Задачи с фантазией – 15. Площадь треугольника

Сегодня представляю вашему вниманию задачки олимпиадного уровня по теме “Площадь треугольника”. Рассчитаны на 8-9 класс, можно использовать для подготовки к олимпиаде по математике уровня школьного или районного этапа.

Задача 1. Внутри параллелограмма  выбрана произвольная точка  и проведены отрезки  и . Площади трех из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3. Какие значения может принимать площадь четвертого треугольника?

Сделаем рисунок и обозначим площади, например, так:

Рисунок 1.

Тогда

Необходимо, чтобы

Следовательно,

Если площади «распределены» по-другому,

Рисунок 2

то

Ответ: 2 или 4.

Задача 2.Существует ли треугольник с высотами, равными 1, 2 и 3?

Предположим, да. Тогда

Или

Подставим:

Для любого треугольника должно выполняться неравенство треугольника:

Проверим, подставив:

Первое же неравенство не выполняется.

Следовательно, такого треугольника не существует.

Ответ: нет.

Задача 3. Найдите площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 51, а диагонали равны 40 и 74.

Сделаем рисунок:

Рисунок 3

Так как диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам, то , а . Определим площадь треугольника по трем сторонам, воспользовавшись формулой Герона:

Треугольник равен треугольнику , следовательно, и их площади равны.

Треугольники и имеют одинаковые высоты, следовательно, их площади относятся так же, как их основания,  то есть тоже равны.

Ответ: 1224.

Задача 4.Биссектриса, медиана и высота некоторого треугольника, проведённые из трёх разных вершин, пересекаются в одной точке и делят этот треугольник на шесть треугольников (см.рисунок). Площади трёх закрашенных треугольников равны. Верно ли, что исходный треугольник равносторонний?

Рисунок 4

Так как у треугольников и равные основания и одна и та же высота, то их площади равны. Тогда площадь треугольника равна площади треугольника . Мы знаем, что у треугольников с общим углом (или с равными углами, что то же) площади относятся как произведения сторон, значит, раз у наших треугольников (  и  ) одна сторона общая, то две другие равны:

Отсюда следует равенство треугольников и по первому признаку, то есть треугольник – прямоугольный. Раз так, значит, отрезок является медианой и высотой для треугольника и он – равнобедренный. Тогда и – медиана и высота  треугольника и он – равнобедренный (, ).

Треугольник прямоугольный, и в нем катет вдвое короче гипотенузы, следовательно, ,  .

Следовательно, . Тогда на угол тоже приходится 60 градусов и треугольник – равносторонний.

Ответ: треугольник – равносторонний.