Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Планиметрия (16 (C4))

Задачи с фантазией – 29

Несколько интересных геометрических задач. Я их предлагаю своим ученикам как разминочные перед подготовкой к решению 26 задачи ОГЭ и 16 – профильного ЕГЭ.

Задача 1.  Периметр прямоугольного треугольника равен 72, а радиус вписанной в него окружности 6 м. Найдите диаметр описанной окружности.

Диаметр описанной окружности – длина гипотенузы данного треугольника. По условию

    \[a+b+c=72\]

И

    \[\frac{a+b-c}{2}=r=6\]

Или

    \[a+b-c=12\]

Вычитание уравнений даст

    \[2c=60\]

    \[c=30\]

Ответ: 30 м.

Задача 2. Основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны – 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.

К задаче 2

Применим такой прием: сдвинем боковую сторону трапеции CD на 10 влево. Получим треугольник ABH с известными сторонами, площадь которого легко найти по формуле Герона:

К задаче 2

    \[S_{ABH}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

    \[p=\frac{AB+BH+AH}{2}=\frac{54}{2}=27\]

    \[S_{ABH}=\sqrt{27(27-20)(27-21)(27-13)}=\sqrt{3^3\cdot 7\cdot 6\cdot14}=126\]

Тогда высота этого треугольника, совпадающая с высотой трапеции, равна

    \[h=\frac{2 S_{ABH}}{AH}=\frac{2\cdot126}{21}=12\]

Ответ: 12.

Задача 3. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BK=KC=5 м, AK=8 м.

К задаче 3

Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. Поэтому можно снова воспользоваться формулой Герона, чтобы найти его площадь. А площадь этого треугольника – четверть площади параллелограмма.

    \[S_{ABK}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

    \[p=\frac{AB+BK+AK}{2}=\frac{18}{2}=9\]

    \[S_{ABK}=\sqrt{9(9-5)^2(9-8)}=12\]

    \[S=4 S_{ABK}=48\]

Ответ: 48

Задача 4. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной около него окружности – 5 м. Найдите больший катет треугольника.

Диаметр описанной окружности – длина гипотенузы данного треугольника. По условию

    \[c=10\]

И

    \[\frac{a+b-c}{2}=r=2\]

    \[a+b-c=4\]

    \[a+b=14\]

Можно догадаться, что треугольник египетский и катеты его равны 6 и 8, таким образом, ответ – 8.

 

Задача 5. Около равнобедренного треугольника с основанием AC и  углом при основании 75^{\circ} описана окружность с центром О. Найдите ее радиус, если площадь BOC равна 16.

К задаче 5

Площадь BOC может быть записана как

    \[S_{BOC}=\frac{1}{2}R^2\sin BOC\]

Угол B является вписанным и равен 30^{\circ} (из суммы углов треугольника). Тогда центральный угол  \angle AOC=60^{\circ}. Треугольники AOB и BOC равны по трем сторонам, значит,

    \[\angle AOB=\angle BOC=150^{\circ}\]

Таким образом,

    \[R^2=\frac{ 2S_{BOC}}{\sin BOC }=\frac{32}{0,5}=64\]

И

    \[R=8\]

Ответ: 8.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *