Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача на вычисление (задание 23), Геометрическая задача повышенной сложности (25), Планиметрия (16 (C4))

Задачи с фантазией – 14

[latexpage]

Эта статья содержит задачи олимпиады «Фоксфорда». Задачи интересные, и заслуживают внимания.

Задача 1. (Олимпиада Фоксфорд). Точка $M$ удалена от вершин $A, B$ и $C$ прямоугольника $ABCD$ на расстояния 8, 7 и 1 соответственно. Найдите расстояние от точки $M$ до вершины $D$.

Показать

Задача 2. (Олимпиада Фоксфорд). Две равные непересекающиеся окружности пересекают две прямые. Каждая прямая пересекает окружности в четырех точках, причем три образовавшихся отрезка (с концами в соседних точках пересечения) на каждой из прямых равны. Длины отрезков на одной из прямых равны 4, а на другой – $2\sqrt{7}$. Найдите радиус окружностей.

Показать

Задача 3. (Олимпиада Фоксфорд) Угол $B$ в треугольнике $ABC$ равен $170^{\circ}$. $AA_1$ и $CC_1$ – биссектрисы треугольника $ABC$. Точки $K$ и $L$ выбраны на стороне $AC$ так, что  $\angle ABK=\angle CBL=160^{\circ}$. Чему равен угол между прямыми $KA_1$ и $LC_1$? В ответе запишите значение искомого угла в градусах.

Показать

Задача 4. (Всеросс, 10 класс). Две вершины, центр вписанной окружности и точка пересечения высот остроугольного треугольника лежат на одной окружности. Найдите угол при третьей вершине.

Показать

 

Комментариев - 2

  • Елена
    |

    Задача № 2 из раздела “Задачи с фантазией” решается “в одно касание”. Воспользуемся данными обозначениями и доказанным выше, что отрезок, соединяющий центры окружностей, равен четыре корня из семи. В треугольникеКО(1)L опустим высоту О(1)Т, тогда КТ=2, РТ=4, О(1)Р=два корня из семи. Составим систему из двух уравнений: теорема Пифагора для треугольников РО(1)Т и КО(1)Т.Радиус находится в два действия. Всем удачи!!!

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо!

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *