Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Геометрическая задача повышенной сложности (26), Планиметрия (16 (C4))

Задачи с фантазией – 17: свойства биссектрис, продолжение

В этой статье рассмотрены задачи на свойства биссектрисы и определение ее длины. Также придется вспомнить отношения площадей треугольника и формулу, по которой можно определить длину медианы, зная длины сторон треугольника.

Прежде, чем мы начнем решать, вспомним необходимые формулы и соотношения.

Длину биссектрисы можно найти по формулам:

   

   

   

Где – длина биссектрисы, и – длины прилегающих к делимому биссектрисой углу сторон треугольника, и – длины отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника.

Длины этих отрезков относятся как

   

Рисунок 1

Длины отрезков и можно найти так:

   

   

Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношениях:

Рисунок 2

   

   

   

 

Задача 1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой биссектриса проведена, равна 12 см.

Решение

Показать

 

Задача 2. Биссектрисы и треугольника пересекаются в точке . . Найдите .

Рисунок 4

Решение

Показать

 

Задача 3. В треугольнике проведены биссектрисы и . Найдите длину отрезка , если .

Рисунок 5

Решение

Показать

 

Задача 4. В  треугольнике проведена биссектриса , а через точку – прямая, параллельная и пересекающая в точке . Найдите отношение площадей треугольников и , если .

Рисунок 6

Решение

Показать

 

Задача 5. Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного  треугольника с катетами 24 см и 18 см.

Решение

Показать

 

Задача 6. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.

Рисунок 7

Решение

Показать

 

Задача 7. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.

Рисунок 8

Решение

Показать

 

Задача 8. Найдите биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны и .

Рисунок 9

Решение

Показать

 

Задача 9.  Вычислите длину биссектрисы угла треугольника с длинами сторон см, см, см.

Рисунок 10

Решение

Показать

 

Задача 10.  В треугольнике длины сторон и относятся как 2:4:5 соответственно. Найдите, в каком отношении делятся биссектрисы внутренних углов в точке их пересечения.

Рисунок 11

Решение

Показать

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *