Задачи молекулярно-кинетической теории ЗФТШ – 8

[latexpage]

Статья является продолжением статьи “Задачи молекулярно-кинетической теории ЗФТШ – 7”, нумерация задач в статьях сквозная.

Задача 6. В сосуде находится углекислый газ. При некоторой температуре 25% молекул углекислого газа диссоциировали на атомарный кислород и окись углерода. Во сколько раз давление в сосуде при этих условиях больше того давления, которое было бы при отсутствии диссоциации?

Решение. 75 процентов молекул не диссоциировали. Если б, например, было бы 100 молей газа – то не диссоциировали бы 75. А 25 – превратились бы за счет диссоциации в 50. И всего стало бы 125 молей. Что в 1,25 раза больше, чем было. И давление, значит, возрастет так же.

Ответ: в 1,25 раза.

Задача 7. Плотность газа, состоящего из смеси гелия и аргона, равна $\rho=2$ кг/м$^3$ при давлении $p=150$ кПа и температуре $t=27^{\circ}$ C. Определите парциальные давления гелия и аргона, а также число атомов гелия в 1 см$^3$.

Решение: плотность смеси:

$$\rho=\frac{ m_{He}+ m_{Ar}}{V}$$

По закону Дальтона:

$$p= p_{He}+ p_{Ar}=\frac{ \rho_{He}RT}{M_{He}}+\frac{ \rho_{Ar}RT}{M_{Ar}}$$

$$p= \frac{ m_{He}RT}{M_{He}V}+\frac{ m_{Ar}RT}{M_{Ar}V}$$

Так как

$$\rho V= m_{He}+ m_{Ar}$$

$$ m_{He}=\rho V- m_{Ar}$$

Подставим:

$$p= \frac{ (\rho V- m_{Ar})RT}{M_{He}V}+\frac{ m_{Ar}RT}{M_{Ar}V}$$

$$p=\frac{\rho RT}{ M_{He}}-\frac{ m_{Ar}RT }{ M_{He}}+\frac{ m_{Ar}RT}{M_{Ar}V}$$

$$ p-\frac{\rho RT}{ M_{He}}=\rho_{Ar}\left(\frac{ RT}{M_{Ar}}-\frac{ RT}{M_{He}}\right)$$

$$\rho_{Ar}=\frac{ p-\frac{\rho RT}{ M_{He}}}{RT\left(\frac{ 1}{M_{Ar}}-\frac{ 1}{M_{He}}\right)}= \frac{ 150000-\frac{2\cdot 8,31\cdot 300}{ 0,004}}{8,31\cdot 300\left(\frac{ 1}{0,04}-\frac{ 1}{0,004}\right)}=1,955$$

Тогда давление аргона

$$p_{Ar}=\frac{ \rho_{Ar}RT}{M_{Ar}}=\frac{1,955\cdot 8,31\cdot 300}{0,04}=121800$$

Давление гелия можно не считать, а определить по закону Дальтона: $ p_{He}=28,2$ кПа. Его плотность равна при таком давлении $0,045$ кг/м$^3$.

Концентрация:

$$n=\frac{N}{V}=\frac{\rho_{He} N_A}{M}=\frac{0,045\cdot 6\cdot 10^{23}}{0,004}=67,5\cdot 10^{23}$$

Ответ: давление аргона 121,8 кПа, гелия – 28б2 кПа, число молекул в 1 см$^3$ равно $67,5\cdot 10^{17}$.

Задача 8. В герметичном сосуде находится 1 моль неона и 2 моля водорода. При температуре $T_1=300$ К, когда весь водород находится в молекулярном состоянии, давление в сосуде $p_1=10^5$ Па. При нагревании содержимого сосуда до температуры  $T_2=3000$ К давление возросло до $p_2=1,5\cdot 10^6$ Па. Какая часть молекул водорода диссоциировала на атомы?

Решение. Так как температура возросла в 10 раз, то по закону Шарля давление тоже должно было возрасти в 10 раз. А оно выросло не в 10, а в 15. То есть в 10 раз – за счет температуры, и еще в 1,5 – за счет диссоциации. Значит, количество вещества возросло тоже в 1,5 раза. Было 3 моля – стало 4,5. Но неон не диссоциирует, а его в смеси – моль. Диссоциирует водород, которого было 2 моля – а стало 3,5. В 1,75 раза больше. Значит, диссоциировало 75%.

Ответ: 75%.

Задача 9. Легкомоторный самолет, двигаясь со скоростью $\upsilon=20$ м/с, несет рекламный баннер, площадь сопротивления которого $S=2$ м$^2$. Оцените, насколько увеличится сила тяги двигателя по сравнению с тягой при полете в обычном режиме.

Решение. Баннер за 1 с заметает 40 м$^3$ воздуха:

$$V=S\cdot \upsilon=2\cdot 20=40$$

Масса этого воздуха равна

$$m=\rho V=1,3\cdot 40=52$$

Импульс, передаваемый этой массой воздуха, налетающей на баннер со скоростью 20 м/с, равен

$$\Delta p=m\upsilon=52\cdot 20=1040$$

С другой стороны,

$$\Delta p=F\Delta t$$

И, так как время равно 1 с, то сила равна 1040 Н.

Ответ: 1040 Н.

Задача 10. В резервуаре объемом $V=1$ м$^3$ находится воздух при давлении $p=2$ атм. К резервуару подключен насос, который при каждом рабочем ходе захватывает $V_0=1$ л воздуха из атмосферы при нормальных условиях ($p_0=10^5$ Па, $T_0=273$ К) и нагнетает его в резервуар. Температура в резервуаре постоянна и равна $T=364$ К. Сколько ходов должен сделать поршень насоса, чтобы повысить давление воздуха в резервуаре в 5 раз?

Решение. Давление в резервуаре в конце равно 10 атм. Через уравнение Менделеева-Клапейрона определим количество вещества:

$$\nu_k=\frac{p_2V}{RT}=\frac{10^6\cdot 1}{8,31\cdot 364}=330,6$$

А в начале, до включения насоса, количество вещества было

$$\nu_0=\frac{p_1V}{RT}=\frac{2\cdot 10^5\cdot 1}{8,31\cdot 364}=66$$

То есть насосу предстоит закачать 264,5 моля. Посмотрим, сколько молей способен захватить насос:

$$\nu_{zahv}=\frac{p_0V_0}{RT_0}=\frac{10^5\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot 273}=0,044$$

Разделим количество вещества, которое надо закачать в резервуар, на количество вещества, которое может захватить насос – и получим число ходов:

$$N=\frac{\nu_k -\nu_0}{\nu_{zahv}}=\frac{264,5}{0,044}=6000$$

Ответ: 6000 ходов.