[latexpage]
Сегодня представляю вашему вниманию задачки олимпиадного уровня по теме “Площадь треугольника”. Рассчитаны на 8-9 класс, можно использовать для подготовки к олимпиаде по математике уровня школьного или районного этапа.
Задача 1. Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрана произвольная точка $Р$ и проведены отрезки $PA, PB, PC$ и $PD$. Площади трех из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3. Какие значения может принимать площадь четвертого треугольника?
Сделаем рисунок и обозначим площади, например, так:

Рисунок 1.
Тогда
$$S_{ABP}+S_{PCD}=\frac{1}{2}AB\cdot h_{ABP}+\frac{1}{2}CD\cdot h_{PCD}=\frac{1}{2}AB\cdot (h_{ABP}+ h_{PCD})= \frac{1}{2}S_{ABCD}=3+1=4$$
Необходимо, чтобы
$$S_{APD}+S_{BPC}= \frac{1}{2}S_{ABCD}=4$$
Следовательно,
$$S_{BPC}=2$$
Если площади «распределены» по-другому,

Рисунок 2
то
$$S_{BPC}=4$$
Ответ: 2 или 4.
Задача 2.Существует ли треугольник с высотами, равными 1, 2 и 3?
Предположим, да. Тогда
$$S=\frac{1}{2}a\cdot h_a=\frac{1}{2}b\cdot h_b=\frac{1}{2}c\cdot h_c$$
Или
$$a\cdot h_a=b\cdot h_b=c\cdot h_c$$
Подставим:
$$a=2b=3c$$
Для любого треугольника должно выполняться неравенство треугольника:
$$a<b+c$$
$$b<a+c$$
$$c<a+b$$
Проверим, подставив:
$$a<\frac{a}{2}+\frac{a}{3}$$
Первое же неравенство не выполняется.
Следовательно, такого треугольника не существует.
Ответ: нет.
Задача 3. Найдите площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 51, а диагонали равны 40 и 74.
Сделаем рисунок:

Рисунок 3
Так как диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам, то $AO=37$, а $OD=20$. Определим площадь треугольника $AOD$ по трем сторонам, воспользовавшись формулой Герона:
$$p=\frac{a+b+c}{2}=54$$
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \sqrt{54(54-51)(54-20)(54-37)}= \sqrt{54\cdot3\cdot34\cdot17}=\sqrt{6\cdot9\cdot3\cdot17\cdot2\cdot17}=306$$
Треугольник $BOC$ равен треугольнику $AOD$, следовательно, и их площади равны.
Треугольники $AOD$ и $OCD$ имеют одинаковые высоты, следовательно, их площади относятся так же, как их основания, то есть тоже равны.
$$S_{ABCD}=4\cdot306=1224$$
Ответ: 1224.
Задача 4.Биссектриса, медиана и высота некоторого треугольника, проведённые из трёх разных вершин, пересекаются в одной точке и делят этот треугольник на шесть треугольников (см.рисунок). Площади трёх закрашенных треугольников равны. Верно ли, что исходный треугольник равносторонний?

Рисунок 4
Так как у треугольников $BOP$ и $OPC$ равные основания и одна и та же высота, то их площади равны. Тогда площадь треугольника $OPC$ равна площади треугольника $OCN$. Мы знаем, что у треугольников с общим углом (или с равными углами, что то же) площади относятся как произведения сторон, значит, раз у наших треугольников ($OPC$ и $OCN$) одна сторона общая, то две другие равны:
$$NC=PC$$
Отсюда следует равенство треугольников $BOP$ и $OPC$ по первому признаку, то есть треугольник $OPC$ – прямоугольный. Раз так, значит, отрезок $OP$ является медианой и высотой для треугольника $BOC$ и он – равнобедренный. Тогда и $AP$ – медиана и высота треугольника $ABC$ и он – равнобедренный ($AB=AC$, $\angle B=\angle C$).
Треугольник $NBC$ прямоугольный, и в нем катет $NC$ вдвое короче гипотенузы, следовательно, $\angle NBC=30^{\circ}$, $\angle NCB=60^{\circ}$.
Следовательно, $\angle B=\angle C=60^{\circ}$. Тогда на угол $A$ тоже приходится 60 градусов и треугольник $ABC$ – равносторонний.
Ответ: треугольник $ABC$ – равносторонний.
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...