Задачи с фантазией – 20

Треугольники подобны (зеленый и синий). Основания треугольников относятся как 4:1. Высоты, стало быть, тоже. А сумма высот равна 4 – стороне квадрата. Тогда высота большого зеленого треугольника равна 3,2, а высота синего – 0,8. И площадь его, следовательно, равна 0,4.

Ответ: 0,4

К задаче 2. Решение

Построение показывает, что отрезок $BC$ равен 20 – половине основания большого треугольника. А отрезок $AB$ можно найти как разность высот большого треугольника и второго и третьего за ним по размерам. Все треугольники правильные, высота большого $20\sqrt{3}$, второго по величине – $10\sqrt{3}$, еще меньшего – $5\sqrt{3}$. Тогда $AB=5\sqrt{3}$.

$$x=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{400+75}=5\sqrt{19}$$

Ответ: $x=5\sqrt{19}$

Очевидно, что сторона квадрата равна стороне равностороннего синего треугольника. Но сторона синего треугольника  равна стороне розового. Поэтому площадь розового определим по формуле

$$S=\frac{1}{2}ab\sin{\alpha}$$

Где $\alpha=150^{\circ}$, так как треугольники «заберут» $120^{\circ}$, а квадрат еще $90^{\circ}$ из $360^{\circ}$.

$$a=b=2$$

Ответ: $S=1$.

К задаче 4. Решение

Треугольники $CBE$ и $CFD$ подобны. Для них

$$\frac{CE}{CD}=\frac{EB}{FD}$$

$$\frac{1}{3}=\frac{EB}{2}$$

Откуда

$$ EB=\frac{2}{3}$$

А

$$AB=\frac{1}{3}$$

Ответ: $AB=\frac{1}{3}$

Пусть сторона квадрата равна $a$. Треугольники $ABK$ и $BCL$ подобны по двум углам. Для них $\alpha=\angle CBL=\angle BAK$, $\beta=\angle ABK=\angle BLC$.

$$BL =\sqrt{BC^2+CL^2}=\sqrt{a^2+(0,5a)^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$$

Откуда

$$ \sin \alpha=\frac{CL}{BL}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

А

$$\cos \alpha=\frac{BC}{BL}=\frac{2}{\sqrt{5}}$$

Тогда в треугольнике $ABK$

$$\frac{BK}{AB}=\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

$$BK=\frac{a}{\sqrt{5}}$$

Тогда длина отрезка $KL$

$$KL=BL-BK=\frac{a\sqrt{5}}{2}-\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{3a\sqrt{5}}{10}$$

В треугольнике $DKL$ угол $L$ имеет такой же синус, как и смежный с ним угол $\beta$, и такой же по модулю косинус, только отрицательный – угол тупой. Поэтому для этого треугольника теорема косинусов (я уже поменяла знак на плюс перед последним слагаемым):

$$KD^2=KL^2+LD^2+2KL\cdot LD\cdot \cos\beta$$

$$(5\sqrt{2})^2=\frac{9a^2\cdot 5}{100}+\frac{a^2}{4}+2\cdot \frac{3a\sqrt{5}}{10}\cdot \frac{a}{2}\cdot \sin\alpha$$

$$25\cdot2=0,45a^2+0,25a^2+0,3a^2$$

$$a^2=50$$

А это и есть площадь квадрата.

Ответ: 50