Задачи с фантазией-11

К задаче 1

Рассмотрим треугольники $AFE$ и $GCE$. Они подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен

$$k=\frac{CE}{AE}=\frac{2x}{x}=2$$

Тогда

$$\frac{GC}{AF}=2$$

И, если $AF=y$, то

$$ GC=2y$$

Тогда, так как $AD=BC=4y$, то $BG=GC=2y$.

Высоты треугольников $AFE$ и $GCE$ также относятся как 2:1, поэтому высота треугольника $GCE$ равна $\frac{2}{3}h$, а высота треугольника $AFE$ равна $\frac{2}{3}h$, где $h$ – высота параллелограмма, проведенная к основанию $AD$. Тогда площадь параллелограмма равна $S=AD\cdot h=4hy$, площадь треугольника $ABC$ равна половине площади параллелограмма, или $S_{ABC}=2hy$, площадь треугольника и $GCE$ равна $S_{GCE}=\frac{1}{2}\cdot 2y\cdot \frac{2}{3}h=\frac{2}{3}hy $. Тогда площадь четырехугольника $ABGE$ равна:

$$S_{ABGE}= S_{ABC}- S_{GCE}=2hy-\frac{2}{3}hy=\frac{4}{3}hy=8$$

Откуда

$$S=4hy=24$$

Ответ: 24.

К задаче 2

Треугольники $GCE$ и $AFE$ подобны по двум углам, причем коэффициент подобия равен

$$k=\frac{CE}{AE}=3$$

Поэтому

$$\frac{GC}{AF}=3$$

И, следовательно,

$$GC=3y=AD=BC$$

То есть точка $G$ совпадает с точкой $B$, и четырехугольник ABGE вырождается в треугольник $ABE$.

Высоты треугольников $AFE$ и $BCE$ также относятся как 3:1, поэтому высота треугольника $BCE$ равна $\frac{3}{4}h$, а высота треугольника $AFE$ равна $\frac{1}{4}h$, где $h$ – высота параллелограмма, проведенная к основанию $AD$. Тогда площадь параллелограмма равна $S=AD\cdot h=3hy$, площадь треугольника $ABC$ равна половине площади параллелограмма, или $S_{ABC}=1,5hy$, площадь треугольника и $BCE$ равна $S_{BCE}=\frac{1}{2}\cdot 3y\cdot \frac{3}{4}h=\frac{9}{8}hy $. Тогда площадь треугольника $ABE$ равна:

$$S_{ABE}= S_{ABC}- S_{BCE}=1,5hy-\frac{9}{8}hy=\frac{3}{8}hy$$

Так как $S=AD\cdot h=3hy=24$, то $hy=8$, тогда искомая площадь равна

$$S_{ABE}= \frac{3}{8}\cdot8=3$$

Ответ: 3.

К задаче 3

Пусть $h_1$ – высота параллелограмма, проведенная к основанию $BC$, а $h_2$ – высота параллелограмма, проведенная к основанию $AB$.Тогда площадь параллелограмма, с одной стороны, можно записать как $S=AD\cdot h_1=4yh_1$, а с другой как $S=ВС\cdot h_2=3xh_2$.

Тогда площадь треугольника $BML$ равна

$$S_{BML}=\frac{1}{2}\cdot 2y\cdot h_1=\frac{1}{4}S$$

Высота треугольника $KBL$ относится к высоте параллелограмма как $1:4$, то есть его площадь равна

$$S_{KBL}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot \frac{h_2}{4}=\frac{1}{24}S$$

Следовательно,

$$\frac{ S_{KBL}}{ S_{BML}}=\frac{\frac{1}{24}S }{\frac{1}{4}S }=\frac{1}{6}$$

Ответ: 1:6.

К задаче 4

Пусть $h_1$ – высота параллелограмма, проведенная к основанию $BC$.Тогда площадь параллелограмма можно записать как $S=AD\cdot h_1=3xh_1$.

Тогда

$$S_{BCDK}=S-S_{AKB}=3xh_1-\frac{1}{2}x\cdot h_1=2,5 x\cdot h_1=\frac{5}{6}S$$

Высота треугольника $DKM$ равна $\frac{1}{2}h_1$ (так как точка $M$ – середина $CD$, треугольники $NCM$ и $DMS$ равны, следовательно, $NM=MS$, а $NS$ – высота параллелограмма, тогда $MS=\frac{1}{2}h_1$), поэтому

$$S_{DKM}=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot \frac{1}{2}h_1=0,5 x\cdot h_1=\frac{1}{6}S$$

Тогда отношение площадей равно

$$\frac{ S_{DKM}}{ S_{BCDK}}=\frac{1}{5}$$

Ответ: 1:5.

К задаче 5

Продлим до пересечения прямые $CB$ и $DE$. Пусть точка $O$ – место их пересечения. Тогда треугольник $OBE$ подобен треугольнику $AED$ с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

$$k=\frac{BE}{AE}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$$

Следовательно, если длину $BO$ обозначить как $2y$, то $AD=4y$. Тогда по условию задачи $BF=3y$, а $FC=y$. Длина отрезка $OF=5y$. Треугольники $OFM$ и $AMD$ подобны с коэффициентом подобия

$$k_1=\frac{AD}{OF}=\frac{4y}{5y}=\frac{4}{5}$$

И искомое отношение

$$\frac{AM}{MF}=k_1=\frac{4}{5}$$

Ответ: 4:5.

К задаче 6

Продлим прямые $AP$ и $DC$ до пересечения в точке $K$. Тогда треугольник $ABM$ подобен треугольнику $MKQ$ с коэффициентом подобия 2:

$$k=\frac{MQ}{BM}=2$$

Тогда, если $AM=3x$, то $MK=6x$, а $PK=5x$.

Треугольники $ABP$ и $PKC$ подобны, коэффициент подобия

$$k_1=\frac{AP}{PK}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$$

Искомое отношение равно

$$\frac{BP}{PC}=\frac{4}{5}$$

Ответ: 4:5.