Задачи с фантазией – 15. Площадь треугольника

[latexpage]

Сегодня представляю вашему вниманию задачки олимпиадного уровня по теме “Площадь треугольника”. Рассчитаны на 8-9 класс, можно использовать для подготовки к олимпиаде по математике уровня школьного или районного этапа.

Задача 1. Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрана произвольная точка $Р$ и проведены отрезки $PA, PB, PC$ и $PD$. Площади трех из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3. Какие значения может принимать площадь четвертого треугольника?

Сделаем рисунок и обозначим площади, например, так:

Рисунок 1.

Тогда

$$S_{ABP}+S_{PCD}=\frac{1}{2}AB\cdot h_{ABP}+\frac{1}{2}CD\cdot h_{PCD}=\frac{1}{2}AB\cdot (h_{ABP}+ h_{PCD})= \frac{1}{2}S_{ABCD}=3+1=4$$

Необходимо, чтобы

$$S_{APD}+S_{BPC}= \frac{1}{2}S_{ABCD}=4$$

Следовательно,

$$S_{BPC}=2$$

Если площади «распределены» по-другому,

Рисунок 2

то

$$S_{BPC}=4$$

Ответ: 2 или 4.

Задача 2.Существует ли треугольник с высотами, равными 1, 2 и 3?

Предположим, да. Тогда

$$S=\frac{1}{2}a\cdot h_a=\frac{1}{2}b\cdot h_b=\frac{1}{2}c\cdot h_c$$

Или

$$a\cdot h_a=b\cdot h_b=c\cdot h_c$$

Подставим:

$$a=2b=3c$$

Для любого треугольника должно выполняться неравенство треугольника:

$$a<b+c$$

$$b<a+c$$

$$c<a+b$$

Проверим, подставив:

$$a<\frac{a}{2}+\frac{a}{3}$$

Первое же неравенство не выполняется.

Следовательно, такого треугольника не существует.

Ответ: нет.

Задача 3. Найдите площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 51, а диагонали равны 40 и 74.

Сделаем рисунок:

Рисунок 3

Так как диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам, то $AO=37$, а $OD=20$. Определим площадь треугольника $AOD$ по трем сторонам, воспользовавшись формулой Герона:

$$p=\frac{a+b+c}{2}=54$$

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \sqrt{54(54-51)(54-20)(54-37)}= \sqrt{54\cdot3\cdot34\cdot17}=\sqrt{6\cdot9\cdot3\cdot17\cdot2\cdot17}=306$$

Треугольник $BOC$ равен треугольнику $AOD$, следовательно, и их площади равны.

Треугольники $AOD$ и $OCD$ имеют одинаковые высоты, следовательно, их площади относятся так же, как их основания,  то есть тоже равны.

$$S_{ABCD}=4\cdot306=1224$$

Ответ: 1224.

Задача 4.Биссектриса, медиана и высота некоторого треугольника, проведённые из трёх разных вершин, пересекаются в одной точке и делят этот треугольник на шесть треугольников (см.рисунок). Площади трёх закрашенных треугольников равны. Верно ли, что исходный треугольник равносторонний?

Рисунок 4

Так как у треугольников $BOP$ и $OPC$ равные основания и одна и та же высота, то их площади равны. Тогда площадь треугольника $OPC$ равна площади треугольника $OCN$. Мы знаем, что у треугольников с общим углом (или с равными углами, что то же) площади относятся как произведения сторон, значит, раз у наших треугольников ($OPC$  и  $OCN$) одна сторона общая, то две другие равны:

$$NC=PC$$

Отсюда следует равенство треугольников $BOP$ и $OPC$ по первому признаку, то есть треугольник $OPC$ – прямоугольный. Раз так, значит, отрезок $OP$ является медианой и высотой для треугольника $BOC$ и он – равнобедренный. Тогда и $AP$ – медиана и высота  треугольника $ABC$ и он – равнобедренный ($AB=AC$, $\angle B=\angle C$).

Треугольник $NBC$ прямоугольный, и в нем катет $NC$ вдвое короче гипотенузы, следовательно, $\angle NBC=30^{\circ}$,  $\angle NCB=60^{\circ}$.

Следовательно, $\angle B=\angle C=60^{\circ}$. Тогда на угол $A$ тоже приходится 60 градусов и треугольник $ABC$ – равносторонний.

Ответ: треугольник $ABC$ – равносторонний.