Эта статья содержит задачи на подобие и вычисление площадей. Очень хороши для прокачивания «математического видения», которое позволяет легко решать геометрические задачи. Прорешав эти задачи, вы будете «сечь» подобные треугольники с первого взгляда!
Задача 13. Из вершины B параллелограмма ABCD проведен луч, который пересекает сторону CD в точке T и диагональ AC в точке N. Площадь треугольника BCN равна 3, а площадь треугольника CTN равна 1. Найдите площадь параллелограмма.
Решение. Показать
и 
имеют одну и ту же высоту, то отношение их площадей равно отношению их оснований. Тогда примем: 
, 
. Треугольники 
и 
подобны по двум углам, коэффициент подобия 
.![\[S_{ABN}=k^2\cdotS_{CNT}=9\cdot 1=9\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90f318187e0d298cd3e0017b05936cb4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
– не что иное, как половина площади параллелограмма:![\[S=2(S_{ABN}+ S_{BNC})=2(9+3)=24\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a860deef486f79dbf8e5385788a0c4a1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Задача 14. Из вершины B параллелограмма ABCD проведен луч, который пересекает сторону CD в точке T и диагональ AC в точке N. Площадь треугольника BCN равна 6, а площадь треугольника CTN равна 1. Найдите площадь параллелограмма.
Показать
Задача 15. Из вершины B параллелограмма ABCD проведен луч, который пересекает сторону CD в точке T и диагональ AC в точке N. Площадь треугольника BCN равна 7, а площадь треугольника CTN равна 2. Найдите площадь параллелограмма.
Решение. Показать
Задача 16. Точка M расположена на стороне BC параллелограмма ABCD, причём BM : MC = 3 : 2. Отрезки AM и BD пересекаются в точке K. Известно, что площадь параллелограмма равна 1. Найдите площадь четырёхугольника CMKD.
Решение. Показать
, 
. Тогда 
. Треугольники 
и 
подобны с коэффициентом 
. Тогда 
.
на два треугольника: 
и 
. Определим площадь 
равна половине площади параллелограмма, то есть 0,5. У треугольников 
и 
, а 
. Аналогично, треугольники 
имеют одну высоту, поэтому их площади относятся так же, как их основания. Следовательно,![\[\frac{ S_{BKM}}{ S_{KMD}}=\frac{3}{5}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eb1b3f780b89efb5ba9972f6fdeea1f1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, 
.![\[S_{BMKD}=S_{ MCD}+S_{ MKD}=\frac{3}{16}+0,2=\frac{31}{80}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d7c02ea857bb3bd656cb4641857ce289_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.Задача 17. Точка M расположена на стороне AB параллелограмма ABCD, причём BM : MA = 1 : 2. Отрезки DM и AC
пересекаются в точке P. Известно, что площадь параллелограмма ABCD равна 1. Найдите площадь четырёхугольника
BCPM.
Решение. Показать
.Задача 18. Пусть M, N, K и L — середины сторон CD, DA, AB и BC квадрата ABCD, площадь которого равна S. Найдите площадь четырёхугольника, образованного прямыми AM, BN, CK и DL.
Решение. Показать
. Также введем обозначения равных площадей 
и 
. Рассмотрим треугольник 
. Треугольники 
и 
. Следовательно, площадь треугольника 
. Следовательно, площадь квадрата – 
. Треугольники 
по сумме площадей равны половине квадрата. Также площадь четырехугольника 
также равна половине площади квадрата. Тогда искомая площадь равна![\[S_{BLDN}-6x=10x-6x=4x\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-76c04b27309206288a63718d8700840a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.Задача 19. Через середину M стороны 
параллелограмма 
, площадь которого равна 1, и вершину 
проведена прямая, пересекающая диагональ 
в точке 
. Найдите площадь четырехугольника 
.
Решение. Показать
.
Бывает и так, что доступа к работам СтатГрад нет. В этом случае можно потерпеть 2-3...
А ученики в 11-м классе уже должны быть заинтересованы в том, чтобы решить самим,...
К комментарию Григория. А как быть тем у кого нет доступа к работам...
Григорий, хорошо, я учту,...
Уважаемая Анна Валерьевна. Ценю Ваш труд в оказании помощи учащимся, Ваши...