Задачи с фантазией – 19.

Рисунок 2

Основания треугольников я выделила оранжевым. Теперь определим высоты. Так как диагонали квадратов параллельны, то из рисунка видно, что высоты треугольников тоже равны. Таким образом, площади равны.

Проведем .

Рисунок 4

Треугольник имеет основание  , и высоту . Треугольник имеет основание  , и высоту .

Площадь четырехугольника равна

Ответ:

Очевидно, что сторона квадрата равна стороне равностороннего треугольника. Но сторона того же квадрата равна стороне шестиугольника. Поэтому

Ответ: .

Решение увидеть непросто.Давайте проведем окружность с центром в точке .

Рисунок 7

Угол и является центральным. Так как угол и опирается на ту же дугу , то точка неминуемо принадлежит окружности. Поэтому . Теперь обозначим сторону розового треугольника , а  зеленого – . Для прямоугольного треугольника

Что и требовалось доказать.