Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Емкости

Задачи на определение эквивалентных емкостей

Задачи, связанные с определением эквивалентной емкости системы конденсаторов, или системы пластин, да если еще между ними вводят диэлектрик – для некоторых являются сложными. Также в таких задачах нужно уметь определять потенциалы, или заряды емкостей при различных соединениях пластин, а также и напряжения на них.

Задача 1. Два плоских конденсатора с емкостями C_1 и C_2, обладающих зарядами q_1 и q_2, включают в цепь так, что положительно заряженная пластина одного соединяется с отрицательно заряженной пластиной другого. Определить заряд каждого конденсатора в этом случае.

Соединение разноименных пластин повлечет за собой нейтрализацию части заряда. Так как  заряды будут перераспределяться, то вместе с изменением заряда конденсаторов будет меняться и напряжение:  до соединения напряжения на обоих конденсаторах разные, а после – станут одинаковыми.

К задаче 1

Тогда можно записать, что по закону сохранения заряда

    \[q_1-q_2=q_{11}+q_{22}\]

Где q_{11} и q_{22} – новые заряды конденсаторов.

После соединения напряжения уравняются:

    \[U_1=U_2\]

    \[\frac{q_{11}}{C_1}=\frac{ q_{22}}{C_2}\]

Выразим один из зарядов:

    \[q_{11}=\frac{C_1}{C_2} q_{22}\]

Тогда:

    \[q_1-q_2=\frac{C_1}{C_2} q_{22}+q_{22}\]

    \[q_1-q_2= q_{22}\left(\frac{C_1}{C_2} +1 \right)\]

    \[q_{22}=\frac{ q_1-q_2}{\left(\frac{C_1}{C_2} +1 \right)}\]

    \[q_{22}=\frac{ C_2(q_1-q_2)}{C_1+C_2}\]

Тогда определим и заряд на первом конденсаторе:

    \[q_{11}=\frac{ C_1(q_1-q_2)}{C_1+C_2}\]

Ответ: q_{22}=\frac{ C_2(q_1-q_2)}{C_1+C_2}, q_{11}=\frac{ C_1(q_1-q_2)}{C_1+C_2}.

 

Задача 2. Рассчитать электроемкость системы, состоящей из трех металлических пластин толщиной d и площадью  S каждая и одной диэлектрической пластины толщиной d и площадью \frac{S}{2} и диэлектрической проницаемостью \varepsilon. Расположение пластин показано на рисунке.

Задача 2

Такое соединение пластин эквивалентно следующей схеме соединения конденсаторов:

К задаче 2 – эквивалентная схема замещения

Тогда емкость C_2 равна:

    \[C_2=\frac{S}{2} \frac{\varepsilon_0}{d}\]

Емкость конденсатора с диэлектриком:

    \[C_3=\frac{S}{2} \frac{\varepsilon_0 \varepsilon}{d}\]

Эти два конденсатора соединены параллельно, их общая емкость равна сумме емкостей:

    \[C_{23}=C_2+C_3=\frac{\varepsilon_0 S}{2d}\left(1+\varepsilon\right)\]

Емкость C_1 равна:

    \[C_1=\frac{S\varepsilon_0}{d}\]

Она соединена последовательно с объединением C_2C_3:

    \[C_{ekv}=\frac{C_1 C_{23}}{C_1+ C_{23}}=\frac{\frac{\varepsilon_0 S}{2d}\left(1+\varepsilon\right)\cdot\frac{S\varepsilon_0}{d}}{\frac{\varepsilon_0 S}{2d}\left(1+\varepsilon\right)+\frac{S\varepsilon_0}{d}}\]

    \[C_{ekv}=\frac{\varepsilon_0 S\left(1+\varepsilon\right)}{2d\left(2+\varepsilon\right)}\]

Ответ: C_{ekv}=\frac{\varepsilon_0 S\left(1+\varepsilon\right)}{2d\left(2+\varepsilon\right)}

 

Задача 3. Рассчитать электроемкость системы, состоящей из трех металлических пластин толщиной d и площадью  S каждая и двух диэлектрических пластин толщиной d и площадью \frac{S}{2}. Диэлектрическая проницаемость первой пластины \varepsilon_1, второй – \varepsilon_2. Расположение пластин показано на рисунке.

К задаче 3

Как в предыдущей задаче, такая система пластин может быть представлена следующим соединением конденсаторов:

К задаче 3 – схема замещения

Тогда последовательное соединение C_1 и C_2

    \[C_{12}=\frac{C^2}{2C}=\frac{C}{2}=\frac{\varepsilon_0 S }{2d}\]

Емкости конденсаторов с диэлектриком:

    \[C_3=\frac {\varepsilon_0\varepsilon_1 S }{2d}\]

    \[C_4=\frac {\varepsilon_0\varepsilon_2 S }{2d}\]

Так как они соединены параллельно, то их эквивалентная емкость – сумма их емкостей.

    \[C_{34}=C_3+C_4=\frac {\varepsilon_0 S }{2d}(\varepsilon_1 +\varepsilon_2)\]

