Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (17)

Задачи на кредиты с неизвестными или неодинаковыми платежами

В этой статье задачи на кредиты с неизвестными или неодинаковыми платежами. В последней задаче неизвестен первый платеж, в первых двух платежи известны, но неодинаковы.

Задача 1. Кредит взят под r\% годовых. Схема выплаты кредита:

– сначала банк увеличивает долг на r\%,

– затем клиент переводит в банк определенную сумму.

Кредит был выплачен двумя платежами: x и y рублей.

Если кредит был равен 1000 руб. и был выплачен двумя платежами: 500 руб. и 1260 руб., то каков банковский процент r\%?

Составляем уравнение:

    \[(1000\cdot(1+r)-500)\cdot(1+r)-1260=0\]

    \[(1000-500+1000r)\cdot(1+r)-1260=0\]

    \[1000r^2+1500r-760=0\]

    \[10r^2+15r-7,6=0\]

    \[D=225+4\cdot7,6\cdot10=529\]

    \[r=\frac{-15\pm 23}{20}=\frac{8}{20}=\frac{40}{100}\]

Ответ: 40%.

Задача 2. Кредит взят под r\% годовых. Схема выплаты кредита:

– сначала банк увеличивает долг на r\%,

– затем клиент переводит в банк определенную сумму.

Кредит был выплачен тремя платежами: x, y и z рублей.

Если кредит был равен 1000 руб. и был выплачен тремя платежами: 300 руб. 400 руб. и 528 руб., то каков банковский процент r\%?

Составляем уравнение:

    \[((1000\cdot(1+r)-300)\cdot(1+r)-400) \cdot(1+r)-528=0\]

    \[1000\cdot(1+r)^3-300\cdot(1+r)^2-400\cdot(1+r)-528=0\]

Введем замену: 10(1+r)=a.

    \[a^3-3\cdot a^2-40 \cdot a-528=0\]

По теореме Безу, если уравнение имеет целочисленное решение, то оно находится среди делителей свободного члена. Число 528 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11. Понятно, что подстановка 1, 2, 3, 4, и даже 6 не дает решения. 8^3=512, что тоже меньше 528. Попробуем подставить 11 – и да, при этой подстановке получаем верное равенство. Поэтому

    \[10(1+r)=11\]

    \[r=0,1\]

Ответ: 10%.

Задача 3. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тыс. рублей на срок 21 месяц. Условия его возврата таковы:

– 1 числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– на 15 число каждого со 2 по 20-й месяц долг должен быть на 50 тыс. рублей меньше долга на 15 число предыдущего месяца;

– к 15 числу 21 месяца долг должен быть полностью погашен.

Сколько тысяч рублей составит долг на 15 число 20-го месяца, если банку всего будет выплачено 1344 тыс. рублей?

Решение:

Обращаю ваше внимание, что первый платеж неизвестен. Тогда составим таблицу:

МесяцДолгПроценты Платеж
1SSr/100Sr/100+x
2S-x(S-x)r/100(S-x)r/100+a
3S-x-a(S-x-a)r/100(S-x-a)r/100+a
4S-x-2a(S-x-2a)r/100(S-x-2a)r/100+a
............
19S-x-17a(S-x-17a)r/100(S-x-17a)r/100+a
20S-x-18a(S-x-18a)r/100(S-x-18a)r/100+a
21S-x-19a(S-x-19a)r/100(S-x-19a)r/100

Соберем все проценты (сложим) – их сумма нам известна и равна 244 тыс. руб. (1344-1100=244):

    \[\frac{r}{100}\cdot(21S-20x-\frac{a+19a}{2}\cdot19)=244\]

    \[\frac{r}{100}\cdot(21S-20x-190a)=244\]

    \[0,02(21\cdot1100-20x-190\cdot50)=244\]

    \[23100-20x-9500=12200\]

    \[20x=1400\]

    \[x=70\]

Тогда искомое – долг на 15 число 20 месяца:

    \[S-x-19a=1100-70-950=80\]

Ответ: 80 тыс.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *