Задачи с фантазией – 21

К задаче 1

Во-первых,

То есть острые углы тупоугольных треугольников дают в сумме , а это означает, что внешний угол такого треугольника (а он является углом внутреннего малого треугольника ) равен , а значит, внутренний треугольник тоже правильный.

Больший угол тупоугольных треугольников равен – как смежный с углом малого правильного. Поэтому площадь этого тупоугольного треугольника равна

Площадь центрального правильного равна

Приравниваем:

Решим как квадратное:

Корни

Откуда

Ответ:

К задаче 2

Возьмем за основание треугольника . Заметим, что – диагональ квадрата, а значит, наклонена к горизонту под углом . Но и диагональ большого квадрата (показана рыжим) имеет такой же угол наклона к горизонту. А значит, площадь синего треугольника будет равна площади любого треугольника с основанием и вершиной, принадлежащей рыжей прямой – так как у всех таких треугольников одна и та же высота, равная расстоянию между параллельными  и рыжей прямой.

– так как сторона малого квадрата, судя по площади, равна .

будет являться общей высотой всех указанных треугольников – с основанием и вершиной, лежащей на рыжей прямой. перпендикулярна , так как биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Длина

Таким образом, площадь синего треугольника равна

Ответ: 3.