Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача повышенной сложности (26), Планиметрия (16 (C4))

Задачи с фантазией – 15. Площадь треугольника

Сегодня представляю вашему вниманию задачки олимпиадного уровня по теме “Площадь треугольника”. Рассчитаны на 8-9 класс, можно использовать для подготовки к олимпиаде по математике уровня школьного или районного этапа.

Задача 1. Внутри параллелограмма ABCD выбрана произвольная точка  и проведены отрезки PA, PB, PC и PD. Площади трех из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3. Какие значения может принимать площадь четвертого треугольника?

Сделаем рисунок и обозначим площади, например, так:

Рисунок 1.

Тогда

    \[S_{ABP}+S_{PCD}=\frac{1}{2}AB\cdot h_{ABP}+\frac{1}{2}CD\cdot h_{PCD}=\frac{1}{2}AB\cdot (h_{ABP}+ h_{PCD})= \frac{1}{2}S_{ABCD}=3+1=4\]

Необходимо, чтобы

    \[S_{APD}+S_{BPC}= \frac{1}{2}S_{ABCD}=4\]

Следовательно,

    \[S_{BPC}=2\]

Если площади «распределены» по-другому,

Рисунок 2

то

    \[S_{BPC}=4\]

Ответ: 2 или 4.

Задача 2.Существует ли треугольник с высотами, равными 1, 2 и 3?

Предположим, да. Тогда

    \[S=\frac{1}{2}a\cdot h_a=\frac{1}{2}b\cdot h_b=\frac{1}{2}c\cdot h_c\]

Или

    \[a\cdot h_a=b\cdot h_b=c\cdot h_c\]

Подставим:

    \[a=2b=3c\]

Для любого треугольника должно выполняться неравенство треугольника:

    \[a<b+c\]

    \[b<a+c\]

    \[c<a+b\]

Проверим, подставив:

    \[a<\frac{a}{2}+\frac{a}{3}\]

Первое же неравенство не выполняется.

Следовательно, такого треугольника не существует.

Ответ: нет.

Задача 3. Найдите площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 51, а диагонали равны 40 и 74.

Сделаем рисунок:

Рисунок 3

Так как диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам, то AO=37, а OD=20. Определим площадь треугольника AOD по трем сторонам, воспользовавшись формулой Герона:

    \[p=\frac{a+b+c}{2}=54\]

    \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \sqrt{54(54-51)(54-20)(54-37)}= \sqrt{54\cdot3\cdot34\cdot17}=\sqrt{6\cdot9\cdot3\cdot17\cdot2\cdot17}=306\]

Треугольник BOC равен треугольнику AOD, следовательно, и их площади равны.

Треугольники AOD и OCD имеют одинаковые высоты, следовательно, их площади относятся так же, как их основания,  то есть тоже равны.

    \[S_{ABCD}=4\cdot306=1224\]

Ответ: 1224.

Задача 4.Биссектриса, медиана и высота некоторого треугольника, проведённые из трёх разных вершин, пересекаются в одной точке и делят этот треугольник на шесть треугольников (см.рисунок). Площади трёх закрашенных треугольников равны. Верно ли, что исходный треугольник равносторонний?

Рисунок 4

Так как у треугольников BOP и OPC равные основания и одна и та же высота, то их площади равны. Тогда площадь треугольника OPC равна площади треугольника OCN. Мы знаем, что у треугольников с общим углом (или с равными углами, что то же) площади относятся как произведения сторон, значит, раз у наших треугольников (OPC  и  OCN) одна сторона общая, то две другие равны:

    \[NC=PC\]

Отсюда следует равенство треугольников BOP и OPC по первому признаку, то есть треугольник OPC – прямоугольный. Раз так, значит, отрезок OP является медианой и высотой для треугольника BOC и он – равнобедренный. Тогда и AP – медиана и высота  треугольника ABC и он – равнобедренный (AB=AC, \angle B=\angle C).

Треугольник NBC прямоугольный, и в нем катет NC вдвое короче гипотенузы, следовательно, \angle NBC=30^{\circ},  \angle NCB=60^{\circ}.

Следовательно, \angle B=\angle C=60^{\circ}. Тогда на угол A тоже приходится 60 градусов и треугольник ABC – равносторонний.

Ответ: треугольник ABC – равносторонний.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *