольника $MAC$ .

$MC^2=AM^2+ AC^2 -2\cdot AC\cdot AM\cos KAC$

$144=324+ AC^2 -2\cdot AC\cdot 18\cdot \frac{3}{4}$

$AC^2 -27AC+180=0$

$D=9$

$AC=\frac{27+3}{2}=15$

Ответ: 15.

Задача 5. Дан ромб $ABCD$ .Окружность, описанная около треугольника $ABD$ , пересекает большую диагональ ромба $AC$ в точке $E$ . Найдите $CE$ , если $AB=8\sqrt{5}$ , $BD=16$ .