Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Задачи о двух состояниях газа

Сложные и средней сложности задачи предлагаю вам в этой статье. Все они объединены одной идеей: чтобы их решить, надо обязательно зафиксировать с помощью уравнений состояние системы до и после изменений.

Задача 1. Две открытые с обоих концов трубы диаметрами d_1 и d_2, относящихся как 1:3, состыкованы между собой. В них вставлены соединенные стержнем поршни, которые при температуре T_0=300 К находятся на одинаковом расстоянии от стыка труб. На сколько градусов надо понизить температуру воздуха между поршнями, чтобы больший сместился до упора? Трением пренебречь.

К задаче 1

Проанализируем, что произошло в результате охлаждения газа. Условия снаружи не изменились, значит, давление не менялось. То есть при охлаждении газ сжался и его объем уменьшился. Подумаем, каков был объем воздуха между поршнями до охлаждения: обозначим расстояния от стыка труб до каждого из поршней h.

Тогда

    \[V_1=S_1h+S_2h\]

Так как d_1:d_2=1:3, то S_1:S_2=1:9. То есть S_2=9S_1, и объем

    \[V_1= S_1h+9S_1h=10S_1h\]

Теперь запишем объем после сжатия:

    \[V_2=2S_1h\]

Таким образом, объем изменился в пять раз:

    \[\frac{V_1}{V_2}=\frac{5}{1}\]

Запишем закон Гей-Люссака, который позволит определить температуру:

    \[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\]

    \[T_2=\frac{V_2 T_1}{V_1}=\frac{300}{5}=60\]

То есть понизить температуру нужно на 240 К – это и будет ответ.

Ответ: на 240 К.

 

Задача 2. Цилиндрический сосуд высотой h=1 м до половины заполнен ртутью и герметично закрыт крышкой с сифонной трубкой, заполненной ртутью. Трубка имеет колена равной длины и почти достигает дна сосуда. Насколько понизится уровень ртути за время истечения? Начальное давление воздуха в сосуде совпадает с атмосферным:  H=750 мм. рт. ст.

К задаче 2

Здесь мы имеем дело с законом Бойля-Мариотта.

    \[p_1V_1=p_2V_2\]

Речь пойдет об изменении давления и объема воздуха в сосуде над ртутью. Сначала давление воздуха было равно атмосферному (будем выражать давление в мм.рт.ст.) p_1=H, а объем был равен V_1=\frac{h}{2}S.

Потом часть ртути вытекла, и уровень ее понизился на, предположим, \Delta x. Следовательно, новый объем воздуха стал больше:

    \[V_2=\left(\frac{h}{2}+\Delta x \right)S\]

Определим новое давление воздуха. В трубке ртуть по-прежнему стоит на уровне H, только теперь это давление складывается из давления воздуха и уменьшившегося давления уровня ртути в сосуде:

    \[H=p_v+\frac{h}{2}-\Delta x\]

Откуда новое давление воздуха равно

    \[p_v= H-\frac{h}{2}+\Delta x\]

Теперь все эти выражения подставляем в закон Бойля-Мариотта:

    \[H\cdot \frac{h}{2}S =\left(\frac{h}{2}+\Delta x \right)S \left(H-\frac{h}{2}+\Delta x \right)\]

После раскрытия скобок получим уравнение:

    \[\Delta x^2-\frac{h^2}{4}+\Delta x H=0\]

Откуда

    \[\Delta x=\frac{-4H+4\sqrt{H^2+h^2}}{8}=-\frac{H}{2}+\frac{\sqrt{ H^2+h^2}}{2}=-375+\frac{\sqrt{ 750^2+1000^2}}{2}=250\]

Ответ: 250 мм. рт. ст.

Задача 3. Заполненный газом под давлением p=0,1 атм. герметичный цилиндрический сосуд разделен пополам тонким поршнем массой 5 кг. Сосуд положили горизонтально на тележку, которая начала разгоняться с ускорением a=1 м/с^2. На какое максимальное расстояние сместился при этом поршень? Длина сосуда 80 см, площадь поперечного сечения 10 см^2.

Запишем, как и что изменилось в сосуде в правой его части  и в левой.

