Задачи с фантазией – 30

[latexpage]

Несколько интересных геометрических задач. Я их предлагаю своим ученикам как разминочные перед подготовкой к решению 26 задачи ОГЭ и 16 – профильного ЕГЭ.

Задача 1.  Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник $ABC$, если высота $BH=12$ и известно, что $\sin A=\frac{12}{13}$, а $\sin C=\frac{4}{5}$.

К задаче 1

Так как даны синусы углов $A$ и $C$, то можно найти стороны треугольника:

К задаче 1

$$\sin A=\frac{12}{13}=\frac{BH}{AB}$$

$$AB=13$$

$$\sin C=\frac{4}{5}=\frac{BH}{BC}$$

$$BC=15$$

Таким образом, $AH=5$, $HC=9$.

$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{13+15+14}{2}=21$$

$$S_{ABC}=\sqrt{21(21-13)(21-15)(21-14)}=84$$

А так как

$$S=pr$$

То

$$r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4$$

Ответ: 4

Задача 2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

К задаче 2

Можно записать, что

$$d\cos\alpha=16$$

А

$$15\cos\alpha=x$$

Для среднего из подобных треугольников можно записать теорему Пифагора:

$$x^2+16^2=d^2$$

И переписать ее с учетом записанного выше:

$$x^2+16^2=\left(\frac{16}{\cos\alpha}\right)^2$$

Или

$$\cos\alpha=\frac{x}{15}$$

$$x^2+16^2=\left(\frac{16\cdot 15}{x}\right)^2$$

Домножив на $x^2$, получим биквадратное уравнение:

$$x^4+256x^2-225\cdot256=0$$

$$D=16^4+4\cdot225\cdot256=(16\cdot34)^2$$

Положительный корень 144, $x=12$.

$$x^2=16\cdot a$$

$$a=9$$

Таким образом, гипотенуза равна 25, это и есть диаметр описанной окружности.

Ответ: 25

Задача 3. В равнобедренный треугольник $ABC$ вписана окружность. Параллельно его основанию проведена касательная к окружности, пересекающая стороны треугольника в точках $D$ и $E$. Найдите радиус окружности, если $DE=8$, $AC=18$.

К задаче 3

Так как треугольник равнобедренный, то точки касания окружности $G$ и $H$ являются серединами отрезков $DE$ и $AC$. Тогда $DG=GE=4$, $AH=HC=9$. Но по теореме об отрезках касательных, проведенных к окружности из одной точки можно записать

$$LD=EK=4$$

$$AL=KC=9$$

Диаметр окружности – высота трапеции $ADEC$. Трапеция равнобедренная, поэтому можно определить ее площадь по формуле Герона.

$$S_{ADEC}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$

$$p=\frac{AD+DE+EC+AC}{2}=\frac{13+13+18+8}{2}=26$$

$$S_{ADEC}=\sqrt{(26-13)^2(26-18)(26-8)}=13\cdot4\cdot3=156$$

По «классической» формуле площади трапеции

$$S_{ADEC}=\frac{DE+AC}{2}\cdot h$$

$$h=\frac{2 S_{ADEC}}{ DE+AC }=\frac{2\cdot156}{26}=24$$

Таким образом, $D=24$, $r=12$.

Ответ: 12.

Задача 4. Около треугольника $ABC$ описана окружность. Медиана треугольника $AM$ продлена до пересечения с окружностью в точке $K$. Найдите сторону $AC$, если $AM=18$, $MK=8$, $BK=10$.

К задаче 4

По теореме о секущей и касательной

$$AM\cdot MK=BM\cdot MC$$

Так как $BM=MC$, то

$$BM=\sqrt{ AM\cdot MK}=\sqrt{18\cdot 8}=12$$

Для треугольника $BMK$ составим теорему косинусов:

$$MK^2=BM^2+BK^2-2\cdotBM\cdotBK\cos MBK$$

$$\cos MBK=\frac{ MK^2-BM^2-BK^2}{-2\cdotBM\cdotBK }=\frac{64-144-100}{-2\cdot12\cdot10}=\frac{3}{4}$$

Этот угол равен углу $KAC$, как вписанный. Тогда найдем $AC$ из теоремы косинусов для треугольника $MAC$.

$$ MC^2=AM^2+ AC^2 -2\cdot AC\cdot AM\cos KAC$$

$$ 144=324+ AC^2 -2\cdot AC\cdot 18\cdot \frac{3}{4}$$

$$ AC^2 -27AC+180=0$$

$$D=9$$

$$AC=\frac{27+3}{2}=15$$

Ответ: 15.

Задача 5. Дан ромб $ABCD$.Окружность, описанная около треугольника $ABD$, пересекает большую диагональ ромба $AC$ в точке $E$. Найдите $CE$, если  $AB=8\sqrt{5}$, $BD=16$.

К задаче 5

Диагонали в ромбе перпендикулярны, и делятся точкой пересечения пополам. $BO=OD=8$. По теореме Пифагора

$$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{64\cdot5-64}=16$$

Большая диагональ $AC=2AO=32$.

Ответ: 32.

Задача 6. В треугольнике проведена медиана $AM$. Найдите  площадь треугольника $ABC$, если $AC=3\sqrt{2}$, $BC=10$, $\angle MAC=45^{\circ}$.

К задаче 6

$$BM=MC=5$$

Для треугольника $AMC$ запишем теорему косинусов.

$$MC^2=AC^2+AM^2-2AM\cdotAC\cos MAC$$

$$5^2=18+ AM^2-2AM\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$ AM^2-6AM-7=0$$

$$AM=7$$

Площадь треугольника $AMC$ найдем как

$$S_{AMC}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot AC\sin MAC$$

$$S_{AMC}=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 3\sqrt{2}\cdot  \frac{\sqrt{2}}{2}=10,5$$

Площадь треугольника $ABC$ равна 21, так как медиана делим треугольник на два равновеликих.

Ответ: 21.