Вы думаете, что теорема Пифагора – это совсем несложно? Ну, в общем, да. Но интересные задачи все же иногда можно встретить. В основном мы столкнемся здесь с отношениями и сравнением чисел.
Задача 1. Один из катетов прямоугольного треугольника на 10 больше другого и на 10 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение. Показать
Запишем для этого треугольника теорему Пифагора. Для этого обозначим катеты
и
, а гипотенузу
. Тогда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[x^2+(x-10)^2=(x+10)^2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e6c20a5bd6617cb838b89ccf99fea83f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[x^2+x^2-20x+100=x^2+20x+100\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-151d9c9fee8dcc884201f5ef68eb213c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[x(x-40)=0\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-69f87e7ea7eb8ffa55452141b15addc9_l3.png)
Откуда
. Тогда гипотенуза на 10 больше – 50.
Ответ: 50.
Задача 2. В треугольнике ABC угол BAC прямой, длины сторон AB и BC равны соответственно 1 и 3. Точка K делит сторону AC в отношении 7:1, считая от точки A. Что больше: длина AC или длина BK?
Решение. Показать

Рисунок 1
Чтобы найти
, которая является биссектрисой в треугольнике
, нужно знать длину катета
. Найдем его:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AK=\frac{7}{8}AC=\frac{7}{8}\cdot 3=2,625\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92a48f9ad3098b92e807655a96da80a0_l3.png)
Теперь для треугольника
составим теорему Пифагора
![Rendered by QuickLaTeX.com \[BK^2=AB^2+AK^2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0acc7f900f279928f1b04479c274cae3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[BK=\sqrt{ AB^2+AK^2}=\sqrt{1+\frac{441}{64}}=\sqrt{\frac{505}{64}}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ed952b9b2f627edc9a054999dc9e1f68_l3.png)
Осталось сравнить числа
и 3. Представим последнее как
![Rendered by QuickLaTeX.com \[3=\sqrt{9}=\sqrt{\frac{9\cdot64}{64}}=\sqrt{\frac{576}{64}}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-135e1ef1f24bf398719ebe999b8745d0_l3.png)
Ответ: длина
больше.
Задача 3. В прямоугольнике ABCD длины отрезков AB и BD равны соответственно 2 и
. Точка M делит отрезок CD в отношении 1:2, считая от точки C, K – середина AD. Что больше: длина BK или длина AM?
Решение. Показать

Рисунок 2
Определим сначала
. Для этого найдем
.
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AB^2+AD^2=BD^2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b39c704a1f7edbe0009ec2f89271e1b8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AD^2= BD^2- AB^2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9bac724758f945806b9c67b7281a2b52_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AD=\sqrt{ BD^2- AB^2}=\sqrt{7-4}=\sqrt{3}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-78696b9f80583e3431bcd11f941a944d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AK=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a43ffd338939c7b883d5645546308fc1_l3.png)
Теперь переходим к треугольнику
, где
– гипотенуза.
![Rendered by QuickLaTeX.com \[BK^2=AB^2+AK^2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0acc7f900f279928f1b04479c274cae3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[BK=\sqrt{ AB^2+AK^2}=\sqrt{4+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{19}{4}}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-79b97ec569fd76480a0c5978da12ca89_l3.png)
Найдем теперь
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[MD=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}\cdot 2=\frac{4}{3}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5e08fd894a522102507c8703e77712e0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AM=\sqrt{AD^2+MD^2}=\sqrt{3+\frac{16}{9}}=\sqrt{\frac{43}{9}}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4735bb2c02e49ea2726fe317807d2b68_l3.png)
Осталось сравнить дроби
и
. При приведении к общему знаменателю получаем
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{19}{4}=\frac{171}{36}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-85cc134c21e9a5e393ef8fa792c54351_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{43}{9}=\frac{172}{36}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8d06c16357d4bba62f960c2bb3a39f07_l3.png)
Таким образом, длина
больше длины
. Это ответ.
Задача 4. В треугольнике ABC угол BAC прямой, длины сторон AB и BC равны соответственно 5 и 6. Точка K делит сторону AC в отношении 3:1, считая от точки A, AH – высота треугольника ABC. Что больше: 2 или отношение длины BK к длине AH?
Решение. Показать

Рисунок 3
Чтобы найти высоту треугольника
, определим его удвоенную площадь, так как
![Rendered by QuickLaTeX.com \[2S=BC\cdot AH=AB\cdot AC\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-08bec6f5ebc7689838d9cd414683f1fa_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AH=\frac{ AB\cdot AC }{BC}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-be789dfa1504c4b4f2aa26153e470e2c_l3.png)
определим по теореме Пифагора:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[BC=\sqrtAB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-05228b24412b4b3927966088a101d720_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AH=\frac{ AB\cdot AC }{BC}=\frac{ 5\cdot 6 }{\sqrt{61}}=\frac{30\sqrt{61}}{61}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d5bfe6fb40856bc19fb0a470003608e_l3.png)
Теперь найдем
, чтобы найти
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AK=\frac{3}{4}AC=4,5\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-db9433be4d3467733b275f67be8c371d_l3.png)
Тогда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[BK=\sqrt{AB^2+AK^2}=\sqrt{25+20,25}=\sqrt{45,25}=\sqrt{\frac{181}{4}}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8949b6e154abc2648c4f2fde5c10ac08_l3.png)
Отношение
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{BK}{AH}=\frac{\sqrt{181}}{2}\cdot\frac{\sqrt{61}}{30}=\frac{\sqrt{181\cdot61}}{60}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-153a37726e4bc6f73e0bb08411fcadf6_l3.png)
Сравним теперь
и
.
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{BK}{AH}=\sqrt{\frac{11041}{3600}}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81be17d41b7c691852ecfece59e3d32f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[2=\frac{120}{60}=\sqrt{\frac{120^2}{60^2}}=\sqrt{\frac{14400}{3600}}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d8d908c473e9ea43020330ae8bf5ec20_l3.png)
Таким образом,
.
Задача 5. В равнобедренном треугольнике ABC длина основания AC равна 2
, длина боковой стороны равна 8. Точка K делит высоту BD треугольника в отношении 2:3, считая от точки B. Что больше: длина CK или длина AC?
Решение. Показать

Рисунок 4
Длина высоты
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[BD=\sqrt{BC^2-DC^2}=\sqrt{64-7}=\sqrt{57}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cddd94b1029a5b768c312907908f8c28_l3.png)
Длина отрезка
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[DK=\frac{3}{5}BD=\frac{3\sqrt{57}}{5}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ca3312b5c5153e798e2a9743a851072_l3.png)
По теореме Пифагора определяем
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[CK=\sqrt{DK^2+DC^2}=\sqrt{\frac{9\cdot57}{25}+7}=\sqrt{\frac{688}{25}}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5ccc9456ead937acff9683c63f0da66d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AC=2\sqrt{7}=\sqrt{28}=\sqrt{\frac{28\cdot25}{25}}=\sqrt{\frac{700}{25}}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d83bb4dc8e5ce1c5f0d4fce1954ab34_l3.png)
Таким образом,
.
Задача 6. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 3, 4, 5.
Решение. Показать
Треугольник подчиняется теореме Пифагора, он прямоугольный. Гипотенуза его
. Пусть катеты
,
.
Сначала вписанная окружность.

Рисунок 5
Пусть
– точки касания окружности. Тогда по теореме об отрезках касательных, проведенных из одной точки,
. Но длины этих отрезков равны радиусу
. Тогда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AB=AD+DB=AF+BE\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c82092e19aadd6aa595ace30aae4095c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AF=AC-r\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-697175e15fd9622c5b93d0772963966e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[BE=BC-r\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b812b4b1805673a5bc996df4445b285c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AB= AC-r+ BC-r\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6364c50858c2ef39c0f85f468c0e6984_l3.png)
Откуда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96f97baaa199c73040fa2c4bbbd0c248_l3.png)
Теперь вневписанные окружности: рассмотрим сначала зеленую.

