В этой статье рассмотрены задачи на свойства биссектрисы и определение ее длины. Также придется вспомнить отношения площадей треугольника и формулу, по которой можно определить длину медианы, зная длины сторон треугольника.
Прежде, чем мы начнем решать, вспомним необходимые формулы и соотношения.
Длину биссектрисы можно найти по формулам:
Где – длина биссектрисы,
и
– длины прилегающих к делимому биссектрисой углу сторон треугольника,
и
– длины отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника.
Длины этих отрезков относятся как
Длины отрезков и
можно найти так:
Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношениях:
Задача 1. Найдите биссектрисы острых углов в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны 6 и 8.

Рисунок 1
Построим чертеж. Пусть ,
. Тогда
, так как треугольник подобен египетскому с известной Пифагоровой тройкой 3, 4, 5.
Первый способ решения:
По свойству биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:
Тогда
Но , тогда
Тогда .
Но , тогда
Тогда .
Длина биссектрисы выражается формулой:
Где – длины прилегающих к разделенному биссектрисой углу сторон треугольника,
– длины отрезков, на которые биссектриса разделила противолежащую сторону.
Тогда в нашей задаче:
Другая биссектриса:
Второй способ решения:
Можно найти биссектрису, зная стороны треугольника, по формуле:
Тогда
Вторую биссектрису я не стану находить, просто нужно подставить в формулу другие стороны.
Ответ: ,
.
Задача 2. В треугольнике проведены биссектрисы
и
. Найдите отношение площадей треугольников
и
, если
.
Так как истинных длин сторон треугольника мы не знаем, то можно записать, что ,
,
.

Рисунок 2
По свойству биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:
Тогда
Тогда
Пусть площадь всего треугольника –
. Тогда площадь треугольника
составляет
(так как у треугольников
и
одна и та же высота, то их площади относятся так же, как длины оснований).
Теперь рассмотрим треугольник . Так как у него общая высота с треугольником
, то их площади относятся, как длины оснований:
. Или
Ответ: .
Задача 3. В треугольнике даны длины сторон
и биссектриса
. Найдите длину медианы
.

Рисунок 3
По формуле длины биссектрисы можно записать:
Тогда
Так как
То
Или
Откуда ,
.
То есть .
Теперь, чтобы найти медиану, вспомним формулу, позволяющую определить ее длину по сторонам треугольника:
В нашем случае
Ответ: .
Задача 4. В треугольнике угол
— прямой,
— биссектриса, угол
. Найдите
, если известно, что
.

Рисунок 4
Так как биссектриса разделит прямой угол пополам, то угол , а угол
, следовательно, равен
. Тогда угол
и, следовательно, лежащий против него катет равен половине гипотенузы.
Обозначим ,
.
По теореме Пифагора
По теореме о свойстве биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:
Но , следовательно
Ответ: .
Задача 5. В треугольнике проведены биссектриса
угла
и биссектриса
угла
(точка
лежит на стороне
, а точка
— на стороне
). Найдите отношение площадей треугольников
и
, если известно, что
и
.

Рисунок 5
По теореме о свойстве биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:
Площади треугольников, имеющих общий (или равный) угол, относятся как произведения прилежащих к этому углу сторон, поэтому:
Ответ: .
Задача 6. В треугольнике проведены биссектрисы
и
. Найдите отношение площадей треугольников
и
, если
.
Эта задача решается так же, как №2.

Рисунок 6
По теореме о свойстве биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон, можно записать:
Пусть площадь всего треугольника –
. Тогда площадь треугольника
составляет
(так как у треугольников
и
одна и та же высота, то их площади относятся так же, как длины оснований).
Теперь рассмотрим треугольник . Так как у него общая высота с треугольником
, то их площади относятся, как длины оснований:
. Или
Тогда
Ответ:
* Добрый...
Дорый день, поясните , пожалуйста, почему в 1 задании ускорение на пути назад будет...
Задачу 2 хорошо через мгновенную ось вращения...
Картинку необходимо заменить: пуля летит сверху вниз. Тогда решение сомнений не...
Какой же это подгон? ОЧень красивое решение. Теорема о трех непараллельных силах,...