Наконец, считаем последовательное соединение C_{12} и C_{34}:

    \[C_{ekv}=\frac{C_{12}C_{34}}{ C_{12}+C_{34}}\]

    \[C_{ekv}=\frac{\frac{\varepsilon_0 S }{2d}\frac {\varepsilon_0 S }{2d}(\varepsilon_1 +\varepsilon_2)}{\frac{\varepsilon_0 S }{2d}+\frac {\varepsilon_0 S }{2d}(\varepsilon_1 +\varepsilon_2)}\]

    \[C_{ekv}=\frac{\varepsilon_0 S }{2d}\frac{\varepsilon_1 +\varepsilon_2}{ 1+\varepsilon_1 +\varepsilon_2}\]

Ответ: C_{ekv}=\frac{\varepsilon_0 S }{2d}\frac{\varepsilon_1 +\varepsilon_2}{ 1+\varepsilon_1 +\varepsilon_2}

Задача 4. Плоский конденсатор находится во внешнем электрическом поле напряженностью E=10^3 В/м, перпендикулярном пластинам. Площадь пластины конденсатора S=10^{-2} м^2. Какие заряды окажутся на каждой из пластин, если конденсатор замкнуть проводником накоротко? Пластины конденсатора до замыкания не заряжены. Влиянием силы тяжести пренебречь.

Заряд конденсатора q=CU=\frac{\varepsilon_0 S }{d}U

 

Напряжение между двумя точками в однородном электрическом поле равно: U=Ed

Тогда заряд

    \[q=\frac{\varepsilon_0 S Ed}{d}=\varepsilon_0 S E=8,85\cdot10^{-12}\cdot10^{-2}\cdot10^3=0,9\cdot10^{-10}\]

Ответ: q=0,9\cdot10^{-10}

 

Задача 5. В схеме емкость батареи конденсаторов не изменится при замыкании ключа К. Определите емкость конденсатора C_x.

К задаче 5

До замыкания ключа имеем две ветви в параллель. В одной ветви (сверху) – последовательное соединение C и 2C, во второй (снизу) – последовательное соединение C_x и C.

Тогда для верхней ветви запишем:

    \[C_{verh}=\frac{2C\cdotC}{2C+C}=\frac{2C}{3}\]

Для нижней ветви:

    \[C_{niz}=\frac{C_x\cdotC}{C_x+C}\]

Так как ветви соединены параллельно, емкости сложатся:

    \[C_{ekv1}=C_{verh}+ C_{niz}=\frac{2C}{3}+\frac{C_x\cdotC}{C_x+C}\]

    \[C_{ekv1}=C _{verh}+ C_{niz}=\frac{2C(C_x+C)+3C_xC}{3(C_x+C)}\]

Теперь ключ замыкают, и оказывается, что емкости C_x и C соединены параллельно, и также параллельно  соединены и емкости C и 2C. Емкость левой части схемы:

    \[C_{lev}=C+C_x\]

Емкость правой части схемы:

    \[C_{prav}=2C+C=3C\]

Эквивалентная емкость после замыкания:

    \[C_{ekv2}=\frac{3C(C_x+C)}{4C+C_x}\]

В задаче сказано, что как до, так и после замыкания емкость всей системы одна и та же, тогда приравняем обе эквивалентные емкости:

    \[C_{ekv1}= C_{ekv2}\]

    \[\frac{2C(C_x+C)+3C_xC}{3(C_x+C)}= \frac{3C(C_x+C)}{4C+C_x}\]

Упрощаем:

    \[\frac{5C_x+2C)}{3(C_x+C)}= \frac{3(C_x+C)}{4C+C_x}\]

    \[9(C_x+C)^2=20CC_x+5c_x^2+8C^2+2CC_x\]

    \[9C_x^2+18CC_x+9C^2-8C^2-5C_x^2-22CC_x=0\]

Или получаем квадратное уравнение:

    \[4C_x^2-4CC_x+C^2=0\]

    \[D=16C^2-4\cdot4C^2=0\]

    \[C_x=\frac{C}{2}\]

Ответ: C_x=\frac{C}{2}

 

Задача 6. Три незаряженных конденсатора, емкости которых  C_1C_2 и C_3, соединены, как показано на рисунке, и подключены к точкам A, B и K, потенциалы которых \varphi_A, \varphi_B  и \varphi_K. Определите потенциал точки O.

К задаче 6

Заряд первой емкости равен:

    \[q_1=C_1(\varphi_A-\varphi_O)\]

Аналогично для двух других емкостей:

    \[q_2=C_2(\varphi_B-\varphi_O)\]

    \[q_1=C_3(\varphi_K-\varphi_O)\]

Заряд в точке O равен сумме зарядов всех конденсаторов  и равен 0:

    \[q_O=q_1+q_2+q_3=0\]

    \[C_1(\varphi_A-\varphi_O)+ C_2(\varphi_B-\varphi_O)+ C_3(\varphi_K-\varphi_O)=0\]

    \[\varphi_AC_1+\varphi_B C_2+\varphi_K C_3=\varphi_O(C_1+C_2+C_3)\]

Откуда потенциал точки O равен

    \[\varphi_O=\frac{\varphi_AC_1+\varphi_B C_2+\varphi_K C_3}{ C_1+C_2+C_3}\]

Ответ: \varphi_O=\frac{\varphi_AC_1+\varphi_B C_2+\varphi_K C_3}{ C_1+C_2+C_3}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *