Задачи с фантазией – 16: свойства биссектрис.

[latexpage]

В этой статье рассмотрены задачи на свойства биссектрисы и определение ее длины. Также придется вспомнить отношения площадей треугольника и формулу, по которой можно определить длину медианы, зная длины сторон треугольника.

Прежде, чем мы начнем решать, вспомним необходимые формулы и соотношения.

Длину биссектрисы можно найти по формулам:

$$l^2=a\cdot b-m\cdot n$$

$$l^2=\frac{ab((a+b)^2-c^2)}{(a+b)^2}$$

$$\frac{2ab\cos{\frac{\alpha}{2}}}{a+b}$$

Где $l$ – длина биссектрисы, $a$ и $b$ – длины прилегающих к делимому биссектрисой углу сторон треугольника, $m$ и $n$ – длины отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника.

Длины этих отрезков относятся как

$$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$$

Длины отрезков $m$ и $n$ можно найти так:

$$m=\frac{ac}{a+b}$$

$$n=\frac{bc}{a+b}$$

Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношениях:

$$\frac{k}{p}=\frac{a+b}{c}$$

$$\frac{t}{s}=\frac{b+c}{a}$$

$$\frac{f}{q}=\frac{a+c}{b}$$

Задача 1.  Найдите биссектрисы острых углов в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны 6 и 8.

Построим чертеж. Пусть $CB=6$, $AC=8$. Тогда $AB=10$, так как треугольник подобен египетскому с известной Пифагоровой тройкой 3, 4, 5.

Первый способ решения:

По свойству биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

$$\frac{AB}{CB}=\frac{AE}{EC}$$

$$\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{FC}$$

Тогда

$$\frac{10}{6}=\frac{AE}{EC}$$

$$\frac{10}{8}=\frac{BF}{FC}$$

$$AE=\frac{5}{3}EC$$

Но $AE+EC=8$, тогда

$$\frac{5}{3}EC+EC=8$$

$$EC=3$$

Тогда $AE=5$.

$$BF=\frac{5}{4}FC$$

Но $BF+FC=6$, тогда

$$\frac{5}{4}FC+FC=6$$

$$FC=\frac{8}{3}$$

Тогда $BF=\frac{10}{3}$.

Длина биссектрисы выражается формулой:

$$l^2=a\cdot b-m\cdot n$$

Где $a, b$ – длины прилегающих к разделенному биссектрисой углу сторон треугольника, $m,n$ – длины отрезков, на которые биссектриса разделила противолежащую сторону.

Тогда в нашей задаче:

$$AF^2=AB\cdotAC-BF\cdotFC=10\cdot8-\frac{10}{3}\cdot\frac{8}{3}=80-\frac{80}{9}=\frac{640}{9}$$

$$AF=\sqrt{\frac{640}{9}}=\frac{8\sqrt{10}}{3}$$

Другая биссектриса:

$$BE^2=AB\cdot CB-AE\cdot EC=10\cdot6-3\cdot5=60-15=45$$

$$BE=3\sqrt{5}$$

Второй способ решения:

Можно найти биссектрису, зная стороны треугольника,  по формуле:

$$l_a^2=\frac{bc((b+c)^2-a^2}{(b+c)^2}$$

Тогда

$$AF=\sqrt{\frac{AC\cdot AB((AC+AB)^2-BC^2}{(AC+AB)^2}}=\sqrt{\frac{8\cdot 10(18^2-6^2}{18^2}}=\sqrt{\frac{80\cdot 288}{18^2}}=\sqrt{\frac{80\cdot 16}{18}}=\sqrt{\frac{640}{9}}=\frac{8\sqrt{10}}{3}$$

Вторую биссектрису я не стану находить, просто нужно подставить в формулу другие стороны.

Ответ: $AF=\frac{8\sqrt{10}}{3}$, $BE=3\sqrt{5}$.

 

Задача 2.  В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $CF$ и $AD$. Найдите отношение площадей треугольников $AFD$ и $ABC$, если $AB :AC : BC = 21 : 28 : 20$.

Так как истинных длин сторон треугольника мы не знаем, то можно записать, что $AB=21x$, $AC=28x$, $BC=20x$.

