Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача повышенной сложности (26), Планиметрия (16 (C4))

Задачи с фантазией – 16: свойства биссектрис.

В этой статье рассмотрены задачи на свойства биссектрисы и определение ее длины. Также придется вспомнить отношения площадей треугольника и формулу, по которой можно определить длину медианы, зная длины сторон треугольника.

Прежде, чем мы начнем решать, вспомним необходимые формулы и соотношения.

Длину биссектрисы можно найти по формулам:

    \[l^2=a\cdot b-m\cdot n\]

    \[l^2=\frac{ab((a+b)^2-c^2)}{(a+b)^2}\]

    \[\frac{2ab\cos{\frac{\alpha}{2}}}{a+b}\]

Где l – длина биссектрисы, a и b – длины прилегающих к делимому биссектрисой углу сторон треугольника, m и n – длины отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника.

Длины этих отрезков относятся как

    \[\frac{a}{b}=\frac{m}{n}\]

Длины отрезков m и n можно найти так:

    \[m=\frac{ac}{a+b}\]

    \[n=\frac{bc}{a+b}\]

Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношениях:

    \[\frac{k}{p}=\frac{a+b}{c}\]

    \[\frac{t}{s}=\frac{b+c}{a}\]

    \[\frac{f}{q}=\frac{a+c}{b}\]

Задача 1.  Найдите биссектрисы острых углов в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны 6 и 8.

Рисунок 1

Построим чертеж. Пусть CB=6, AC=8. Тогда AB=10, так как треугольник подобен египетскому с известной Пифагоровой тройкой 3, 4, 5.

Первый способ решения:

По свойству биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

    \[\frac{AB}{CB}=\frac{AE}{EC}\]

    \[\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{FC}\]

Тогда

    \[\frac{10}{6}=\frac{AE}{EC}\]

    \[\frac{10}{8}=\frac{BF}{FC}\]

    \[AE=\frac{5}{3}EC\]

Но AE+EC=8, тогда

    \[\frac{5}{3}EC+EC=8\]

    \[EC=3\]

Тогда AE=5.

    \[BF=\frac{5}{4}FC\]

Но BF+FC=6, тогда

    \[\frac{5}{4}FC+FC=6\]

    \[FC=\frac{8}{3}\]

Тогда BF=\frac{10}{3}.

Длина биссектрисы выражается формулой:

    \[l^2=a\cdot b-m\cdot n\]

Где a, b – длины прилегающих к разделенному биссектрисой углу сторон треугольника, m,n – длины отрезков, на которые биссектриса разделила противолежащую сторону.

Тогда в нашей задаче:

    \[AF^2=AB\cdotAC-BF\cdotFC=10\cdot8-\frac{10}{3}\cdot\frac{8}{3}=80-\frac{80}{9}=\frac{640}{9}\]

    \[AF=\sqrt{\frac{640}{9}}=\frac{8\sqrt{10}}{3}\]

Другая биссектриса:

    \[BE^2=AB\cdot CB-AE\cdot EC=10\cdot6-3\cdot5=60-15=45\]

    \[BE=3\sqrt{5}\]

Второй способ решения:

Можно найти биссектрису, зная стороны треугольника,  по формуле:

    \[l_a^2=\frac{bc((b+c)^2-a^2}{(b+c)^2}\]

Тогда

    \[AF=\sqrt{\frac{AC\cdot AB((AC+AB)^2-BC^2}{(AC+AB)^2}}=\sqrt{\frac{8\cdot 10(18^2-6^2}{18^2}}=\sqrt{\frac{80\cdot 288}{18^2}}=\sqrt{\frac{80\cdot 16}{18}}=\sqrt{\frac{640}{9}}=\frac{8\sqrt{10}}{3}\]

Вторую биссектрису я не стану находить, просто нужно подставить в формулу другие стороны.

Ответ: AF=\frac{8\sqrt{10}}{3}, BE=3\sqrt{5}.

 

Задача 2.  В треугольнике ABC проведены биссектрисы CF и AD. Найдите отношение площадей треугольников AFD и ABC, если AB :AC : BC = 21 : 28 : 20.

Так как истинных длин сторон треугольника мы не знаем, то можно записать, что AB=21x, AC=28x, BC=20x.

Рисунок 2

По свойству биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

    \[\frac{BC}{AC}=\frac{BF}{AF}\]

    \[\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}\]

Тогда

    \[\frac{20x}{28x}=\frac{BF}{AF}\]

    \[\frac{21x}{28x}=\frac{BD}{DC}\]

    \[\frac{5}{7}=\frac{BF}{AF}\]

    \[\frac{3}{4}=\frac{BD}{DC}\]

Тогда

    \[\frac{BD}{BC}=\frac{3}{7}\]

    \[\frac{AF}{AB}=\frac{7}{12}\]

Пусть площадь всего треугольника ABC  – S. Тогда площадь треугольника ABD составляет \frac{3}{7}S (так как у треугольников ABC и ABD одна и та же высота, то их площади относятся так же, как длины оснований).

    \[S_{ABD}=\frac{3}{7}S\]

Теперь рассмотрим треугольник AFD. Так как у него общая высота с треугольником ABD, то их площади относятся, как длины оснований: S_{AFD}=\frac{7}{12}S_{ABD}. Или

    \[S_{AFD}=\frac{7}{12}\cdot\frac{3}{7}S=\frac{1}{4}S\]

Ответ: S_{AFD}=\frac{1}{4}S.

 

Задача 3.  В треугольнике ABC даны длины сторон AB = 4, BC = 6 и биссектриса BD =3\sqrt{2}. Найдите длину медианы CE.

Рисунок 3

По формуле длины биссектрисы можно записать:

    \[BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot DC\]

Тогда

    \[AD\cdot DC= AB\cdot BC- BD^2=24-18=6\]

Так как

    \[\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{6}\]

То

    \[AD=\frac{2}{3}DC\]

Или

    \[DC\cdot \frac{2}{3}DC=6\]

Откуда DC=3, AD=2.

То есть AC=5.

Теперь, чтобы найти медиану, вспомним формулу, позволяющую определить ее длину по сторонам треугольника:

    \[m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\]

В нашем случае

    \[CE^2=\frac{2BC^2+2AC^2-AB^2}{4}=\frac{2\cdot 6^2+2\cdot5^2-4^2}{4}=\frac{106}{4}\]

    \[CE=\sqrt{\frac{106}{4}=\frac{\sqrt{106}}{2}\]

Ответ: CE=\frac{\sqrt{106}}{2}.

Задача 4.  В треугольнике SABC угол \angle ACB — прямой, CD — биссектриса, угол \angle BDC=75^{\circ}. Найдите BD, если известно, что AC =\sqrt{3}.

Рисунок 4

Так как биссектриса разделит прямой угол пополам, то угол DCB=45^{\circ}, а угол ABC, следовательно, равен 60^{\circ}. Тогда угол CAB=30^{\circ} и, следовательно, лежащий против него катет равен половине гипотенузы.

Обозначим BC=y, AB=2y.

По теореме Пифагора

    \[AB^2=BC^2+AC ^2\]

    \[4y^2=y^2+3\]

    \[3y^2=3\]

    \[y=1\]

По теореме о свойстве биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

    \[\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}=\sqrt{3}\]

    \[AD=\sqrt{3}DB\]

Но AD+DB=2, следовательно

    \[\sqrt{3}DB+DB=2\]

    \[DB=\frac{2}{1+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1\]

Ответ: DB=\sqrt{3}-1.

Задача 5.  В треугольнике ABC проведены биссектриса BD угла ABC и биссектриса AF угла BAC (точка D лежит на стороне AC, а точка F — на стороне BC). Найдите отношение площадей треугольников ABC и CDF, если известно, что AB = 6, BC = 4 и AC = 3.

Рисунок 5

По теореме о свойстве биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

    \[\frac{BF}{FC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{3}=\frac{2y}{y}\]

    \[\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{4}=\frac{1,5x}{x}\]

Площади треугольников, имеющих общий (или равный) угол, относятся как произведения прилежащих к этому углу сторон, поэтому:

    \[\frac{S_{ABC}}{S_{DFC}}=\frac{AC\cdot BC}{DC\cdotFC}=\frac{2,5x\cdot3y}{x\cdot y}=7,5\]

Ответ: \frac{S_{ABC}}{S_{DFC}}=7,5.

Задача 6.  В треугольнике ABC проведены биссектрисы BD и AE. Найдите отношение площадей треугольников ABC и BDE, если AB = 5, BC = 8, AC = 7.

Эта задача решается так же, как №2.

Рисунок 6

По теореме о свойстве биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:

    \[\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{7}\]

    \[\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{8}\]

Пусть площадь всего треугольника ABC  – S. Тогда площадь треугольника BCD составляет \frac{8}{13}S (так как у треугольников ABC и ABD одна и та же высота, то их площади относятся так же, как длины оснований).

    \[S_{BCD}=\frac{8}{13}S\]

Теперь рассмотрим треугольник BDE. Так как у него общая высота с треугольником BCD, то их площади относятся, как длины оснований: S_{BDE}=\frac{5}{12}S_{BCD}. Или

    \[S_{BDE}=\frac{5}{12}\cdot\frac{8}{13}S=\frac{10}{39}S\]

Тогда

    \[\frac{S}{ S_{BDE}}=\frac{39}{10}=3,9\]

Ответ: \frac{S}{ S_{BDE}}=3,9

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *