Задачи с фантазией – 26

Задача 1 – дополнительное построение

Отрезки и равны, как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Обозначим длину стороны квадрата . Тогда . Но по теореме Пифагора

Как диагональ квадрата  , угол . Тогда для треугольника теорема косинусов

Откуда

По основному тригонометрическому тождеству

Следовательно,

А

Определим тангенс угла :

Получается,

И

Тогда

И, наконец,

Ответ:

Задача 2 – дополнительное построение

Проведем через точку O отрезок, параллельный – . Его длина равна половине , так как треугольник равнобедренный и его высота является его медианой. Тогда становится ясно, что в треугольнике синус искомого угла равен 0,5. А значит, .

Определение угла зеленого треугольника

Обозначим два угла, прилежащих к искомому куску и . Для этих углов

Определим тангенс суммы этих углов

Оказывается, два данных угла в сумме образуют угол в ! Тогда и угол зеленого треугольника тоже равен . То есть его можно разбить на два точно таких же угла. Сделаем это:

Разбиение треугольника на два

Тогда становится видно, что высота зеленого треугольника равна обязательно половине диагонали квадрата, , а длины отрезков и можно найти –  их сумма послужит основанием треугольника.

Площадь треугольника равна

Ответ: 30