Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача повышенной сложности (25), Планиметрия (16 (C4))

Задачи с фантазией – 17: свойства биссектрис, продолжение

[latexpage]

В этой статье рассмотрены задачи на свойства биссектрисы и определение ее длины. Также придется вспомнить отношения площадей треугольника и формулу, по которой можно определить длину медианы, зная длины сторон треугольника.

Прежде, чем мы начнем решать, вспомним необходимые формулы и соотношения.

Длину биссектрисы можно найти по формулам:

$$l^2=a\cdot b-m\cdot n$$

$$l^2=\frac{ab((a+b)^2-c^2)}{(a+b)^2}=$$

$$=\frac{2ab\cos{\frac{\alpha}{2}}}{a+b}$$

Где $l$ – длина биссектрисы, $a$ и $b$ – длины прилегающих к делимому биссектрисой углу сторон треугольника, $m$ и $n$ – длины отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника.

Длины этих отрезков относятся как

$$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$$

Рисунок 1

Длины отрезков $m$ и $n$ можно найти так:

$$m=\frac{ac}{a+b}$$

$$n=\frac{bc}{a+b}$$

Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношениях:

Рисунок 2

$$\frac{k}{p}=\frac{a+b}{c}$$

$$\frac{t}{s}=\frac{b+c}{a}$$

$$\frac{f}{q}=\frac{a+c}{b}$$

 

Задача 1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой биссектриса проведена, равна 12 см.

Решение

Показать

 

Задача 2. Биссектрисы $BD$ и $CE$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. $AB=14, BC=6, АС=10$. Найдите $ОD$.

Рисунок 4

Решение

Показать

 

Задача 3. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AL$ и $BK$. Найдите длину отрезка $KL$, если $AB = 15, AK=7,5, BL = 5$.

Рисунок 5

Решение

Показать

 

Задача 4. В  треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$, а через точку $D$ – прямая, параллельная $A$ и пересекающая $AB$ в точке $Е$. Найдите отношение площадей треугольников $ABC$ и $BDE$, если $AB = 5, AC = 7$.

Рисунок 6

Решение

Показать

 

Задача 5. Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного  треугольника с катетами 24 см и 18 см.

Решение

Показать

 

Задача 6. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.

Рисунок 7

Решение

Показать

 

Задача 7. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.

Рисунок 8

Решение

Показать

 

Задача 8. Найдите биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны $a$ и $b$.

Рисунок 9

Решение

Показать

 

Задача 9.  Вычислите длину биссектрисы угла $\angle A$ треугольника $ABC$ с длинами сторон $a = 18$ см, $b =15$ см, $c = 12$ см.

Рисунок 10

Решение

Показать

 

Задача 10.  В треугольнике $ABC$ длины сторон $AB, BC$ и $AC$ относятся как 2:4:5 соответственно. Найдите, в каком отношении делятся биссектрисы внутренних углов в точке их пересечения.

Рисунок 11

Решение

Показать

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *