Задачи с фантазией - 16: свойства биссектрис.

Задачи с фантазией – 16: свойства биссектрис.

В этой статье рассмотрены задачи на свойства биссектрисы и определение ее длины. Также придется вспомнить отношения площадей треугольника и формулу, по которой можно определить длину медианы, зная длины сторон треугольника.

Прежде, чем мы начнем решать, вспомним необходимые формулы и соотношения.

Длину биссектрисы можно найти по формулам:

$l^2=a\cdot b-m\cdot n$

$l^2=\frac{ab((a+b)^2-c^2)}{(a+b)^2}$

$\frac{2ab\cos{\frac{\alpha}{2}}}{a+b}$

Где $l$ – длина биссектрисы, $a$ и $b$ – длины прилегающих к делимому биссектрисой углу сторон треугольника, $m$ и $n$ – длины отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника.

Длины этих отрезков относятся как

$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$

биссектриса

Длины отрезков $m$ и $n$ можно найти так:

$m=\frac{ac}{a+b}$

$n=\frac{bc}{a+b}$

Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношениях:

$\frac{k}{p}=\frac{a+b}{c}$

$\frac{t}{s}=\frac{b+c}{a}$

$\frac{f}{q}=\frac{a+c}{b}$

биссектриса

Задача 1. Найдите биссектрисы острых углов в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны 6 и 8.

Рисунок 1

Построим чертеж. Пусть $CB=6$ , $AC=8$ . Тогда $AB=10$ , так как треугольник подобен египетскому с известной Пифагоровой тройкой 3, 4, 5.

Первый способ решения:

По свойству биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

$\frac{AB}{CB}=\frac{AE}{EC}$

$\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{FC}$

Тогда

$\frac{10}{6}=\frac{AE}{EC}$

$\frac{10}{8}=\frac{BF}{FC}$

$AE=\frac{5}{3}EC$

Но $AE+EC=8$ , тогда

$\frac{5}{3}EC+EC=8$

$EC=3$

Тогда $AE=5$ .

$BF=\frac{5}{4}FC$

Но $BF+FC=6$ , тогда

$\frac{5}{4}FC+FC=6$

$FC=\frac{8}{3}$

Тогда $BF=\frac{10}{3}$ .

Длина биссектрисы выражается формулой:

$l^2=a\cdot b-m\cdot n$

Где $a, b$ – длины прилегающих к разделенному биссектрисой углу сторон треугольника, $m,n$ – длины отрезков, на которые биссектриса разделила противолежащую сторону.

Тогда в нашей задаче:

$AF^2=AB\cdotAC-BF\cdotFC=10\cdot8-\frac{10}{3}\cdot\frac{8}{3}=80-\frac{80}{9}=\frac{640}{9}$

$AF=\sqrt{\frac{640}{9}}=\frac{8\sqrt{10}}{3}$

Другая биссектриса:

$BE^2=AB\cdot CB-AE\cdot EC=10\cdot6-3\cdot5=60-15=45$

$BE=3\sqrt{5}$

Второй способ решения:

Можно найти биссектрису, зная стороны треугольника, по формуле:

$l_a^2=\frac{bc((b+c)^2-a^2}{(b+c)^2}$

Тогда

$AF=\sqrt{\frac{AC\cdot AB((AC+AB)^2-BC^2}{(AC+AB)^2}}=\sqrt{\frac{8\cdot 10(18^2-6^2}{18^2}}=\sqrt{\frac{80\cdot 288}{18^2}}=\sqrt{\frac{80\cdot 16}{18}}=\sqrt{\frac{640}{9}}=\frac{8\sqrt{10}}{3}$

Вторую биссектрису я не стану находить, просто нужно подставить в формулу другие стороны.

Ответ: $AF=\frac{8\sqrt{10}}{3}$ , $BE=3\sqrt{5}$ .

Задача 2. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $CF$ и $AD$ . Найдите отношение площадей треугольников $AFD$ и $ABC$ , если $AB :AC : BC = 21 : 28 : 20$ .

Так как истинных длин сторон треугольника мы не знаем, то можно записать, что $AB=21x$ , $AC=28x$ , $BC=20x$ .

Рисунок 2

$\frac{BC}{AC}=\frac{BF}{AF}$

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$

Тогда

$\frac{20x}{28x}=\frac{BF}{AF}$

$\frac{21x}{28x}=\frac{BD}{DC}$

$\frac{5}{7}=\frac{BF}{AF}$

$\frac{3}{4}=\frac{BD}{DC}$

Тогда

$\frac{BD}{BC}=\frac{3}{7}$

$\frac{AF}{AB}=\frac{7}{12}$

Пусть площадь всего треугольника $ABC$ – $S$ . Тогда площадь треугольника $ABD$ составляет $\frac{3}{7}S$ (так как у треугольников $ABC$ и $ABD$ одна и та же высота, то их площади относятся так же, как длины оснований).