По свойству биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

$$\frac{BC}{AC}=\frac{BF}{AF}$$

$$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$$

Тогда

$$\frac{20x}{28x}=\frac{BF}{AF}$$

$$\frac{21x}{28x}=\frac{BD}{DC}$$

$$\frac{5}{7}=\frac{BF}{AF}$$

$$\frac{3}{4}=\frac{BD}{DC}$$

Тогда

$$\frac{BD}{BC}=\frac{3}{7}$$

$$\frac{AF}{AB}=\frac{7}{12}$$

Пусть площадь всего треугольника $ABC$  – $S$. Тогда площадь треугольника $ABD$ составляет $\frac{3}{7}S$ (так как у треугольников $ABC$ и $ABD$ одна и та же высота, то их площади относятся так же, как длины оснований).

$$S_{ABD}=\frac{3}{7}S$$

Теперь рассмотрим треугольник $AFD$. Так как у него общая высота с треугольником $ABD$, то их площади относятся, как длины оснований: $S_{AFD}=\frac{7}{12}S_{ABD}$. Или

$$ S_{AFD}=\frac{7}{12}\cdot\frac{3}{7}S=\frac{1}{4}S$$

Ответ: $ S_{AFD}=\frac{1}{4}S$.

 

Задача 3.  В треугольнике $ABC$ даны длины сторон $AB = 4, BC = 6$ и биссектриса $BD =3\sqrt{2}$. Найдите длину медианы $CE$.

По формуле длины биссектрисы можно записать:

$$BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot DC$$

Тогда

$$AD\cdot DC= AB\cdot BC- BD^2=24-18=6$$

Так как

$$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{6}$$

То

$$AD=\frac{2}{3}DC$$

Или

$$DC\cdot \frac{2}{3}DC=6$$

Откуда $DC=3$, $AD=2$.

То есть $AC=5$.

Теперь, чтобы найти медиану, вспомним формулу, позволяющую определить ее длину по сторонам треугольника:

$$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$$

В нашем случае

$$CE^2=\frac{2BC^2+2AC^2-AB^2}{4}=\frac{2\cdot 6^2+2\cdot5^2-4^2}{4}=\frac{106}{4}$$

$$CE=\sqrt{\frac{106}{4}=\frac{\sqrt{106}}{2}$$

Ответ: $CE=\frac{\sqrt{106}}{2}$.

Задача 4.  В треугольнике $SABC$ угол $\angle ACB$ — прямой, $CD$ — биссектриса, угол $\angle BDC=75^{\circ}$. Найдите $BD$, если известно, что $AC =\sqrt{3}$.

Так как биссектриса разделит прямой угол пополам, то угол $DCB=45^{\circ}$, а угол $ABC$, следовательно, равен $60^{\circ}$. Тогда угол $CAB=30^{\circ}$ и, следовательно, лежащий против него катет равен половине гипотенузы.

Обозначим $BC=y$, $AB=2y$.

По теореме Пифагора

$$AB^2=BC^2+AC ^2$$

$$4y^2=y^2+3$$

$$3y^2=3$$

$$y=1$$

По теореме о свойстве биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}=\sqrt{3}$$

$$AD=\sqrt{3}DB$$

Но $AD+DB=2$, следовательно

$$\sqrt{3}DB+DB=2$$

$$DB=\frac{2}{1+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$$

Ответ: $DB=\sqrt{3}-1$.

Задача 5.  В треугольнике $ABC$ проведены биссектриса $BD$ угла $ABC$ и биссектриса $AF$ угла $BAC$ (точка $ D $ лежит на стороне $AC$, а точка $F$ — на стороне $BC$). Найдите отношение площадей треугольников $ABC$ и $CDF$, если известно, что $AB = 6, BC = 4$ и $AC = 3$.

По теореме о свойстве биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

$$\frac{BF}{FC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{3}=\frac{2y}{y}$$

$$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{4}=\frac{1,5x}{x}$$

Площади треугольников, имеющих общий (или равный) угол, относятся как произведения прилежащих к этому углу сторон, поэтому:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{DFC}}=\frac{AC\cdot BC}{DC\cdotFC}=\frac{2,5x\cdot3y}{x\cdot y}=7,5$$

Ответ: $\frac{S_{ABC}}{S_{DFC}}=7,5$.

Задача 6.  В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BD$ и $AE$. Найдите отношение площадей треугольников $ABC$ и $BDE$, если $AB = 5, BC = 8, AC = 7$.

Эта задача решается так же, как №2.

По теореме о свойстве биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

$$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{7}$$

$$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{8}$$

Пусть площадь всего треугольника $ABC$  – $S$. Тогда площадь треугольника $BCD$ составляет $\frac{8}{13}S$ (так как у треугольников $ABC$ и $ABD$ одна и та же высота, то их площади относятся так же, как длины оснований).

$$S_{BCD}=\frac{8}{13}S$$

Теперь рассмотрим треугольник $BDE$. Так как у него общая высота с треугольником $BCD$, то их площади относятся, как длины оснований: $S_{BDE}=\frac{5}{12}S_{BCD}$. Или

$$ S_{BDE}=\frac{5}{12}\cdot\frac{8}{13}S=\frac{10}{39}S$$

Тогда

$$\frac{S}{ S_{BDE}}=\frac{39}{10}=3,9$$

Ответ: $\frac{S}{ S_{BDE}}=3,9$