Эта статья содержит задачи олимпиады «Фоксфорда». Задачи интересные, и заслуживают внимания.
Задача 1. (Олимпиада Фоксфорд). Точка 
удалена от вершин 
и 
прямоугольника 
на расстояния 8, 7 и 1 соответственно. Найдите расстояние от точки до вершины 
.
и 
и 
соответственно. Тогда можно записать![\[\begin{Bmatrix}{ c^2+k^2=8^2}\\{ c^2+l^2=7^2}\\{l^2+h^2=1^2}\\{k^2+h^2=x^2}\end{matrix}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-91e2b4f18c48b7d2a330a19d537584ed_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, 
, а неизвестное расстояние![\[x^2= k^2+h^2=64-c^2+1-l^2=65-(c^2+l^2)=65-49=16\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e734a9a9fefe5dfdcf22353ac5618521_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x=4\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-044feee59e16ea190ffee00a160ede55_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Задача 2. (Олимпиада Фоксфорд). Две равные непересекающиеся окружности пересекают две прямые. Каждая прямая пересекает окружности в четырех точках, причем три образовавшихся отрезка (с концами в соседних точках пересечения) на каждой из прямых равны. Длины отрезков на одной из прямых равны 4, а на другой – 
. Найдите радиус окружностей.
, а длины отрезков 
.
и 
равны по третьему признаку, следовательно, их высоты тоже равны, и тогда 
. Тогда 
– равнобокая трапеция, а 
– параллелограмм. Таким образом, 
.
и 
равны по третьему признаку, следовательно, треугольники 
и 
подобны по двум углам, а, так как у них равны соответственные стороны (являющиеся радиусами), то эти треугольники равны. Тогда![\[OP=O_1P=\frac{OO_1}{2}=2\sqrt{7}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cce925e8ab37ccb57e71e3f69d9e7466_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[VP=PL=\frac{3\cdot4}{2}=6\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-447f460ac4776de95217f2d287c1e6d0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
и запишем теорему косинусов для треугольников 
и 
. 
, и для треугольника ![\[O_1L^2=O_1P^2+PL^2-2\cdot PL\cdot O_1P \cdot \cos{\alpha}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a9199d0d8193834471cf8f1a9fe78944_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[R^2=(2\sqrt{7})^2+6^2-12\cdot2\sqrt{7}\cdot\cos{\alpha}~~~~~~~~(1)\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-630594e273def6aacc9bd30261b0b600_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[O_1K^2=O_1P^2+PK^2- 2\cdot PK\cdot O_1P \cdot\cos{\alpha}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d80cbc33310d5f8a17b0235d5a8da53_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[R^2=(2\sqrt{7})^2+2^2-4\cdot2\sqrt{7}\cdot\cos{\alpha}~~~~~~~(2)\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-816f437419c7636a079f0bc2bdfc7ea3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[6^2-12\cdot2\sqrt{7}\cdot\cos{\alpha}=2^2-4\cdot2\sqrt{7}\cdot\cos{\alpha}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2703e229c55735dd045807f69070bc4e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\cos{\alpha}=\frac{2}{\sqrt{7}}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7ecd49892381a13d8acbdd8e60f4ded3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[R^2=28+4-16=16\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b839d7971e64b393198168e83e30d6ad_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[R=4\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-146786028d4386945faeb0a0094b8368_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, а длины отрезков 
, то задача решений не имеет.Задача 3. (Олимпиада Фоксфорд) Угол 
в треугольнике 
равен 
. 
и 
– биссектрисы треугольника . Точки 
и 
выбраны на стороне 
так, что 
. Чему равен угол между прямыми 
и 
? В ответе запишите значение искомого угла в градусах.
делит его, за 
, а углы, на которые биссектриса 
, за 
. Тогда![\[170^{\circ}+2x+2y=180^{\circ}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5836d61ea17b52944fcb9fb97566efa3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x+y=5^{\circ}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0356d5b92fe2bc354e2ae8ccada5d76c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
и 
так, чтобы получить внешние углы треугольника 
и 
. Оба этих угла равны 
. Таким образом, так как 
и 
, то луч 
– биссектриса угла 
, а 
– биссектриса угла 
.
принадлежит биссектрисе 
. Следовательно, луч 
.
принадлежит биссектрисе 
угла 
. Следовательно, луч 
.
.![\[\angle 3=\angle ALC_1=\frac{1}{2}\angle ALB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-10^{\circ}-2x)=85^{\circ}-x\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e81fb46b34d62fe2b47668fdf495687c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\angle 4=\angle CKA_1=\frac{1}{2}\angle CKB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-10^{\circ}-2y)=85^{\circ}-y\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9394a07d8573a008ba6d4f675c93a025_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\angle LZK=180^{\circ}-\angle 3-\angle 4=180^{\circ}-85^{\circ}+x-85^{\circ}+y=10^{\circ}+x+y=15^{\circ}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6b5085c6b089b82b523c5ebbc94249e4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.Задача 4. (Всеросс, 10 класс). Две вершины, центр вписанной окружности и точка пересечения высот остроугольного треугольника лежат на одной окружности. Найдите угол при третьей вершине.
. Биссектрисы обозначены сплошными линиями, высоты – штриховыми.
равен углу 
как вписанный.![\[\angle ADC=180^{\circ}-x-y=\angle AEC\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a27f0ecc0c8cf4f4e01615ba25b452f6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
равен углу ![\[\angle MEN=180^{\circ}-x-y\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-422b7bf422da51292d67b2bf84ace065_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
два угла – прямые, то![\[\angle MEN+\angle MBN=180^{\circ}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4ebff6f1dafb8eb1bebdd3b26ef325d6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\angle MBN=180^{\circ}-\angle MEN=180^{\circ}-(180^{\circ}-x-y)=x+y\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c78e0afd4347517b6c89668d99ab72e4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
,![\[180^{\circ}=2x+2y+x+y=3(x+y)\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-921d9f3e1ad8470bafd5a5785dcaf6f0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x+y=60^{\circ}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-837946f2238391f2802ffe919f7493a7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Комментариев - 2
Задача № 2 из раздела “Задачи с фантазией” решается “в одно касание”. Воспользуемся данными обозначениями и доказанным выше, что отрезок, соединяющий центры окружностей, равен четыре корня из семи. В треугольникеКО(1)L опустим высоту О(1)Т, тогда КТ=2, РТ=4, О(1)Р=два корня из семи. Составим систему из двух уравнений: теорема Пифагора для треугольников РО(1)Т и КО(1)Т.Радиус находится в два действия. Всем удачи!!!
Спасибо!