$S_{ABD}=\frac{3}{7}S$

Теперь рассмотрим треугольник $AFD$ . Так как у него общая высота с треугольником $ABD$ , то их площади относятся, как длины оснований: $S_{AFD}=\frac{7}{12}S_{ABD}$ . Или

$S_{AFD}=\frac{7}{12}\cdot\frac{3}{7}S=\frac{1}{4}S$

Ответ: $S_{AFD}=\frac{1}{4}S$ .

Задача 3. В треугольнике $ABC$ даны длины сторон $AB = 4, BC = 6$ и биссектриса $BD =3\sqrt{2}$ . Найдите длину медианы $CE$ .

Рисунок 3

По формуле длины биссектрисы можно записать:

$BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot DC$

Тогда

$AD\cdot DC= AB\cdot BC- BD^2=24-18=6$

Так как

$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{6}$

То

$AD=\frac{2}{3}DC$

Или

$DC\cdot \frac{2}{3}DC=6$

Откуда $DC=3$ , $AD=2$ .

То есть $AC=5$ .

Теперь, чтобы найти медиану, вспомним формулу, позволяющую определить ее длину по сторонам треугольника:

$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$

В нашем случае

$CE^2=\frac{2BC^2+2AC^2-AB^2}{4}=\frac{2\cdot 6^2+2\cdot5^2-4^2}{4}=\frac{106}{4}$

$CE=\sqrt{\frac{106}{4}=\frac{\sqrt{106}}{2}$

Ответ: $CE=\frac{\sqrt{106}}{2}$ .

Задача 4. В треугольнике $SABC$ угол $\angle ACB$ — прямой, $CD$ — биссектриса, угол $\angle BDC=75^{\circ}$ . Найдите $BD$ , если известно, что $AC =\sqrt{3}$ .

Рисунок 4

Так как биссектриса разделит прямой угол пополам, то угол $DCB=45^{\circ}$ , а угол $ABC$ , следовательно, равен $60^{\circ}$ . Тогда угол $CAB=30^{\circ}$ и, следовательно, лежащий против него катет равен половине гипотенузы.

Обозначим $BC=y$ , $AB=2y$ .

По теореме Пифагора

$AB^2=BC^2+AC ^2$

$4y^2=y^2+3$

$3y^2=3$

$y=1$

По теореме о свойстве биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}=\sqrt{3}$

$AD=\sqrt{3}DB$

Но $AD+DB=2$ , следовательно

$\sqrt{3}DB+DB=2$

$DB=\frac{2}{1+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$

Ответ: $DB=\sqrt{3}-1$ .

Задача 5. В треугольнике $ABC$ проведены биссектриса $BD$ угла $ABC$ и биссектриса $AF$ угла $BAC$ (точка $D$ лежит на стороне $AC$ , а точка $F$ — на стороне $BC$ ). Найдите отношение площадей треугольников $ABC$ и $CDF$ , если известно, что $AB = 6, BC = 4$ и $AC = 3$ .

Рисунок 5

$\frac{BF}{FC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{3}=\frac{2y}{y}$

$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{4}=\frac{1,5x}{x}$

Площади треугольников, имеющих общий (или равный) угол, относятся как произведения прилежащих к этому углу сторон, поэтому:

$\frac{S_{ABC}}{S_{DFC}}=\frac{AC\cdot BC}{DC\cdotFC}=\frac{2,5x\cdot3y}{x\cdot y}=7,5$

Ответ: $\frac{S_{ABC}}{S_{DFC}}=7,5$ .

Задача 6. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BD$ и $AE$ . Найдите отношение площадей треугольников $ABC$ и $BDE$ , если $AB = 5, BC = 8, AC = 7$ .

Эта задача решается так же, как №2.

Рисунок 6

$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{7}$

$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{8}$

Пусть площадь всего треугольника $ABC$ – $S$ . Тогда площадь треугольника $BCD$ составляет $\frac{8}{13}S$ (так как у треугольников $ABC$ и $ABD$ одна и та же высота, то их площади относятся так же, как длины оснований).

$S_{BCD}=\frac{8}{13}S$

Теперь рассмотрим треугольник $BDE$ . Так как у него общая высота с треугольником $BCD$ , то их площади относятся, как длины оснований: $S_{BDE}=\frac{5}{12}S_{BCD}$ . Или

$S_{BDE}=\frac{5}{12}\cdot\frac{8}{13}S=\frac{10}{39}S$

Тогда

$\frac{S}{ S_{BDE}}=\frac{39}{10}=3,9$

Ответ: $\frac{S}{ S_{BDE}}=3,9$

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Окт
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30

Задачи с фантазией – 16: свойства биссектрис.

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Автор сайта

Авторские права

Календарь