Задачи с фантазией - 17: свойства биссектрис, продолжение

Задачи с фантазией – 17: свойства биссектрис, продолжение

В этой статье рассмотрены задачи на свойства биссектрисы и определение ее длины. Также придется вспомнить отношения площадей треугольника и формулу, по которой можно определить длину медианы, зная длины сторон треугольника.

Прежде, чем мы начнем решать, вспомним необходимые формулы и соотношения.

Длину биссектрисы можно найти по формулам:

$l^2=a\cdot b-m\cdot n$

$l^2=\frac{ab((a+b)^2-c^2)}{(a+b)^2}=$

$=\frac{2ab\cos{\frac{\alpha}{2}}}{a+b}$

Где $l$ – длина биссектрисы, $a$ и $b$ – длины прилегающих к делимому биссектрисой углу сторон треугольника, $m$ и $n$ – длины отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника.

Длины этих отрезков относятся как

$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$

Рисунок 1

Длины отрезков $m$ и $n$ можно найти так:

$m=\frac{ac}{a+b}$

$n=\frac{bc}{a+b}$

Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношениях:

Рисунок 2

$\frac{k}{p}=\frac{a+b}{c}$

$\frac{t}{s}=\frac{b+c}{a}$

$\frac{f}{q}=\frac{a+c}{b}$

Задача 1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой биссектриса проведена, равна 12 см.

Решение

Показать

Задача 2. Биссектрисы $BD$ и $CE$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$ . $AB=14, BC=6, АС=10$ . Найдите $ОD$ .

Рисунок 4

Решение

Показать

Задача 3. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AL$ и $BK$ . Найдите длину отрезка $KL$ , если $AB = 15, AK=7,5, BL = 5$ .

Рисунок 5

Решение

Показать

Задача 4. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ , а через точку $D$ – прямая, параллельная $A$ и пересекающая $AB$ в точке $Е$ . Найдите отношение площадей треугольников $ABC$ и $BDE$ , если $AB = 5, AC = 7$ .

Рисунок 6

Решение

Показать

Задача 5. Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 см и 18 см.

Решение

Показать

Задача 6. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.

Рисунок 7

Решение

Показать

Задача 7. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.

Рисунок 8

Решение

Показать

Задача 8. Найдите биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны $a$ и $b$ .

Рисунок 9

Решение

Показать

Задача 9. Вычислите длину биссектрисы угла $\angle A$ треугольника $ABC$ с длинами сторон $a = 18$ см, $b =15$ см, $c = 12$ см.

Рисунок 10

Решение

Показать

Задача 10. В треугольнике $ABC$ длины сторон $AB, BC$ и $AC$ относятся как 2:4:5 соответственно. Найдите, в каком отношении делятся биссектрисы внутренних углов в точке их пересечения.