Рисунок 6
По теореме об отрезках касательных, проведенных из одной точки,
,
.
Но
. Тогда
(периметру треугольника
). Но
, опять же, по свойству касательных. Тогда
.
Так как
, то
![Rendered by QuickLaTeX.com \[R_1=p-AC=\frac{3+4+5}{2}-4=2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6b1ed3b7ae517817ce98ec0c87079dd9_l3.png)
Теперь рассмотрим фиолетовую окружность.
,
.
Но
. Тогда
(периметру треугольника
). Но
, опять же, по свойству касательных. Тогда
.
Так как
, то
![Rendered by QuickLaTeX.com \[R_2=p-BC=\frac{3+4+5}{2}-3=3\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c18560cdf97327a0fef23ac0980c5e3f_l3.png)
Наконец, последняя, самая большая.
![Rendered by QuickLaTeX.com \[CV=CW=R_3\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3191e3fc27ef3f6d7088b1354501c1c1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AV=AH, BW=BH\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4486d1ffbe5adfe992fd68aad34a752e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AB=AV+BW\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a57a98f0c65b6ce133aa0422b8e71076_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[CV+CW=2R_3=AC+BC+AB\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40ce05c28eca4072c97d1c1ffff78b14_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[R_3=p=6\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-468f868711c7946614b45f958c728480_l3.png)
Ответ:
,
,
,
.
Задача 7. Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Найдите длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 и 50, а их проекции на данную прямую относятся как 3 : 10.
Решение. Показать

Рисунок 7
По теореме Пифагора
![Rendered by QuickLaTeX.com \[y^2=41^2-9x^2=50^2-100x^2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8b33e0916ff4f771179a12d34b310af7_l3.png)
Тогда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[91x^2=50^2-41^2=9\cdot91\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-59c370a576e57399e2ca6521c5eb36aa_l3.png)
Откуда
,
, следовательно,
.
Ответ: 40.
Задача 8. В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны
и
. Найдите гипотенузу треугольника.
Решение. Показать

Рисунок 8
Составим теорему Пифагора для треугольников
и
. Пусть
, тогда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[y^2+4x^2=52\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-21f51eb178ffba6d551609813ee83942_l3.png)
Если
, то
![Rendered by QuickLaTeX.com \[4y^2+x^2=73\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5698fc5adedd1402d48db8e5485f2000_l3.png)
Первое уравнение умножаем на 4, чтобы уравнять коэффициенты:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[4y^2+16x^2=208\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5b5e56528d6ceb3d63919a108118a8d_l3.png)
Вычитаем из него второе уравнение:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[15x^2=208-73=135\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2857f0bb8136f205d239879577c44839_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[x=3\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e23b8c5cec96e87aac24a176d7cea134_l3.png)
Следовательно,
, катеты треугольника 6 и 8, гипотенуза, следовательно, 10.
Ответ: 10.
Задача 9. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные 5 и 12. Найдите катеты треугольника.
Решение. Показать

Рисунок 9
По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем:
,
,
. Тогда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AC^2+BC^2=AB^2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3414788d4009c2ba67366de41cdca74b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[(5+x)^2+(12+x)^2=17^2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6d8e67df4741634b5f44db717c452d3a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[x^2+17x-60=0\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d78faa552606ec9a217bd71ca939f18e_l3.png)
По теореме Виета получаем корни: 3 и (-20). По условию устраивает положительный корень. Катеты равны тогда 8 и 15.
Ответ: 8 и 15.
* Добрый...
Дорый день, поясните , пожалуйста, почему в 1 задании ускорение на пути назад будет...
Задачу 2 хорошо через мгновенную ось вращения...
Картинку необходимо заменить: пуля летит сверху вниз. Тогда решение сомнений не...
Какой же это подгон? ОЧень красивое решение. Теорема о трех непараллельных силах,...