Эта статья содержит задачи олимпиады «Фоксфорда». Задачи интересные, и заслуживают внимания.
Задача 1. (Олимпиада Фоксфорд). Точка 
удалена от вершин 
и 
прямоугольника 
на расстояния 8, 7 и 1 соответственно. Найдите расстояние от точки до вершины 
.
Показать
К задаче 1
Обозначим длины перпендикуляров, опущенных из точки на стороны 
и 
и 
соответственно. Тогда можно записать
Тогда 
, 
, а неизвестное расстояние
Ответ: 4
Задача 2. (Олимпиада Фоксфорд). Две равные непересекающиеся окружности пересекают две прямые. Каждая прямая пересекает окружности в четырех точках, причем три образовавшихся отрезка (с концами в соседних точках пересечения) на каждой из прямых равны. Длины отрезков на одной из прямых равны 4, а на другой – 
. Найдите радиус окружностей.
Показать
К задаче 2
Примем длины отрезков 
, а длины отрезков 
.
Треугольники 
и 
равны по третьему признаку, следовательно, их высоты тоже равны, и тогда 
. Тогда 
– равнобокая трапеция, а 
– параллелограмм. Таким образом, 
.
Треугольники 
и 
равны по третьему признаку, следовательно, треугольники 
и 
подобны по двум углам, а, так как у них равны соответственные стороны (являющиеся радиусами), то эти треугольники равны. Тогда
Обозначим угол 
и запишем теорему косинусов для треугольников 
и 
. 
, и для треугольника :
Для треугольника :
Теперь приравняем правые части (1) и (2):
Откуда
А радиусы окружностей (подставляя найденный косинус в (2))
Таким же способом можно показать, что, если принять длины отрезков 
, а длины отрезков 
, то задача решений не имеет.
Ответ: 4
Задача 3. (Олимпиада Фоксфорд) Угол 
в треугольнике 
равен 
. 
и 
– биссектрисы треугольника . Точки 
и 
выбраны на стороне 
так, что 
. Чему равен угол между прямыми 
и 
? В ответе запишите значение искомого угла в градусах.
Показать
Обозначим углы, на которые биссектриса угла 
делит его, за 
, а углы, на которые биссектриса делит угол 
, за 
. Тогда
Откуда
Продлим лучи 
и 
так, чтобы получить внешние углы треугольника 
и 
. Оба этих угла равны 
. Таким образом, так как 
и 
, то луч 
– биссектриса угла 
, а 
– биссектриса угла 
.
К задаче 3- рисунок 1.
Точка 
принадлежит биссектрисе угла , следовательно, она равноудалена от его сторон. Так как одновременно эта точка принадлежит биссектрисе угла , то она также равноудалена и от его сторон тоже. Следовательно, эта точка является центром вневписанной окружности треугольника 
. Следовательно, луч – биссектриса угла 
.
Аналогично, точка 
принадлежит биссектрисе угла , и она равноудалена от его сторон. Так как одновременно эта точка принадлежит биссектрисе 
угла , то она также равноудалена и от его сторон тоже. Следовательно, эта точка является центром вневписанной окружности треугольника 
. Следовательно, луч – биссектриса угла 
.
К задаче 3 – рисунок 2.
Искомый угол 
.
Ответ: 
.
Задача 4. (Всеросс, 10 класс). Две вершины, центр вписанной окружности и точка пересечения высот остроугольного треугольника лежат на одной окружности. Найдите угол при третьей вершине.
Показать
Сделаем рисунок. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис. Поэтому можно равные углы обозначить одинаковыми буквами: 
. Биссектрисы обозначены сплошными линиями, высоты – штриховыми.
К задаче 4
Угол 
равен углу 
как вписанный.
Угол 
равен углу как вертикальный.
Так как в четырехугольнике 
два угла – прямые, то
Сумма углов треугольника – 
,
А это и есть искомый угол.
Ответ: 
удалена от вершин 
и 
прямоугольника 
на расстояния 8, 7 и 1 соответственно. Найдите расстояние от точки 
.
. Найдите радиус окружностей.
в треугольнике 
равен 
. 
и 
– биссектрисы треугольника 
и 
выбраны на стороне 
так, что 
. Чему равен угол между прямыми 
и 
? В ответе запишите значение искомого угла в градусах.
Комментариев - 2
Задача № 2 из раздела “Задачи с фантазией” решается “в одно касание”. Воспользуемся данными обозначениями и доказанным выше, что отрезок, соединяющий центры окружностей, равен четыре корня из семи. В треугольникеКО(1)L опустим высоту О(1)Т, тогда КТ=2, РТ=4, О(1)Р=два корня из семи. Составим систему из двух уравнений: теорема Пифагора для треугольников РО(1)Т и КО(1)Т.Радиус находится в два действия. Всем удачи!!!
Спасибо!