Задачи с фантазией - 15. Площадь треугольника

Задачи с фантазией – 15. Площадь треугольника

Сегодня представляю вашему вниманию задачки олимпиадного уровня по теме “Площадь треугольника”. Рассчитаны на 8-9 класс, можно использовать для подготовки к олимпиаде по математике уровня школьного или районного этапа.

Задача 1. Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрана произвольная точка $\text{[math]}$ и проведены отрезки $PA, PB, PC$ и $PD$ . Площади трех из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3. Какие значения может принимать площадь четвертого треугольника?

Сделаем рисунок и обозначим площади, например, так:

Рисунок 1.

Тогда

$S_{ABP}+S_{PCD}=\frac{1}{2}AB\cdot h_{ABP}+\frac{1}{2}CD\cdot h_{PCD}=\frac{1}{2}AB\cdot (h_{ABP}+ h_{PCD})= \frac{1}{2}S_{ABCD}=3+1=4$

Необходимо, чтобы

$S_{APD}+S_{BPC}= \frac{1}{2}S_{ABCD}=4$

Следовательно,

$S_{BPC}=2$

Если площади «распределены» по-другому,

Рисунок 2

то

$S_{BPC}=4$

Ответ: 2 или 4.

Задача 2.Существует ли треугольник с высотами, равными 1, 2 и 3?

Предположим, да. Тогда

$S=\frac{1}{2}a\cdot h_a=\frac{1}{2}b\cdot h_b=\frac{1}{2}c\cdot h_c$

Или

$a\cdot h_a=b\cdot h_b=c\cdot h_c$

Подставим:

$a=2b=3c$

Для любого треугольника должно выполняться неравенство треугольника:

$a<b+c$

$b<a+c$

$c<a+b$

Проверим, подставив:

$a<\frac{a}{2}+\frac{a}{3}$

Первое же неравенство не выполняется.

Следовательно, такого треугольника не существует.

Ответ: нет.

Задача 3. Найдите площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 51, а диагонали равны 40 и 74.

Сделаем рисунок:

Рисунок 3

Так как диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам, то $AO=37$ , а $OD=20$ . Определим площадь треугольника $AOD$ по трем сторонам, воспользовавшись формулой Герона:

$p=\frac{a+b+c}{2}=54$

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \sqrt{54(54-51)(54-20)(54-37)}= \sqrt{54\cdot3\cdot34\cdot17}=\sqrt{6\cdot9\cdot3\cdot17\cdot2\cdot17}=306$

Треугольник $BOC$ равен треугольнику $AOD$ , следовательно, и их площади равны.

Треугольники $AOD$ и $OCD$ имеют одинаковые высоты, следовательно, их площади относятся так же, как их основания, то есть тоже равны.

$S_{ABCD}=4\cdot306=1224$

Ответ: 1224.

Задача 4.Биссектриса, медиана и высота некоторого треугольника, проведённые из трёх разных вершин, пересекаются в одной точке и делят этот треугольник на шесть треугольников (см.рисунок). Площади трёх закрашенных треугольников равны. Верно ли, что исходный треугольник равносторонний?

Рисунок 4

Так как у треугольников $BOP$ и $OPC$ равные основания и одна и та же высота, то их площади равны. Тогда площадь треугольника $OPC$ равна площади треугольника $OCN$ . Мы знаем, что у треугольников с общим углом (или с равными углами, что то же) площади относятся как произведения сторон, значит, раз у наших треугольников ( $OPC$ и $OCN$ ) одна сторона общая, то две другие равны:

$NC=PC$

Отсюда следует равенство треугольников $BOP$ и $OPC$ по первому признаку, то есть треугольник $OPC$ – прямоугольный. Раз так, значит, отрезок $OP$ является медианой и высотой для треугольника $BOC$ и он – равнобедренный. Тогда и $AP$ – медиана и высота треугольника $ABC$ и он – равнобедренный ( $AB=AC$ , $\angle B=\angle C$ ).