Задачи с фантазией

Задачи с фантазией – 29

Несколько интересных геометрических задач. Я их предлагаю своим ученикам как разминочные перед подготовкой к решению 26 задачи ОГЭ и 16 – профильного ЕГЭ.

Задача 1. Периметр прямоугольного треугольника равен 72, а радиус вписанной в него окружности 6 м. Найдите диаметр описанной окружности.

Диаметр описанной окружности – длина гипотенузы данного треугольника. По условию

$a+b+c=72$

$\frac{a+b-c}{2}=r=6$

Или

$a+b-c=12$

Вычитание уравнений даст

$2c=60$

$c=30$

Ответ: 30 м.

Задача 2. Основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны – 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.

К задаче 2

Применим такой прием: сдвинем боковую сторону трапеции $CD$ на 10 влево. Получим треугольник $ABH$ с известными сторонами, площадь которого легко найти по формуле Герона:

К задаче 2

$S_{ABH}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$p=\frac{AB+BH+AH}{2}=\frac{54}{2}=27$

$S_{ABH}=\sqrt{27(27-20)(27-21)(27-13)}=\sqrt{3^3\cdot 7\cdot 6\cdot14}=126$

Тогда высота этого треугольника, совпадающая с высотой трапеции, равна

$h=\frac{2 S_{ABH}}{AH}=\frac{2\cdot126}{21}=12$

Ответ: 12.

Задача 3. Биссектриса угла А параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$ . Найдите площадь параллелограмма, если $BK=KC=5$ м, $AK=8$ м.

К задаче 3

Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. Поэтому можно снова воспользоваться формулой Герона, чтобы найти его площадь. А площадь этого треугольника – четверть площади параллелограмма.

$S_{ABK}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$p=\frac{AB+BK+AK}{2}=\frac{18}{2}=9$

$S_{ABK}=\sqrt{9(9-5)^2(9-8)}=12$

$S=4 S_{ABK}=48$

Ответ: 48

Задача 4. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной около него окружности – 5 м. Найдите больший катет треугольника.

Диаметр описанной окружности – длина гипотенузы данного треугольника. По условию

$c=10$

$\frac{a+b-c}{2}=r=2$

$a+b-c=4$

$a+b=14$

Можно догадаться, что треугольник египетский и катеты его равны 6 и 8, таким образом, ответ – 8.

Задача 5. Около равнобедренного треугольника с основанием $AC$ и углом при основании $75^{\circ}$ описана окружность с центром О. Найдите ее радиус, если площадь $BOC$ равна 16.

К задаче 5

Площадь $BOC$ может быть записана как

$S_{BOC}=\frac{1}{2}R^2\sin BOC$

Угол $B$ является вписанным и равен $30^{\circ}$ (из суммы углов треугольника). Тогда центральный угол $\angle AOC=60^{\circ}$ . Треугольники $AOB$ и $BOC$ равны по трем сторонам, значит,