Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая оптика

Задачи с двумя линзами

Предлагаю вашему вниманию несколько задач, в которых обязательно присутствуют две линзы. Линзы могут быть – обе – собирающими, и собирающей в комбинации с рассеивающей.

 

Задача 1. Две собирающие линзы с фокусными расстояниями F_1 = 10 см и F_2 = 15 см расположены вдоль общей главной оптической оси на расстоянии l = 30 см друг от друга. Где следует поместить точечный источник света, чтобы идущие от него лучи по прохождении обеих линз образовали пучок лучей, параллельных главной оптической оси?

Решение.

К задаче 1

Чтобы лучи после системы линз шли параллельным потоком, необходимо, чтобы после первой линзы лучи прошли бы через фокус второй. То есть изображение, даваемое первой линзой, должно попасть в фокус второй (на расстоянии 20 см от первой). Тогда запишем формулу линзы для первой:

    \[\frac{1}{F_1}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{l-F_2}\]

    \[\frac{1}{0,1}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{0,15}\]

    \[\frac{1}{d_1}=\frac{1}{0,1}-\frac{1}{0,15}=\frac{0,15-0,1}{0,015}\]

    \[d_1=\frac{0,015}{0,05}=0,3\]

Понятно, что первой может стоять линза с фокусным расстоянием 15 см. Тогда расчет немного изменится:

    \[\frac{1}{F_1}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{l-F_2}\]

    \[\frac{1}{0,15}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{0,2}\]

    \[\frac{1}{d_1}=\frac{1}{0,15}-\frac{1}{0,2}=\frac{0,2-0,15}{0,03}\]

    \[d_1=\frac{0,03}{0,05}=0,6\]

Ответ: 30 см или 60 см

Задача 2. На собирающую линзу с фокусным расстоянием F_1 = 40 см падает параллельный пучок лучей. Где следует поместить рассеивающую линзу с фокусным расстоянием F_2 = 15 см, чтобы пучок лучей после прохождения двух линз остался параллельным?

К задаче 2

Решение. Ход световых лучей обратим. Если бы лучи падали на рассеивающую линзу слева параллельным потоком, то они далее рассеивались и шли бы за линзой расходящимся потоком. То есть, чтобы обеспечить параллельный ход лучей за линзой, нужно, чтобы фокус рассеивающей линзы совпадал с фокусным расстоянием собирающей. Тогда падающий на рассеивающую линзу сходящийся поток лучей преобразуется ею в параллельный.

    \[l+F_2=F_1\]

    \[l=25\]

Ответ 25 см.

 

Задача 3. Система состоит из двух линз с одинаковыми по модулю фокусными расстояниями. Одна из линз собирающая, другая рассеивающая. Линзы расположены на одной оси на некотором расстоянии друг от друга. Известно, что если поменять линзы местами, то действительное изображение Луны, даваемое этой системой, сместится на l = 20 см. Найдите фокусное расстояние каждой из линз.

Решение. Пусть первой стоит рассеивающая линза, а затем собирающая.  Сначала ход лучей был таким:

Рисунок 1 к задаче 3

Для собирающей линзы тогда

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{F+a}+\frac{1}{f_1}\]

Откуда

    \[\frac{1}{f_1}=\frac{1}{F}-\frac{1}{F+a}\]

    \[\frac{1}{f_1}=\frac{F+a-F}{F(F+a)}=\frac{a}{ F(F+a)}\]

    \[f_1=\frac{ F(F+a)}{a}\]

Теперь поменяем линзы местами:

Рисунок 2 к задаче 3

Запишем уравнение для рассеивающей линзы.

    \[-\frac{1}{F}=\frac{1}{d_2}-\frac{1}{f_2}\]

    \[d_2=a-F\]

    \[\frac{1}{f_2}=\frac{1}{a-F}+\frac{1}{F}\]

    \[\frac{1}{f_2}=\frac{F+a-F}{(a-F)F }=\frac{a}{(a-F)F }\]

    \[f_2=\frac{ F(a- F)}{a}\]

Как видно из обеих картинок, изображение переместилось на расстояние f_1+f_2=l:

    \[l=\frac{ F(F+a)}{a}+\frac{ F(a- F)}{a}=\frac{2Fa}{a}=2F\]

Откуда

    \[F=\frac{l}{2}=0,1\]

Ответ 10 см

Задача 4. Собирающая линза дает на экране изображение S' светящейся точки S, лежащей на главной оптической оси. Между линзой и экраном на расстоянии d = 20 см от экрана поместили рассеивающую линзу. Отодвигая экран от рассеивающей линзы, получили новое изображение S'' светящейся точки S. При этом расстояние нового положения экрана от рассеивающей линзы равно f = 60 см.

Определите фокусное расстояние F рассеивающей линзы и ее оптическую силу в диоптриях.

Решение.

К задаче 4

Запишем уравнение линзы (рассеивающей)

    \[-\frac{1}{F_2}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\]

    \[-\frac{1}{F_2}=\frac{f-d}{df}\]

    \[F_2=\frac{df}{f-d}=\frac{0,6\cdot 0,2}{0,4}=0,3\]

Здесь снова использована обратимость световых лучей (показана с помощью зеленого луча).

    \[D=\frac{1}{F_2}=-3,3\]

Ответ: фокусное расстояние 30 см, оптическая сила -3,3 дптр.

Задача 5. Параллельный пучок света падает перпендикулярно на собирающую линзу, оптическая сила которой D_1 = 2,5 дптр. На расстоянии 20 см от нее находится рассеивающая линза с оптической силой D_2 = -5 дптр. Диаметр линз равен 5 см. На расстоянии 30 см от рассеивающей линзы расположен экран Э. Каков диаметр светлого пятна, создаваемого линзами, на экране?

Решение. Определим фокусные расстояния линз.

    \[F_1=\frac{1}{D_1}=\frac{1}{2,5}=0,4\]

    \[F_2=\frac{1}{D_2}=-\frac{1}{5}=-0,2\]

Значит, задние фокусы обеих линз совпадают! А это означает, что, как и во второй задаче, падающий на рассеивающую линзу сходящийся поток лучей преобразуется ею в параллельный.

К задаче 5

Если бы рассеивающей линзы не было, то ширина светового пучка в месте ее установки была бы вдвое уже диаметра линзы – из подобия треугольников. Поэтому диаметр светлого пятна будет равен 2,5 см.

Ответ: 2,5 см.

Задача 6. Две собирающие линзы с оптическими силами D_1 = 5 дптр и D_2 = 6 дптр расположены на расстоянии l = 60 см друг от друга. Найдите, используя построение в линзах, где находится изображение предмета, расположенного на расстоянии d = 40 см от первой линзы, и поперечное увеличение системы.

Решение. Фокусное расстояние первой линзы равно 20 см.

    \[F_1=\frac{1}{D_1}=0,2\]

Поэтому предмет расположен в двойном фокусе и его изображение получится тоже в двойном фокусе, то есть в 20 см от второй линзы. Составим уравнение линзы для второй:

    \[\frac{1}{F_2}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}\]

    \[\frac{1}{f_2}=\frac{1}{F_2}-\frac{1}{d_2}=6-\frac{1}{0,2}=1\]

    \[f_2=1\]

Изображение получится в метре от второй линзы. Так как первая линза не увеличивает, то увеличение системы равно увеличению второй линзы. А это

    \[\Gamma=\frac{f_2}{d_2}=5\]

Ответ: изображение получится в 1 м от второй линзы; увеличение системы равно  5.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *