[latexpage]
Вы думаете, что теорема Пифагора – это совсем несложно? Ну, в общем, да. Но интересные задачи все же иногда можно встретить. В основном мы столкнемся здесь с отношениями и сравнением чисел.
Задача 1. Один из катетов прямоугольного треугольника на 10 больше другого и на 10 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение. Показать
Запишем для этого треугольника теорему Пифагора. Для этого обозначим катеты $x$ и $x-10$, а гипотенузу $x+10$. Тогда
$$x^2+(x-10)^2=(x+10)^2$$
$$x^2+x^2-20x+100=x^2+20x+100$$
$$x(x-40)=0$$
Откуда $x=40$. Тогда гипотенуза на 10 больше – 50.
Ответ: 50.
Задача 2. В треугольнике ABC угол BAC прямой, длины сторон AB и BC равны соответственно 1 и 3. Точка K делит сторону AC в отношении 7:1, считая от точки A. Что больше: длина AC или длина BK?
Решение. Показать

Рисунок 1
Чтобы найти $BK$, которая является биссектрисой в треугольнике $ABK$, нужно знать длину катета $AK$. Найдем его:
$$AK=\frac{7}{8}AC=\frac{7}{8}\cdot 3=2,625$$
Теперь для треугольника $ABK$ составим теорему Пифагора
$$BK^2=AB^2+AK^2$$
$$BK=\sqrt{ AB^2+AK^2}=\sqrt{1+\frac{441}{64}}=\sqrt{\frac{505}{64}}$$
Осталось сравнить числа $\sqrt{\frac{505}{64}}$ и 3. Представим последнее как
$$3=\sqrt{9}=\sqrt{\frac{9\cdot64}{64}}=\sqrt{\frac{576}{64}}$$
Ответ: длина $AC$ больше.
Задача 3. В прямоугольнике ABCD длины отрезков AB и BD равны соответственно 2 и $\sqrt{7}$. Точка M делит отрезок CD в отношении 1:2, считая от точки C, K – середина AD. Что больше: длина BK или длина AM?
Решение. Показать

Рисунок 2
Определим сначала $BK$. Для этого найдем $AK$.
$$AB^2+AD^2=BD^2$$
$$ AD^2= BD^2- AB^2$$
$$AD=\sqrt{ BD^2- AB^2}=\sqrt{7-4}=\sqrt{3}$$
$$AK=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Теперь переходим к треугольнику $ABK$, где $BK$ – гипотенуза.
$$BK^2=AB^2+AK^2$$
$$BK=\sqrt{ AB^2+AK^2}=\sqrt{4+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{19}{4}}$$
Найдем теперь $AM$:
$$MD=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}\cdot 2=\frac{4}{3}$$
$$AM=\sqrt{AD^2+MD^2}=\sqrt{3+\frac{16}{9}}=\sqrt{\frac{43}{9}}$$
Осталось сравнить дроби $\frac{19}{4}$ и $\frac{43}{9}$. При приведении к общему знаменателю получаем
$$\frac{19}{4}=\frac{171}{36}$$
$$\frac{43}{9}=\frac{172}{36}$$
Таким образом, длина $AM$ больше длины $BK$. Это ответ.
Задача 4. В треугольнике ABC угол BAC прямой, длины сторон AB и BC равны соответственно 5 и 6. Точка K делит сторону AC в отношении 3:1, считая от точки A, AH – высота треугольника ABC. Что больше: 2 или отношение длины BK к длине AH?
Решение. Показать

Рисунок 3
Чтобы найти высоту треугольника $AH$, определим его удвоенную площадь, так как
$$2S=BC\cdot AH=AB\cdot AC$$
$$AH=\frac{ AB\cdot AC }{BC}$$
$BC$ определим по теореме Пифагора:
$$BC=\sqrtAB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}$$
$$AH=\frac{ AB\cdot AC }{BC}=\frac{ 5\cdot 6 }{\sqrt{61}}=\frac{30\sqrt{61}}{61}$$
Теперь найдем $AK$, чтобы найти $BK$:
$$AK=\frac{3}{4}AC=4,5$$
Тогда
$$BK=\sqrt{AB^2+AK^2}=\sqrt{25+20,25}=\sqrt{45,25}=\sqrt{\frac{181}{4}}$$
Отношение
$$\frac{BK}{AH}=\frac{\sqrt{181}}{2}\cdot\frac{\sqrt{61}}{30}=\frac{\sqrt{181\cdot61}}{60}$$
Сравним теперь $\frac{\sqrt{181\cdot61}}{60}$ и $2$.
$$\frac{BK}{AH}=\sqrt{\frac{11041}{3600}}$$
$$2=\frac{120}{60}=\sqrt{\frac{120^2}{60^2}}=\sqrt{\frac{14400}{3600}}$$
Таким образом, $2>\frac{BK}{AH}$.
Задача 5. В равнобедренном треугольнике ABC длина основания AC равна 2$\sqrt{7}$, длина боковой стороны равна 8. Точка K делит высоту BD треугольника в отношении 2:3, считая от точки B. Что больше: длина CK или длина AC?
Решение. Показать

Рисунок 4
Длина высоты $BD$:
$$BD=\sqrt{BC^2-DC^2}=\sqrt{64-7}=\sqrt{57}$$
Длина отрезка $DK$:
$$DK=\frac{3}{5}BD=\frac{3\sqrt{57}}{5}$$
По теореме Пифагора определяем $СK$:
$$CK=\sqrt{DK^2+DC^2}=\sqrt{\frac{9\cdot57}{25}+7}=\sqrt{\frac{688}{25}}$$
$$AC=2\sqrt{7}=\sqrt{28}=\sqrt{\frac{28\cdot25}{25}}=\sqrt{\frac{700}{25}}$$
Таким образом, $AC>CK$.
Задача 6. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 3, 4, 5.
Решение. Показать
Треугольник подчиняется теореме Пифагора, он прямоугольный. Гипотенуза его $AB=5$. Пусть катеты $BC=3$, $AC=4$.
Сначала вписанная окружность.

Рисунок 5
Пусть $D, E, F$ – точки касания окружности. Тогда по теореме об отрезках касательных, проведенных из одной точки, $CF=CE$. Но длины этих отрезков равны радиусу $r$. Тогда
$$AB=AD+DB=AF+BE$$
$$AF=AC-r$$
$$BE=BC-r$$
$$AB= AC-r+ BC-r$$
Откуда
$$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$$
Теперь вневписанные окружности: рассмотрим сначала зеленую.

Рисунок 6
По теореме об отрезках касательных, проведенных из одной точки, $CM=CN=R_1$, $BK=BN$.
Но $CB=CN+BN$. Тогда $AM+AK=P$ (периметру треугольника $ABC$). Но $AM=AK$, опять же, по свойству касательных. Тогда $AM=p$.
Так как $AM=AC+R_1$, то
$$R_1=p-AC=\frac{3+4+5}{2}-4=2$$
Теперь рассмотрим фиолетовую окружность.
$TC=CQ=R_2$, $AP=AQ$.
Но $AC=AQ+QC$. Тогда $BT+BP=P$ (периметру треугольника $ABC$). Но $BT=BP$, опять же, по свойству касательных. Тогда $BT=p$.
Так как $BT=BC+R_2$, то
$$R_2=p-BC=\frac{3+4+5}{2}-3=3$$
Наконец, последняя, самая большая.
$$CV=CW=R_3$$
$$AV=AH, BW=BH$$
$$AB=AV+BW$$
$$ CV+CW=2R_3=AC+BC+AB$$
$$R_3=p=6$$
Ответ: $r=1$, $R_1=2$, $R_2=3$, $R_3=6$.
Задача 7. Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Найдите длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 и 50, а их проекции на данную прямую относятся как 3 : 10.
Решение. Показать

Рисунок 7
По теореме Пифагора
$$y^2=41^2-9x^2=50^2-100x^2$$
Тогда
$$91x^2=50^2-41^2=9\cdot91$$
Откуда $x=3$, $10x=30$, следовательно, $y=40$.
Ответ: 40.
Задача 8. В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны $\sqrt{52}$ и $\sqrt{73}$. Найдите гипотенузу треугольника.
Решение. Показать

Рисунок 8
Составим теорему Пифагора для треугольников $BEC$ и $ACF$. Пусть $BE=\sqrt{52}$, тогда
$$y^2+4x^2=52$$
Если $AF=\sqrt{73}$, то
$$4y^2+x^2=73$$
Первое уравнение умножаем на 4, чтобы уравнять коэффициенты:
$$4y^2+16x^2=208$$
Вычитаем из него второе уравнение:
$$15x^2=208-73=135$$
$$x=3$$
Следовательно, $y=4$, катеты треугольника 6 и 8, гипотенуза, следовательно, 10.
Ответ: 10.
Задача 9. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные 5 и 12. Найдите катеты треугольника.
Решение. Показать

Рисунок 9
По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем: $BM=BN=12$, $AM=AK=5$, $CK=CN=x$. Тогда
$$AC^2+BC^2=AB^2$$
$$(5+x)^2+(12+x)^2=17^2$$
$$x^2+17x-60=0$$
По теореме Виета получаем корни: 3 и (-20). По условию устраивает положительный корень. Катеты равны тогда 8 и 15.
Ответ: 8 и 15.
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...