Справа:

    \[p_1\frac{V}{2}=p_2'V_2'\]

    \[V_2'=\frac{V}{2}+\Delta x S\]

    \[p_2'=\frac{ p_1\frac{V}{2}}{ \frac{V}{2}+\Delta x S }\]

Слева:

    \[p_1\frac{V}{2}=p_1'V_1'\]

    \[V_1'=\frac{V}{2}-\Delta x S\]

    \[p_1'=\frac{ p_1\frac{V}{2}}{ \frac{V}{2}-\Delta x S }\]

Запишем уравнение по второму закону:

    \[ma=( p_1'- p_2')S=\frac{p_1VS}{2}\left(\frac{ 1}{ \frac{V}{2}-\Delta x S }-\frac{ 1}{ \frac{V}{2}+\Delta x S }\right)\]

    \[ma=( p_1'- p_2')S=\frac{p_1VS}{2}\left(\frac{2\Delta x S }{ \frac{V^2}{4}-(\Delta x S)^2 }\right)\]

«Вытащим» \Delta x:

    \[-(\Delta x S)^2m a+ma\frac{V^2}{4}= p_1VS^2\Delta x\]

    \[(\Delta x S)^2m a- p_1VS^2\Delta x -ma\frac{V^2}{4}= 0\]

Решим квадратное уравнение относительно \Delta x:

    \[\Delta x=\frac{- p_1VS^2+\sqrt{ p_1^2V^2S^4+m^2a^2V^2S^2 }}{2maS^2}\]

    \[\Delta x=\frac{l}{2ma}\sqrt{ p_1^2S^2+ m^2a^2}-\frac{p_1V}{2ma}=\frac{0,8}{2\cdot5\cdot1}\sqrt{ 10^8\cdot100\cdot10^{-8}+ 25}-\frac{10^4\cdot0,8\cdot10\cdot10^{-4}}{2\cdot5}=0,094\]

Ответ: 9,4 см.

Задача 4. В горизонтальном цилиндрическом открытом сосуде на расстояниях x_1=10 см и x_2=30 см находятся два поршня. В части А находится водяной пар под давлением \frac{p_0}{2}, в части В – азот при таком же давлении и такой же температуре 100 ^{\circ}.  Правый поршень перемещают на 2 см. На какое расстояние переместится левый поршень? Атмосферное давление равно p_0, трением и изменением температуры пренебречь.

Подумаем, что будет происходить. При перемещении поршня (в любую сторону) в правой части изменится давление и возникнет дисбаланс давлений справа и слева от левого поршня. Поэтому он сместится, обязательно в ту же сторону, что и правый. Температура не меняется.

Закон Бойля-Мариотта:

    \[p_1V_1=p_2V_2\]

Предположим, что правый поршень переместили вправо.

Для правой части по закону Бойля-Мариотта:

    \[\frac{p_0}{2}x_2=p_x \cdot x_4\]

Для левой части по закону Бойля-Мариотта:

    \[\frac{p_0}{2}x_1=p_x \cdot x_3\]

Тогда

    \[p_x=\frac{\frac{p_0}{2}x_2}{ x_4}=\frac{\frac{p_0}{2}x_1}{ x_3}\]

Или

    \[\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_3}{x_4}\]

Таким образом, 2 см, на которые мы сдвинем правый поршень, тоже «поделятся» в таком же отношении, то есть увеличение объема каждой части сосуда будет пропорционально первоначальному объему.

Левый поршень подвинется на \frac{0,02}{3}=0,0067 м, или 6,7 мм.

Зачем были даны давления \frac{p_0}{2}, температура, то, что в правой части неон, а в левой – пар? Кстати, о паре. Я проверила, не стал ли он насыщенным в результате сдвига. А вы?

Ответ: 6,7 мм.

Комментариев - 5

  • Юлия
    |

    почему давление постоянно??объясните силами,пожалуйста.в конце же внутреннее давление действует не на весь “диаметр2”, а только на его часть

    Ответить
    • Анна
      |

      Давление постоянно потому, что равно внешнему, атмосферному. Ведь трубы открыты.

      Ответить
  • Константин
    |

    4 задача составлена не корректно! давление в трубе пол атмосферы, а снаружи аж целая, при этом силами трения пренебрегаем, умудряемся что то двигать, когда по законам физики той вселенной для которой составлялась задача пол атмосферы ничего сдвинуть не смогла, при отсутствие сил трения. Пнуть в рожу составителю и все на этом!

    Ответить
    • Константин
      |

      Такое чувство, что полоумный составитель задачи поделил трубу на 2 части и с ней же и атмосферу!

      Ответить
      • Анна
        |

        Константин, задачи разные. Бывает, перемудрят. Зачем же сразу пнуть?

        Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *