Задачи с фантазией – 16: свойства биссектрис.

В этой статье рассмотрены задачи на свойства биссектрисы и определение ее длины. Также придется вспомнить отношения площадей треугольника и формулу, по которой можно определить длину медианы, зная длины сторон треугольника.

Прежде, чем мы начнем решать, вспомним необходимые формулы и соотношения.

Длину биссектрисы можно найти по формулам:

   

   

   

Где – длина биссектрисы, и – длины прилегающих к делимому биссектрисой углу сторон треугольника, и – длины отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника.

Длины этих отрезков относятся как

   

Длины отрезков и можно найти так:

   

   

Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношениях:

   

   

   

Задача 1.  Найдите биссектрисы острых углов в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны 6 и 8.

Построим чертеж. Пусть , . Тогда , так как треугольник подобен египетскому с известной Пифагоровой тройкой 3, 4, 5.

Первый способ решения:

По свойству биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

   

   

Тогда

   

   

   

Но , тогда

   

   

Тогда .

   

Но , тогда

   

   

Тогда .

Длина биссектрисы выражается формулой:

   

Где – длины прилегающих к разделенному биссектрисой углу сторон треугольника, – длины отрезков, на которые биссектриса разделила противолежащую сторону.

Тогда в нашей задаче:

   

   

Другая биссектриса:

   

   

Второй способ решения:

Можно найти биссектрису, зная стороны треугольника,  по формуле:

   

Тогда

   

Вторую биссектрису я не стану находить, просто нужно подставить в формулу другие стороны.

Ответ: , .

 

Задача 2.  В треугольнике  проведены биссектрисы  и . Найдите отношение площадей треугольников  и , если .

Так как истинных длин сторон треугольника мы не знаем, то можно записать, что , , .

По свойству биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

   

   

Тогда

   

   

   

   

Тогда

   

   

Пусть площадь всего треугольника  – . Тогда площадь треугольника составляет (так как у треугольников и одна и та же высота, то их площади относятся так же, как длины оснований).

   

Теперь рассмотрим треугольник . Так как у него общая высота с треугольником , то их площади относятся, как длины оснований: . Или

   

Ответ: .

 

Задача 3.  В треугольнике  даны длины сторон  и биссектриса . Найдите длину медианы .

По формуле длины биссектрисы можно записать:

   

Тогда

   

Так как

   

То

   

Или

   

Откуда , .

То есть .

Теперь, чтобы найти медиану, вспомним формулу, позволяющую определить ее длину по сторонам треугольника:

   

В нашем случае

   

   

Ответ: .

Задача 4.  В треугольнике  угол  — прямой,  — биссектриса, угол . Найдите , если известно, что .

Так как биссектриса разделит прямой угол пополам, то угол , а угол , следовательно, равен . Тогда угол и, следовательно, лежащий против него катет равен половине гипотенузы.

Обозначим , .

По теореме Пифагора

   

   

   

   

По теореме о свойстве биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

   

   

Но , следовательно

   

   

Ответ: .

Задача 5.  В треугольнике  проведены биссектриса  угла  и биссектриса  угла  (точка  лежит на стороне , а точка  — на стороне ). Найдите отношение площадей треугольников  и , если известно, что  и .

По теореме о свойстве биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

   

   

Площади треугольников, имеющих общий (или равный) угол, относятся как произведения прилежащих к этому углу сторон, поэтому:

   

Ответ: .

Задача 6.  В треугольнике  проведены биссектрисы  и . Найдите отношение площадей треугольников  и , если .

Эта задача решается так же, как №2.

По теореме о свойстве биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

   

   

Пусть площадь всего треугольника  – . Тогда площадь треугольника составляет (так как у треугольников и одна и та же высота, то их площади относятся так же, как длины оснований).

   

Теперь рассмотрим треугольник . Так как у него общая высота с треугольником , то их площади относятся, как длины оснований: . Или

   

Тогда

   

Ответ: