Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Планиметрия (16 (C4))

Задачи с фантазией – 30

Несколько интересных геометрических задач. Я их предлагаю своим ученикам как разминочные перед подготовкой к решению 26 задачи ОГЭ и 16 – профильного ЕГЭ.

Задача 1.  Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник ABC, если высота BH=12 и известно, что \sin A=\frac{12}{13}, а \sin C=\frac{4}{5}.

К задаче 1

Так как даны синусы углов A и C, то можно найти стороны треугольника:

К задаче 1

    \[\sin A=\frac{12}{13}=\frac{BH}{AB}\]

    \[AB=13\]

    \[\sin C=\frac{4}{5}=\frac{BH}{BC}\]

    \[BC=15\]

Таким образом, AH=5, HC=9.

    \[S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

    \[p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{13+15+14}{2}=21\]

    \[S_{ABC}=\sqrt{21(21-13)(21-15)(21-14)}=84\]

А так как

    \[S=pr\]

То

    \[r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4\]

Ответ: 4

Задача 2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

К задаче 2

Можно записать, что

    \[d\cos\alpha=16\]

А

    \[15\cos\alpha=x\]

Для среднего из подобных треугольников можно записать теорему Пифагора:

    \[x^2+16^2=d^2\]

И переписать ее с учетом записанного выше:

    \[x^2+16^2=\left(\frac{16}{\cos\alpha}\right)^2\]

Или

    \[\cos\alpha=\frac{x}{15}\]

    \[x^2+16^2=\left(\frac{16\cdot 15}{x}\right)^2\]

Домножив на x^2, получим биквадратное уравнение:

    \[x^4+256x^2-225\cdot256=0\]

    \[D=16^4+4\cdot225\cdot256=(16\cdot34)^2\]

Положительный корень 144, x=12.

    \[x^2=16\cdot a\]

    \[a=9\]

Таким образом, гипотенуза равна 25, это и есть диаметр описанной окружности.

Ответ: 25

Задача 3. В равнобедренный треугольник ABC вписана окружность. Параллельно его основанию проведена касательная к окружности, пересекающая стороны треугольника в точках D и E. Найдите радиус окружности, если DE=8, AC=18.

К задаче 3

Так как треугольник равнобедренный, то точки касания окружности G и H являются серединами отрезков DE и AC. Тогда DG=GE=4, AH=HC=9. Но по теореме об отрезках касательных, проведенных к окружности из одной точки можно записать

    \[LD=EK=4\]

    \[AL=KC=9\]

Диаметр окружности – высота трапеции ADEC. Трапеция равнобедренная, поэтому можно определить ее площадь по формуле Герона.

    \[S_{ADEC}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\]

    \[p=\frac{AD+DE+EC+AC}{2}=\frac{13+13+18+8}{2}=26\]

    \[S_{ADEC}=\sqrt{(26-13)^2(26-18)(26-8)}=13\cdot4\cdot3=156\]

По «классической» формуле площади трапеции

    \[S_{ADEC}=\frac{DE+AC}{2}\cdot h\]

    \[h=\frac{2 S_{ADEC}}{ DE+AC }=\frac{2\cdot156}{26}=24\]

Таким образом, D=24, r=12.

Ответ: 12.

Задача 4. Около треугольника ABC описана окружность. Медиана треугольника AM продлена до пересечения с окружностью в точке K. Найдите сторону AC, если AM=18, MK=8, BK=10.

К задаче 4

По теореме о секущей и касательной

    \[AM\cdot MK=BM\cdot MC\]

Так как BM=MC, то

    \[BM=\sqrt{ AM\cdot MK}=\sqrt{18\cdot 8}=12\]

Для треугольника BMK составим теорему косинусов:

    \[MK^2=BM^2+BK^2-2\cdotBM\cdotBK\cos MBK\]

    \[\cos MBK=\frac{ MK^2-BM^2-BK^2}{-2\cdotBM\cdotBK }=\frac{64-144-100}{-2\cdot12\cdot10}=\frac{3}{4}\]

Этот угол равен углу KAC, как вписанный. Тогда найдем AC из теоремы косинусов для треугольника MAC.

    \[MC^2=AM^2+ AC^2 -2\cdot AC\cdot AM\cos KAC\]

    \[144=324+ AC^2 -2\cdot AC\cdot 18\cdot \frac{3}{4}\]

    \[AC^2 -27AC+180=0\]

    \[D=9\]

    \[AC=\frac{27+3}{2}=15\]

Ответ: 15.

Задача 5. Дан ромб ABCD.Окружность, описанная около треугольника ABD, пересекает большую диагональ ромба AC в точке E. Найдите CE, если  AB=8\sqrt{5}, BD=16.

К задаче 5

Диагонали в ромбе перпендикулярны, и делятся точкой пересечения пополам. BO=OD=8. По теореме Пифагора

    \[AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{64\cdot5-64}=16\]

Большая диагональ AC=2AO=32.

Ответ: 32.

 

Задача 6. В треугольнике проведена медиана AM. Найдите  площадь треугольника ABC, если AC=3\sqrt{2}, BC=10, \angle MAC=45^{\circ}.

К задаче 6

    \[BM=MC=5\]

Для треугольника AMC запишем теорему косинусов.

    \[MC^2=AC^2+AM^2-2AM\cdotAC\cos MAC\]

    \[5^2=18+ AM^2-2AM\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

    \[AM^2-6AM-7=0\]

    \[AM=7\]

Площадь треугольника AMC найдем как

    \[S_{AMC}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot AC\sin MAC\]

    \[S_{AMC}=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 3\sqrt{2}\cdot  \frac{\sqrt{2}}{2}=10,5\]

Площадь треугольника ABC равна 21, так как медиана делим треугольник на два равновеликих.

Ответ: 21.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *