Задачи с фантазией – 17: свойства биссектрис, продолжение

Сделаем рисунок.

Рисунок 3

По формуле отношений отрезков, на которые делится биссектриса точкой пересечения, можем записать:

$$\frac{k}{p}=\frac{a+b}{c}$$

$$\frac{3x}{2x}=\frac{a+b}{12}$$

Тогда $a+b=18$, а периметр тогда $a+b+c=30$.

Ответ: 30.

Так как биссектриса делит противоположную сторону в отношении

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}$$

То можно легко определить длины $AD=7$, $DC=3$. Тогда длина биссектрисы $BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot DC=14\cdot6-3\cdot7=63$.

Отношение

$$\frac{BO}{OD}=\frac {AB+BC }{AC}=\frac{14+6}{10}=\frac{2}{1}$$

Следовательно, точкой пересечения биссектриса будет разделена на три части, и

$$OD=\frac{1}{3}BD=\frac{\sqrt{63}}{3}=\sqrt{7}$$

Ответ: $OD=\sqrt{7}$.

Запишем отношение отрезков, на которые биссектриса $AK$ делит сторону $AC$:

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AK}{KC}$$

Эту пропорцию можно переписать так:

$$\frac{AB}{ AK }=\frac{ BC }{KC}=\frac{2x}{x}$$

Тогда $AC=7,5+x$, а $LC=2x-5$.

Тогда для биссектрисы $AL$ и отрезков $BL$ и $LC$ справедливо

$$\frac{AB}{AC}=\frac{BL}{LC}$$

$$\frac{15}{7,5+x}=\frac{5}{2x-5}$$

$$30x-75=37,5+5x$$

$$x=4,5$$

Таким образом, $AC=7,5+x=12$, $LC=2x-5=4$, $BC=9$. Замечаем, что треугольник $ABC$ подчиняется теореме Пифагора, следовательно, он прямоугольный. Тогда длина $KL$

$$KL=\sqrt{KC^2+LC^2}=\sqrt{4,5^2+4^2}=\sqrt{36,25}$$

Ответ: $KL=\sqrt{36,25}$.

Рассмотрим рисунок. Треугольники $ABC$ и $BDE$ подобны. Так как биссектриса $AD$  разделит противоположную сторону в отношении

$$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{5x}{7x}$$

То теперь можно определить коэффициент подобия треугольников $ABC$ и $BDE$:

$$k=\frac{BC}{BD}=\frac{12x}{5x}$$

Так как площади подобных фигур относятся, как квадрат коэффициента подобия, то

$$\frac{S_{ABC}}{S_{BDE}}=k^2=\frac{144}{25}$$

Ответ: $\frac{S_{ABC}}{S_{BDE}}=\frac{144}{25}$

Решите ее сами. Она аналогична задаче 1 из статьи «Задачи с фантазией-16: свойства биссектрис». Я приведу ответ: $8\sqrt{10}$, $9\sqrt{5}$.

Так как

$$\frac{AB}{BC}=\frac{5}{4}$$

То треугольник является египетским (подобным треугольнику со сторонами 3, 4, 5), следовательно, если $AC=3x=9$, то $BC=4x=12$, $AB=5x=15$.

Площадь треугольника равна

$$S_{ABC}=\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{9\cdot 12}{2}=54$$

Ответ: $S_{ABC}=54$ см$^2$.

По свойству биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки, длины которых относятся как прилегающие стороны, имеем:

$$\frac{BM}{MA}=\frac{BC}{AC}$$

То есть

$$BM=16$$

$$MA=4$$

Тогда длина биссектрисы равна

$$CM^2=BC\cdot AC-BM\cdotMA=100-16\cdot4=36$$

$$CM=6$$

Ответ: $CM=6$.

Длина биссектрисы равна

$$l^2=a\cdot b-m\cdot n$$

Здесь

$$m=\frac{ac}{a+b}$$

$$n=\frac{bc}{a+b}$$

Тогда

$$l^2=a\cdot b-m\cdot n=ab-\frac{ac}{a+b}\cdot\frac{bc}{a+b}=ab(1-\frac{c^2}{(a+b)^2}=ab\cdot\frac{(a+b)^2-c^2}{(a+b)^2}= ab\cdot\frac{a^2+2ab+b^2-c^2}{(a+b)^2}= ab\cdot\frac{2ab}{(a+b)^2}= \frac{2a^2b^2}{(a+b)^2}$$

$$l=\frac{ab\sqrt{2}}{a+b}$$

Ответ: $l=\frac{ab\sqrt{2}}{a+b}$.

По свойству биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки, длины которых относятся как прилегающие стороны, имеем:

$$\frac{BL}{LC}=\frac{AB}{AC}$$

То есть

$$BL=8$$

$$LC=10$$

Тогда длина биссектрисы равна

$$AL^2=AB\cdot AC-BL\cdotLC=180-8\cdot10=100$$

$$AL=10$$

Ответ: $AL=10$.

Пусть $AB=2x$, $BC=4x$, $AC=5x$, тогда

$$\frac{BM}{MP}=\frac{AB+BC}{AC}=\frac{2x+4x}{5x}=\frac{6}{5}$$

$$\frac{CM}{MQ}=\frac{ AC +BC}{ AB }=\frac{5x +4x}{2x }=\frac{9}{2}$$

$$\frac{AM}{MO}=\frac{AB+ AC }{ BC }=\frac{2x+5x }{4x }=\frac{7}{4}$$

Ответ: $\frac{BM}{MP}=\frac{6}{5}$, $\frac{CM}{MQ}=\frac{9}{2}$, $\frac{AM}{MO}=\frac{7}{4}$.