Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 11, ОГЭ 22 (ГИА С2)

Задачи на движение по кругу

Вашему вниманию представляются задачи на движение по кругу, в том числе задачи со стрелками часов, которые часто вызывают трудности.

Задача 1. Двигаясь по окружности в одном направлении, две точки встречаются каждые 12 минут. Так же известно, что первая точка обходит всю окружность на 10 секунд быстрее, чем вторая. Определить, сколько времени потребуется второй точке, чтобы обойти всю окружность.


 

Составим первое уравнение по первому предложению задачи: раз точки, двигаясь с разными скоростями, встречаются, следовательно, одна обгоняет другую ровно на 1 круг. Тогда

   

Здесь – скорость «догоняющей» точки, длина круга принята за 1, минуты переведены в секунды.

 

Время, за которое первая точка обходит 1 круг, равно , а время, за которое вторая точка обходит круг, равно . Между этими значениями разница в 10 с (по условию), откуда  получим второе уравнение: .

Можем выразить скорость из второго уравнения: , или

   

Подставим полученное значение в первое уравнение:

   

Решение квадратного уравнения, которое получится, приводить не буду, один из корней отрицательный, то есть не подходит по условию задачи, а положительный равен . Иными словами, перая точка двигается с такой скоростью, что обходит 1 круг за 80 секунд. Так как вторая обходит круг на 10 секунд дольше, то время ее движения равно 90 с.

Ответ: 90 с.

 

Задача 2. На окружности взята некоторая точка А. Из этой точки одновременно выходят два тела, которые движутся по данной окружности равномерно в противоположных направлениях. В момент их встречи оказалось, что первое тело прошло на 10 метров больше второго. Кроме того, первое тело пришло в точку А через 9 секунд, а второе – через 16 секунд после встречи. Определить длину окружности в метрах.


 

Да, представьте себе, иногда в задачах на движение объекты двигаются в разные стороны!

Пусть – скорость одной точки, движущейся по часовой стрелке, а – скорость второй.  Тогда до встречи первая точка пройдет расстояние , а вторая пройдет  расстояние .

Тела на круговой дистанции

После встречи первой точке до места старта нужно пройти такое расстояние, какое вторая прошла до встречи, и тратит первая точка на это время, равное 10 с, а второй наоборот, нужно пройти то расстояние, которое  прошла до встречи первая, и тратит она на это 16 с. Получим такие равенства:

   

   

Выразим время движения точек до встречи :

   

откуда имеем

   

   

   

По условию, первое тело прошло на 10 м больше второго, то есть

Заменяем в этом уравнении одну из неизвестных:

   

И находим : , откуда .

Полная длина круга равна:

   

Ответ: длина окружности 70 м.

Задача 3. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 8 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошел первый круг 3 минуты назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 9 км/час меньше скорости второго.


 

Обозначим скорости бегунов и . Тогда сразу можно записать их разность, которая составляет 9 км/час:

   

Теперь поразмыслим над первым условием задачи. Если спустя час стало известно, что второй бегун прошел круг, значит, он прошел его за 57 минут. Обозначим длину круга . Тогда скорость второго бегуна равна .  Первый же бегун преодолел расстояние  за 60 минут, значит, его скорость . Подставляем эти выражения в первое уравнение. Так как в задаче присутствует неудобное число минут – 57, то представим все скорости, в том числе разность скоростей, в км/мин. Получим:

   

   

   

   

Рассчитаем скорости обоих бегунов:   – это 11 км/час, – а это 20 км/час.

Задача 4. Часы со стрелками показывают 6 часов 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?


 

Такие задачи часто решаются очень-очень просто: если стрелки в n-ный раз встречаются в полдень или полночь, то есть в 12 часов. Только в этом случае стрелки не только совмещаются сами, но и встреча их происходит  строго на риске деления. Все остальные встречи стрелок (не в полночь) происходят между часовыми делениями, и точно сказать, где, навскидку не получится.

Итак, рассуждаем: на данный момент часовая стрелка находится между 6-часовой отметкой и 7-часовой – где-то посередине, так как из 60 минут данного часа прошло 35 – приблизительно половина. А минутная указывает ровно на 7-часовую отметку. То есть, встреча стрелок недавно состоялась, и в течение данного часа они уже не встретятся. (Вот этот момент – самый важный: понять, состоится встреча стрелок в течение этого часа или нет. Некоторые репетиторы даже советуют надеть на руку на экзамен механические часы.) Первая их встреча произойдет где-то между 7 и 8 часами, и пока нам неважно, где точно. Вторая встреча будет между 8-ми и 9-тичасовой отметками, третья – между 9-ти и 10-тичасовой, далее между 10 и 11 – четвертая и между 11 и 12 – пятая. Но встреча между 11 и 12 не может произойти «между» часовыми делениями, она произойдет ровно в 12 часов! Осталось вычесть из 12.00 часов 6.35, не забыв, что в часе не 100 минут, а 60: минут.

 

Задача 5. Часы со стрелками показывают 4 часа 45 минут. Через сколько минут минутная стрелка в седьмой раз поравняется с часовой?


 

Решение этой задачи может быть проведено совершенно аналогичным способом: в текущем часе стрелки уже не повстречаются. Они встретятся впервые лишь между 5-ю и 6-ю часами. Второй раз – между 6-ю и 7-ю, потом между 7-ю и 8-ю, и далее между 8 и 9, 9 и 10, 10 и 11, и, наконец, между 11 и 12, а именно, в 12 часов, потому что, как мы помним, стрелки совмещаются ровно в полночь (или полдень). Сколько же пройдет времени от 4.45 до 12.00? Пятнадцать минут до пяти часов и еще 7 часов, или минут.

Попробуем решить задачу иначе.

Скорость минутной стрелки 12 делений в час, а часовой – одно деление в час. Так как они в конце концов совместятся – и даже неважно, в который раз – значит, время их движения одинаково. Попробуем записать время движения каждой стрелки, применим для этого стандартную формулу для равномерного движения: . То есть .

Время движения часовой стрелки равно , время  минутной . Со скоростями мы разобрались, а теперь поймем, какой путь каждая проделает. Часовая пройдет неизвестное нам количество делений, пусть это будет делений. Минутная пройдет столько, сколько разделяет на данный момент стрелки – а это  семь целых делений и, за счет того, что прошло уже 45 минут от начала текущего часа, то есть часа –  еще деления. Затем минутная обгонит часовую еще 6 раз – а это полных шесть кругов, или делений, да еще делений, на которые уйдет часовая стрелка – всего . Тогда запишем уравнение:

   

   

   

Или , то есть

То есть до седьмой встречи часовая стрелка пройдет 7 целых и одну четверть часа – или 435 минут.

Все-таки второй способ немного сложнее первого, «жизненного», не находите?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *