Задачи на кредиты с нарушенной схемой – 2

[latexpage]

Решим несколько задач на кредиты. Все они – с нарушенной схемой, схема – дифференцированный платеж (иногда плавно переходящий в аннуитет). Поэтому таблицу к каждой задаче рекомендую составлять.

Задача 1. 15-го декабря планируется взят кредит в банке на 1200 тысяч рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы: 

—1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; 

—cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 

—15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; 

—15-го числа n–го месяца долг составит 400 тысяч рублей; 

—к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. 

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1288 тысяч рублей. 

Решение. Составляем таблицу.

«Собираем» все платежи: из десяти платежей по 80 тыс. и последнего – 400 тыс. наберется тело кредита. Плюс к нему надо добавить проценты.

$$1288=S+\frac{r}{100}\cdot(S+S-80+S-160+\ldots+S-800)$$

$$1288=1200+\frac{r}{100}\cdot(11S-\frac{80+800}{2}\cdot10)$$

$$88=\frac{r}{100}\cdot(11\cdot1200-4400)$$

$$88=\frac{r}{100}\cdot8800$$

$$r=1$$

Ответ: кредит взят под 1%.

Задача 2. 15-го февраля планируется взять кредит в банке на 17 месяцев.
Условия возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– на 15-е число каждого с 1-го по 16-й месяц долг должен уменьшаться на 50 000 рублей;
– на 17-й месяц долг должен быть погашен полностью;
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1 102 тысячи рублей?

Решение. Составим таблицу.

Собираем все выплаты. Из шестнадцати кусочков по 50 тыс. и последней, неизвестной, суммы $S-16\cdot50$ сложится сумма кредита, да еще к ней надо добавить проценты:

$$1102=S+0,01\cdot(S+S-50+S-100+S-150+\ldots+S-16\cdot50)$$

$$1102=S+0,01\cdot(17S-\frac{50+16\cdot50}{2}\cdot 16)$$

$$1102=S+0,17S-17\cdot50\cdot 8\cdot0,01=1,17S+68$$

$$1170=1,17S$$

$$S=1000$$

Ответ: брать в кредит планировалось 1 млн.

Задача 3. 15-го июля планируется взят кредит в банке на 2 505 000 рублей на 12 месяцев. Условия его возврата таковы: 

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; 

— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 200 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; 

— выплаты за 11-й и 12-й месяцы одинаковы; 

— к 15-му числу 12-го месяца кредит должен быть полностью погашен. 

Найдите общую сумму выплат по кредиту. 

Решение. Опять составляем таблицу.

Таблица содержит только сведения о платежах первых десяти месяцев – потом, в последние два, схема меняется с дифференцированного платежа на аннуитетный. К этому моменту мы остаемся должны банку 505 тыс. руб. Составляем уравнение на два последних платежа:

$$(505\cdot1,02-x)\cdot1,02-x=0$$

$$505\cdot1,02^2=2,02x$$

$$x=260,1$$

Итак, последние два платежа были по 255 тыс. Таким образом, мы заплатили всего: 10 раз по 200 тыс, проценты за первые 10 месяцев, и два раза по 255 тыс.

$$D=10\cdot200+0,02(10S-\frac{200+1800}{2}\cdot 9)+2\cdot255$$

$$D=2000+0,02(25050-9000)+520,2=2841,2$$

Ответ: было выплачено всего 2841,2 тыс. руб.

Задача 4. В июле планируется взят кредит в банке на 5 лет в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы: 

—каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; 

— c февраля по июнь необходимо выплатить часть долга; 

— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным $S$ тысяч рублей; 

— выплаты за 2020-й и 2021-й годы одинаковы и равны 360 тыс. рублей; 

— к июлю 2021 года кредит должен быть полностью погашен. 

Найдите общую сумму выплат по кредиту. 

Решение. Первые три года выплачивались только проценты ($3\cdot0,2S=0,6S$), поэтому сумма долга сохранялась. В последние два года платежи одинаковы – соблюдается схема аннуитетного платежа.

$$(S\cdot1,2-360)\cdot1,2-360=0$$

$$S\cdot1,44=720+72=792$$

$$S=550$$

Всего выплатили

$$D=0,6S+720=330+720=1050$$

Ответ: всего выплачено 1050 тыс. руб.