Задачи с фантазией-11

К задаче 1

Рассмотрим треугольники и . Они подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен

Тогда

И, если , то

Тогда, так как , то .

Высоты треугольников и также относятся как 2:1, поэтому высота треугольника равна , а высота треугольника равна , где – высота параллелограмма, проведенная к основанию . Тогда площадь параллелограмма равна , площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, или , площадь треугольника и равна . Тогда площадь четырехугольника равна:

Откуда

Ответ: 24.

К задаче 2

Треугольники и подобны по двум углам, причем коэффициент подобия равен

Поэтому

И, следовательно,

То есть точка совпадает с точкой , и четырехугольник ABGE вырождается в треугольник .

Высоты треугольников и также относятся как 3:1, поэтому высота треугольника равна , а высота треугольника равна , где – высота параллелограмма, проведенная к основанию . Тогда площадь параллелограмма равна , площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, или , площадь треугольника и равна . Тогда площадь треугольника равна:

Так как , то , тогда искомая площадь равна

Ответ: 3.

К задаче 3

Пусть – высота параллелограмма, проведенная к основанию , а – высота параллелограмма, проведенная к основанию .Тогда площадь параллелограмма, с одной стороны, можно записать как , а с другой как .

Тогда площадь треугольника равна

Высота треугольника относится к высоте параллелограмма как , то есть его площадь равна

Следовательно,

Ответ: 1:6.

К задаче 4

Пусть – высота параллелограмма, проведенная к основанию .Тогда площадь параллелограмма можно записать как .

Тогда

Высота треугольника равна (так как точка – середина , треугольники и равны, следовательно, , а – высота параллелограмма, тогда ), поэтому

Тогда отношение площадей равно

Ответ: 1:5.

К задаче 5

Продлим до пересечения прямые и . Пусть точка – место их пересечения. Тогда треугольник подобен треугольнику с коэффициентом подобия .

Следовательно, если длину обозначить как , то . Тогда по условию задачи , а . Длина отрезка . Треугольники и подобны с коэффициентом подобия

И искомое отношение

Ответ: 4:5.

К задаче 6

Продлим прямые и до пересечения в точке . Тогда треугольник подобен треугольнику с коэффициентом подобия 2:

Тогда, если , то , а .

Треугольники и подобны, коэффициент подобия

Искомое отношение равно

Ответ: 4:5.