Задачи с фантазией - 17: свойства биссектрис, продолжение

Задачи с фантазией – 17: свойства биссектрис, продолжение

В этой статье рассмотрены задачи на свойства биссектрисы и определение ее длины. Также придется вспомнить отношения площадей треугольника и формулу, по которой можно определить длину медианы, зная длины сторон треугольника.

Прежде, чем мы начнем решать, вспомним необходимые формулы и соотношения.

Длину биссектрисы можно найти по формулам:

Где $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – длина биссектрисы, $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – длины прилегающих к делимому биссектрисой углу сторон треугольника, $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – длины отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника.

Длины этих отрезков относятся как

Рисунок 1

Длины отрезков $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ можно найти так:

Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношениях:

Рисунок 2

Задача 1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой биссектриса проведена, равна 12 см.

Решение

Показать

Задача 2. Биссектрисы $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ пересекаются в точке $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Найдите $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Рисунок 4

Решение

Показать

Задача 3. В треугольнике $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ проведены биссектрисы $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Найдите длину отрезка $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Рисунок 5

Решение

Показать

Задача 4. В треугольнике $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ проведена биссектриса $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а через точку $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – прямая, параллельная $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и пересекающая $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ в точке $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Найдите отношение площадей треугольников $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Рисунок 6

Решение

Показать

Задача 5. Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 см и 18 см.

Решение

Показать

Задача 6. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.

Рисунок 7

Решение

Показать

Задача 7. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.

Рисунок 8

Решение

Показать

Задача 8. Найдите биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Рисунок 9

Решение

Показать

Задача 9. Вычислите длину биссектрисы угла $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ с длинами сторон $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см, $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см, $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см.

Рисунок 10

Решение

Показать

Задача 10. В треугольнике $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ длины сторон $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ относятся как 2:4:5 соответственно. Найдите, в каком отношении делятся биссектрисы внутренних углов в точке их пересечения.