В этой статье рассмотрены задачи на свойства биссектрисы и определение ее длины. Также придется вспомнить отношения площадей треугольника и формулу, по которой можно определить длину медианы, зная длины сторон треугольника.
Прежде, чем мы начнем решать, вспомним необходимые формулы и соотношения.
Длину биссектрисы можно найти по формулам:
Где – длина биссектрисы,
и
– длины прилегающих к делимому биссектрисой углу сторон треугольника,
и
– длины отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника.
Длины этих отрезков относятся как

Рисунок 1
Длины отрезков и
можно найти так:
Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношениях:

Рисунок 2
Задача 1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой биссектриса проведена, равна 12 см.
Решение
Задача 2. Биссектрисы и
треугольника
пересекаются в точке
.
. Найдите
.

Рисунок 4
Решение
Задача 3. В треугольнике проведены биссектрисы
и
. Найдите длину отрезка
, если
.

Рисунок 5
Решение
Задача 4. В треугольнике проведена биссектриса
, а через точку
– прямая, параллельная
и пересекающая
в точке
. Найдите отношение площадей треугольников
и
, если
.

Рисунок 6
Решение
Задача 5. Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 см и 18 см.
Решение
Задача 6. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.

Рисунок 7
Решение
Задача 7. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.

Рисунок 8
Решение
Задача 8. Найдите биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны и
.

Рисунок 9
Решение
Задача 9. Вычислите длину биссектрисы угла треугольника
с длинами сторон
см,
см,
см.

Рисунок 10
Решение
Задача 10. В треугольнике длины сторон
и
относятся как 2:4:5 соответственно. Найдите, в каком отношении делятся биссектрисы внутренних углов в точке их пересечения.

Рисунок 11
Решение
Александр, закралась опечатка, теперь благодаря Вам она...
...
Да, спасибо, почему-то иногда право и лево... хм... меняются...
Вот в том и вопрос, что при решении задачи 20 используется геометрия треугольника...
Добрый час! Во втором примере небольшая несозвучность: функции на графике...