Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача повышенной сложности (26), Планиметрия (16 (C4))

Задачи с фантазией – 17: свойства биссектрис, продолжение

В этой статье рассмотрены задачи на свойства биссектрисы и определение ее длины. Также придется вспомнить отношения площадей треугольника и формулу, по которой можно определить длину медианы, зная длины сторон треугольника.

Прежде, чем мы начнем решать, вспомним необходимые формулы и соотношения.

Длину биссектрисы можно найти по формулам:

    \[l^2=a\cdot b-m\cdot n\]

    \[l^2=\frac{ab((a+b)^2-c^2)}{(a+b)^2}\]

    \[\frac{2ab\cos{\frac{\alpha}{2}}}{a+b}\]

Где l – длина биссектрисы, a и b – длины прилегающих к делимому биссектрисой углу сторон треугольника, m и n – длины отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника.

Длины этих отрезков относятся как

    \[\frac{a}{b}=\frac{m}{n}\]

Рисунок 1

Длины отрезков m и n можно найти так:

    \[m=\frac{ac}{a+b}\]

    \[n=\frac{bc}{a+b}\]

Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношениях:

Рисунок 2

    \[\frac{k}{p}=\frac{a+b}{c}\]

    \[\frac{t}{s}=\frac{b+c}{a}\]

    \[\frac{f}{q}=\frac{a+c}{b}\]

 

Задача 1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой биссектриса проведена, равна 12 см.

Решение

Показать

 

Задача 2. Биссектрисы BD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O. AB=14, BC=6, АС=10. Найдите ОD.

Рисунок 4

Решение

Показать

 

Задача 3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AL и BK. Найдите длину отрезка KL, если AB = 15, AK=7,5, BL = 5.

Рисунок 5

Решение

Показать

 

Задача 4. В  треугольнике ABC проведена биссектриса AD, а через точку D – прямая, параллельная A и пересекающая AB в точке Е. Найдите отношение площадей треугольников ABC и BDE, если AB = 5, AC = 7.

Рисунок 6

Решение

Показать

 

Задача 5. Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного  треугольника с катетами 24 см и 18 см.

Решение

Показать

 

Задача 6. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.

Рисунок 7

Решение

Показать

 

Задача 7. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.

Рисунок 8

Решение

Показать

 

Задача 8. Найдите биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны a и b.

Рисунок 9

Решение

Показать

 

Задача 9.  Вычислите длину биссектрисы угла \angle A треугольника ABC с длинами сторон a = 18 см, b =15 см, c = 12 см.

Рисунок 10

Решение

Показать

 

Задача 10.  В треугольнике ABC длины сторон AB, BC и AC относятся как 2:4:5 соответственно. Найдите, в каком отношении делятся биссектрисы внутренних углов в точке их пересечения.

Рисунок 11

Решение

Показать

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *