[latexpage]
Эта статья содержит задачи на подобие и вычисление площадей. Очень хороши для прокачивания «математического видения», которое позволяет легко решать геометрические задачи. Прорешав эти задачи, вы будете «сечь» подобные треугольники с первого взгляда!
Задача 13. Из вершины B параллелограмма ABCD проведен луч, который пересекает сторону CD в точке T и диагональ AC в точке N. Площадь треугольника BCN равна 3, а площадь треугольника CTN равна 1. Найдите площадь параллелограмма.
Решение. Показать

К задаче 13
Так как треугольники $BCN$ и $CTN$ имеют одну и ту же высоту, то отношение их площадей равно отношению их оснований. Тогда примем: $BN=3x$, $NT=x$. Треугольники $ABN$ и $CNT$ подобны по двум углам, коэффициент подобия $k=\frac{BN}{NT}=\frac{3}{1}$.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, следовательно,
$$S_{ABN}=k^2\cdotS_{CNT}=9\cdot 1=9$$
Сумма площадей треугольников $ABN$ и $BNC$ – не что иное, как половина площади параллелограмма:
$$S=2(S_{ABN}+ S_{BNC})=2(9+3)=24$$
Ответ: 24.
Задача
14. Из вершины B параллелограмма ABCD проведен луч, который пересекает сторону CD в точке T и диагональ AC в точке N. Площадь треугольника BCN равна 6, а площадь треугольника CTN равна 1. Найдите площадь параллелограмма.
Показать
Так как задача полностью аналогична предыдущей, приведу лишь ответ: 84
Задача
15. Из вершины B параллелограмма ABCD проведен луч, который пересекает сторону CD в точке T и диагональ AC в точке N. Площадь треугольника BCN равна 7, а площадь треугольника CTN равна 2. Найдите площадь параллелограмма.
Решение.
Показать
Так как задача полностью аналогична предыдущей, приведу лишь ответ: 63
Задача 16. Точка M расположена на стороне BC параллелограмма ABCD, причём BM : MC = 3 : 2. Отрезки AM и BD пересекаются в точке K. Известно, что площадь параллелограмма равна 1. Найдите площадь четырёхугольника CMKD.
Решение. Показать

К задаче 16
Обозначим $BM=3x$, $MC=2x$. Тогда $BC=AD=5x$. Треугольники $BMK$ и $AKD$ подобны с коэффициентом $k=\frac{AD}{BM}=\frac{5}{3}$. Тогда $\frac{BK}{KD}=\frac{3y}{5y}$.
Разобьем четырехугольник $BMKD$ на два треугольника: $MCD$ и $MKD$. Определим площадь $MCD$. Площадь треугольника $BCD$ равна половине площади параллелограмма, то есть 0,5. У треугольников $BMD$ и $MCD$ равные высоты, посему их площади относятся как основания, следовательно, площадь $S_{BMD}=0,3$, а $S_{MCD}=0,2$. Аналогично, треугольники $BMK$ и $KMD$ имеют одну высоту, поэтому их площади относятся так же, как их основания. Следовательно,
$$\frac{ S_{BKM}}{ S_{KMD}}=\frac{3}{5}$$
Тогда $S_{BKM}=\frac{3}{8} S_{BMD}=\frac{9}{80}$, $S_{KMD}=\frac{5}{8} S_{BMD}=\frac{3}{16}$.
Следовательно,
$$S_{BMKD}=S_{ MCD}+S_{ MKD}=\frac{3}{16}+0,2=\frac{31}{80}$$
Ответ: $ S_{BMKD}=\frac{31}{80}$.
Задача
17. Точка M расположена на стороне AB параллелограмма ABCD, причём BM : MA = 1 : 2. Отрезки DM и AC
пересекаются в точке P. Известно, что площадь параллелограмма ABCD равна 1. Найдите площадь четырёхугольника
BCPM.
Решение.
Показать

К задаче 17
Задача похожа на предыдущую, поэтому приведу рисунок и ответ: $S_{BCPM}=\frac{11}{30}$.
Задача
18. Пусть M, N, K и L — середины сторон CD, DA, AB и BC квадрата ABCD, площадь которого равна S. Найдите площадь четырёхугольника, образованного прямыми AM, BN, CK и DL.
Решение.
Показать

К задаче 18
Обозначим искомую площадь буквой $k$. Также введем обозначения равных площадей $x$ и $y$. Рассмотрим треугольник $ABT$. Треугольники $KBG$ и $ABT$ подобны с коэффициентом 2 (по двум углам). Тогда площадь треугольника $KBG$, обозначенная $x$, в 4 раза меньше площади треугольника $ABT$. То есть $y=3x$. Следовательно, площадь треугольника $ABN$, равная четверти площади всего квадрата, равна $5x$. Следовательно, площадь квадрата – $20x$. Треугольники $ABN$ и $LCD$ по сумме площадей равны половине квадрата. Также площадь четырехугольника $BLDN$ также равна половине площади квадрата. Тогда искомая площадь равна
$$S_{BLDN}-6x=10x-6x=4x$$
Это составляет $\frac{1}{5}S$.
Ответ: $\frac{1}{5}S$.
Задача 19. Через середину M стороны $BC$ параллелограмма $ABCD$, площадь которого равна 1, и вершину $A$ проведена прямая, пересекающая диагональ $BD$ в точке $O$. Найдите площадь четырехугольника $OMCD$.
Решение. Показать

К задаче 19
Задача копирует задачу 16, поэтому привожу рисунок и ответ: $S=\frac{5}{12}$.
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...