Задачи с фантазией – 26

Задача 1 – дополнительное построение

Отрезки $AB$ и $BE$ равны, как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Обозначим длину стороны квадрата $a$. Тогда $AB=BE=a$. Но по теореме Пифагора

$$BO=\sqrt{AB^2+AO^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$$

Как диагональ квадрата  $BD=a\cqrt{2}$, угол $ADB=45^{\circ}$. Тогда для треугольника $OBD$ теорема косинусов

$$OD^2=BO^2+BD^2-2\cdot BO\cdot BD\cos{OBD}$$

$$\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{5a^2}{4}+2a^2-2\cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}\cdot a\sqrt{2} \cos{OBD}$$

$$\frac{a^2}{4}-2a^2-\frac{5a^2}{4}=-a^2\sqrt{10}\cos{OBD}$$

Откуда

$$\cos{OBD}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$

По основному тригонометрическому тождеству

$$\sin{OBD}=\frac{1}{\sqrt{10}}$$

Следовательно,

$$\operatorname{tg}{OBD}=\frac{1}{3}$$

А

$$\operatorname{tg}{OBE}=\frac{OE}{BE}=\frac{1}{2}$$

Определим тангенс угла $\angle OBE-\angle OBD$:

$$\operatorname{tg}(\angle OBE-\angle OBD)=\frac{\operatorname{tg}{OBE}-\operatorname{tg}{OBD}}{1+\operatorname{tg}{OBE}\operatorname{tg}{OBD}}$$

$$\operatorname{tg}(\angle OBE-\angle OBD)=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}=\frac{1}{7}$$

Получается,

$$\operatorname{tg}(\angle OBE-\angle OBD)=\frac{FE}{BE}$$

И

$$FE=\frac{1}{7}a$$

Тогда

$$OF=OE-FE=\frac{1}{2}a-\frac{1}{7}a=\frac{5}{14}a$$

И, наконец,

$$EF:FO=2:5$$

Ответ: $EF:FO=2:5$

Задача 2 – дополнительное построение

Проведем через точку O отрезок, параллельный $AC$ – $KO$. Его длина равна половине $AC$, так как треугольник $AOC$ равнобедренный и его высота $OL$ является его медианой. Тогда становится ясно, что в треугольнике $KOB$ синус искомого угла равен 0,5. А значит, $\alpha=30^{\circ}$.

Определение угла зеленого треугольника

Обозначим два угла, прилежащих к искомому куску $\alpha$ и $\beta$. Для этих углов

$$\operatorname {tg}{\alpha}=\frac{1}{2}$$

$$\operatorname {tg}{\beta}=\frac{1}{3}$$

Определим тангенс суммы этих углов

$$\operatorname {tg}{(\alpha+\beta)}=\frac{\operatorname {tg}{\alpha}+\operatorname {tg}{\beta}}{1+\operatorname {tg}{\alpha}\cdot\operatorname {tg}{\beta}}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}=1$$

Оказывается, два данных угла в сумме образуют угол в $45^{\circ}$! Тогда и угол зеленого треугольника $ABC$ тоже равен $45^{\circ}$. То есть его можно разбить на два точно таких же угла. Сделаем это:

Разбиение треугольника на два

Тогда становится видно, что высота зеленого треугольника равна обязательно половине диагонали квадрата, $h=6\sqrt{2}$, а длины отрезков $x_1$ и $x_2$ можно найти –  их сумма послужит основанием треугольника.

$$\frac{x_1}{h}=\operatorname {tg}{\beta}$$

$$\frac{x_2}{h}=\operatorname {tg}{\alpha}$$

Площадь треугольника равна

$$S=\frac{x_1+x_2}{2}\cdot h=\frac{(\operatorname {tg}{\alpha}+\operatorname {tg}{\beta})h^2}{2}=\frac{\frac{5}{6}\cdot36\cdot 2}{2}=30$$

Ответ: 30