Вы думаете, что теорема Пифагора – это совсем несложно? Ну, в общем, да. Но интересные задачи все же иногда можно встретить. В основном мы столкнемся здесь с отношениями и сравнением чисел.
Задача 1. Один из катетов прямоугольного треугольника на 10 больше другого и на 10 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение. Показать
Запишем для этого треугольника теорему Пифагора. Для этого обозначим катеты 
и 
, а гипотенузу 
. Тогда
Откуда 
. Тогда гипотенуза на 10 больше – 50.
Ответ: 50.
Задача 2. В треугольнике ABC угол BAC прямой, длины сторон AB и BC равны соответственно 1 и 3. Точка K делит сторону AC в отношении 7:1, считая от точки A. Что больше: длина AC или длина BK?
Решение. Показать
Рисунок 1
Чтобы найти 
, которая является биссектрисой в треугольнике 
, нужно знать длину катета 
. Найдем его:
Теперь для треугольника составим теорему Пифагора
Осталось сравнить числа 
и 3. Представим последнее как
Ответ: длина 
больше.
Задача 3. В прямоугольнике ABCD длины отрезков AB и BD равны соответственно 2 и 
. Точка M делит отрезок CD в отношении 1:2, считая от точки C, K – середина AD. Что больше: длина BK или длина AM?
Решение. Показать
Рисунок 2
Определим сначала . Для этого найдем .
Теперь переходим к треугольнику , где – гипотенуза.
Найдем теперь 
:
Осталось сравнить дроби 
и 
. При приведении к общему знаменателю получаем
Таким образом, длина больше длины . Это ответ.
Задача 4. В треугольнике ABC угол BAC прямой, длины сторон AB и BC равны соответственно 5 и 6. Точка K делит сторону AC в отношении 3:1, считая от точки A, AH – высота треугольника ABC. Что больше: 2 или отношение длины BK к длине AH?
Решение. Показать
Рисунок 3
Чтобы найти высоту треугольника 
, определим его удвоенную площадь, так как
определим по теореме Пифагора:
Теперь найдем , чтобы найти :
Тогда
Отношение
Сравним теперь 
и 
.
Таким образом, 
.
Задача 5. В равнобедренном треугольнике ABC длина основания AC равна 2, длина боковой стороны равна 8. Точка K делит высоту BD треугольника в отношении 2:3, считая от точки B. Что больше: длина CK или длина AC?
Решение. Показать
Рисунок 4
Длина высоты 
:
Длина отрезка 
:
По теореме Пифагора определяем 
:
Таким образом, 
.
Задача 6. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 3, 4, 5.
Решение. Показать
Треугольник подчиняется теореме Пифагора, он прямоугольный. Гипотенуза его 
. Пусть катеты 
, 
.
Сначала вписанная окружность.
Рисунок 5
Пусть 
– точки касания окружности. Тогда по теореме об отрезках касательных, проведенных из одной точки, 
. Но длины этих отрезков равны радиусу 
. Тогда
Откуда
Теперь вневписанные окружности: рассмотрим сначала зеленую.
Рисунок 6
По теореме об отрезках касательных, проведенных из одной точки, 
, 
.
Но 
. Тогда 
(периметру треугольника 
). Но 
, опять же, по свойству касательных. Тогда 
.
Так как 
, то
Теперь рассмотрим фиолетовую окружность.
, 
.
Но 
. Тогда 
(периметру треугольника ). Но 
, опять же, по свойству касательных. Тогда 
.
Так как 
, то
Наконец, последняя, самая большая.
Ответ: 
, 
, 
, 
.
Задача 7. Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Найдите длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 и 50, а их проекции на данную прямую относятся как 3 : 10.
Решение. Показать
Рисунок 7
По теореме Пифагора
Тогда
Откуда 
, 
, следовательно, 
.
Ответ: 40.
Задача 8. В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны 
и 
. Найдите гипотенузу треугольника.
Решение. Показать
Рисунок 8
Составим теорему Пифагора для треугольников 
и 
. Пусть 
, тогда
Если 
, то
Первое уравнение умножаем на 4, чтобы уравнять коэффициенты:
Вычитаем из него второе уравнение:
Следовательно, 
, катеты треугольника 6 и 8, гипотенуза, следовательно, 10.
Ответ: 10.
Задача 9. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные 5 и 12. Найдите катеты треугольника.
Решение. Показать
Рисунок 9
По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем: 
, 
, 
. Тогда
По теореме Виета получаем корни: 3 и (-20). По условию устраивает положительный корень. Катеты равны тогда 8 и 15.
Ответ: 8 и 15.
Свинья на барский двор когда-то затесалась; Вокруг конюшен там и кухонь...
Когда будем двигать трубку вправо с ускорением, ртуть начнет "вжимать" в левую...
Нет, не парабола, а именно прямая. Параболой он будет в осях...
Очень непонятные обозначения в этих...
Задача №3 из темы Термодинамика Изопроцессы Газовые законы: графические задачи...