Эта статья содержит задачи олимпиады «Фоксфорда». Задачи интересные, и заслуживают внимания.
Задача 1. (Олимпиада Фоксфорд). Точка 
удалена от вершин 
и 
прямоугольника 
на расстояния 8, 7 и 1 соответственно. Найдите расстояние от точки до вершины 
.
и 
и 
соответственно. Тогда можно записать![\[\begin{Bmatrix}{ c^2+k^2=8^2}\\{ c^2+l^2=7^2}\\{l^2+h^2=1^2}\\{k^2+h^2=x^2}\end{matrix}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb85e27785ee1ad167183fded3559a75_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, 
, а неизвестное расстояние![\[x^2= k^2+h^2=64-c^2+1-l^2=65-(c^2+l^2)=65-49=16\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc8880dfb0376663821998b3474a87a2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x=4\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-17d13086895a3e7563dcb7f52efc0e45_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Задача 2. (Олимпиада Фоксфорд). Две равные непересекающиеся окружности пересекают две прямые. Каждая прямая пересекает окружности в четырех точках, причем три образовавшихся отрезка (с концами в соседних точках пересечения) на каждой из прямых равны. Длины отрезков на одной из прямых равны 4, а на другой – 
. Найдите радиус окружностей.
, а длины отрезков 
.
и 
равны по третьему признаку, следовательно, их высоты тоже равны, и тогда 
. Тогда 
– равнобокая трапеция, а 
– параллелограмм. Таким образом, 
.
и 
равны по третьему признаку, следовательно, треугольники 
и 
подобны по двум углам, а, так как у них равны соответственные стороны (являющиеся радиусами), то эти треугольники равны. Тогда![\[OP=O_1P=\frac{OO_1}{2}=2\sqrt{7}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-42fed7ee2d68208e8010c1fc9655761f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[VP=PL=\frac{3\cdot4}{2}=6\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9edfba92af43b51d41c5ff72fa012f60_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
и запишем теорему косинусов для треугольников 
и 
. 
, и для треугольника ![\[O_1L^2=O_1P^2+PL^2-2\cdot PL\cdot O_1P \cdot \cos{\alpha}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e90f7480d7b5106c44c642653ff08e23_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[R^2=(2\sqrt{7})^2+6^2-12\cdot2\sqrt{7}\cdot\cos{\alpha}~~~~~~~~(1)\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3cd9f78030b0808095f77851f6833bb8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[O_1K^2=O_1P^2+PK^2- 2\cdot PK\cdot O_1P \cdot\cos{\alpha}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bdd54f319742eb8df39bd71ac014e737_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[R^2=(2\sqrt{7})^2+2^2-4\cdot2\sqrt{7}\cdot\cos{\alpha}~~~~~~~(2)\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c7ac476cd3386b0eccf199ad8f84ea73_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[6^2-12\cdot2\sqrt{7}\cdot\cos{\alpha}=2^2-4\cdot2\sqrt{7}\cdot\cos{\alpha}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c1214fffb4173f58372d073b17fb30c1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\cos{\alpha}=\frac{2}{\sqrt{7}}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-990574281b3dfefc83f9163a6d4706fc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[R^2=28+4-16=16\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3090bf86380ccea44627f5fd4c994786_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[R=4\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-44787ece9de042a0f38f8c4157fc2271_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, а длины отрезков 
, то задача решений не имеет.Задача 3. (Олимпиада Фоксфорд) Угол 
в треугольнике 
равен 
. 
и 
– биссектрисы треугольника . Точки 
и 
выбраны на стороне 
так, что 
. Чему равен угол между прямыми 
и 
? В ответе запишите значение искомого угла в градусах.
делит его, за 
, а углы, на которые биссектриса 
, за 
. Тогда![\[170^{\circ}+2x+2y=180^{\circ}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-13e371e37930c333fec2aff3649a2fc2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x+y=5^{\circ}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc889eccf591a882456504001efdbca5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
и 
так, чтобы получить внешние углы треугольника 
и 
. Оба этих угла равны 
. Таким образом, так как 
и 
, то луч 
– биссектриса угла 
, а 
– биссектриса угла 
.
принадлежит биссектрисе 
. Следовательно, луч 
.
принадлежит биссектрисе 
угла 
. Следовательно, луч 
.
.![\[\angle 3=\angle ALC_1=\frac{1}{2}\angle ALB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-10^{\circ}-2x)=85^{\circ}-x\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea07c24edc6781438d6a1eda73cd35a9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\angle 4=\angle CKA_1=\frac{1}{2}\angle CKB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-10^{\circ}-2y)=85^{\circ}-y\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6534f4ec88ca945c1de2e805e28ede3c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\angle LZK=180^{\circ}-\angle 3-\angle 4=180^{\circ}-85^{\circ}+x-85^{\circ}+y=10^{\circ}+x+y=15^{\circ}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47b74b3d35f21b3fbb9835e6a27d84cc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.Задача 4. (Всеросс, 10 класс). Две вершины, центр вписанной окружности и точка пересечения высот остроугольного треугольника лежат на одной окружности. Найдите угол при третьей вершине.
. Биссектрисы обозначены сплошными линиями, высоты – штриховыми.
равен углу 
как вписанный.![\[\angle ADC=180^{\circ}-x-y=\angle AEC\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-324a0c70dd52501ac1925f13b6c1610c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
равен углу ![\[\angle MEN=180^{\circ}-x-y\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-022e3488e6eea7d6442626b6f2b24136_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
два угла – прямые, то![\[\angle MEN+\angle MBN=180^{\circ}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d36f31f0e2d51d873d4e5cb3fa594a0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\angle MBN=180^{\circ}-\angle MEN=180^{\circ}-(180^{\circ}-x-y)=x+y\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a21a59960e73862ac250713dab548aa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
,![\[180^{\circ}=2x+2y+x+y=3(x+y)\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a685518f6abffbd61f39f20af2e38e90_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x+y=60^{\circ}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e63301f89d1e7edd595380b160d8f8a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Комментариев - 2
Задача № 2 из раздела “Задачи с фантазией” решается “в одно касание”. Воспользуемся данными обозначениями и доказанным выше, что отрезок, соединяющий центры окружностей, равен четыре корня из семи. В треугольникеКО(1)L опустим высоту О(1)Т, тогда КТ=2, РТ=4, О(1)Р=два корня из семи. Составим систему из двух уравнений: теорема Пифагора для треугольников РО(1)Т и КО(1)Т.Радиус находится в два действия. Всем удачи!!!
Спасибо!