Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Уравнение Менделеева-Клапейрона

Задачи молекулярно-кинетической теории ЗФТШ – 8

Статья является продолжением статьи “Задачи молекулярно-кинетической теории ЗФТШ – 7”, нумерация задач в статьях сквозная.

Задача 6. В сосуде находится углекислый газ. При некоторой температуре 25% молекул углекислого газа диссоциировали на атомарный кислород и окись углерода. Во сколько раз давление в сосуде при этих условиях больше того давления, которое было бы при отсутствии диссоциации?

Решение. 75 процентов молекул не диссоциировали. Если б, например, было бы 100 молей газа – то не диссоциировали бы 75. А 25 – превратились бы за счет диссоциации в 50. И всего стало бы 125 молей. Что в 1,25 раза больше, чем было. И давление, значит, возрастет так же.

Ответ: в 1,25 раза.

Задача 7. Плотность газа, состоящего из смеси гелия и аргона, равна \rho=2 кг/м^3 при давлении p=150 кПа и температуре t=27^{\circ} C. Определите парциальные давления гелия и аргона, а также число атомов гелия в 1 см^3.

Решение: плотность смеси:

    \[\rho=\frac{ m_{He}+ m_{Ar}}{V}\]

По закону Дальтона:

    \[p= p_{He}+ p_{Ar}=\frac{ \rho_{He}RT}{M_{He}}+\frac{ \rho_{Ar}RT}{M_{Ar}}\]

    \[p= \frac{ m_{He}RT}{M_{He}V}+\frac{ m_{Ar}RT}{M_{Ar}V}\]

Так как

    \[\rho V= m_{He}+ m_{Ar}\]

    \[m_{He}=\rho V- m_{Ar}\]

Подставим:

    \[p= \frac{ (\rho V- m_{Ar})RT}{M_{He}V}+\frac{ m_{Ar}RT}{M_{Ar}V}\]

    \[p=\frac{\rho RT}{ M_{He}}-\frac{ m_{Ar}RT }{ M_{He}}+\frac{ m_{Ar}RT}{M_{Ar}V}\]

    \[p-\frac{\rho RT}{ M_{He}}=\rho_{Ar}\left(\frac{ RT}{M_{Ar}}-\frac{ RT}{M_{He}}\right)\]

    \[\rho_{Ar}=\frac{ p-\frac{\rho RT}{ M_{He}}}{RT\left(\frac{ 1}{M_{Ar}}-\frac{ 1}{M_{He}}\right)}= \frac{ 150000-\frac{2\cdot 8,31\cdot 300}{ 0,004}}{8,31\cdot 300\left(\frac{ 1}{0,04}-\frac{ 1}{0,004}\right)}=1,955\]

Тогда давление аргона

    \[p_{Ar}=\frac{ \rho_{Ar}RT}{M_{Ar}}=\frac{1,955\cdot 8,31\cdot 300}{0,04}=121800\]

Давление гелия можно не считать, а определить по закону Дальтона: p_{He}=28,2 кПа. Его плотность равна при таком давлении 0,045 кг/м^3.

Концентрация:

    \[n=\frac{N}{V}=\frac{\rho_{He} N_A}{M}=\frac{0,045\cdot 6\cdot 10^{23}}{0,004}=67,5\cdot 10^{23}\]

Ответ: давление аргона 121,8 кПа, гелия – 28б2 кПа, число молекул в 1 см^3 равно 67,5\cdot 10^{17}.

Задача 8. В герметичном сосуде находится 1 моль неона и 2 моля водорода. При температуре T_1=300 К, когда весь водород находится в молекулярном состоянии, давление в сосуде p_1=10^5 Па. При нагревании содержимого сосуда до температуры  T_2=3000 К давление возросло до p_2=1,5\cdot 10^6 Па. Какая часть молекул водорода диссоциировала на атомы?

Решение. Так как температура возросла в 10 раз, то по закону Шарля давление тоже должно было возрасти в 10 раз. А оно выросло не в 10, а в 15. То есть в 10 раз – за счет температуры, и еще в 1,5 – за счет диссоциации. Значит, количество вещества возросло тоже в 1,5 раза. Было 3 моля – стало 4,5. Но неон не диссоциирует, а его в смеси – моль. Диссоциирует водород, которого было 2 моля – а стало 3,5. В 1,75 раза больше. Значит, диссоциировало 75%.

Ответ: 75%.

Задача 9. Легкомоторный самолет, двигаясь со скоростью \upsilon=20 м/с, несет рекламный баннер, площадь сопротивления которого S=2 м^2. Оцените, насколько увеличится сила тяги двигателя по сравнению с тягой при полете в обычном режиме.

Решение. Баннер за 1 с заметает 40 м^3 воздуха:

    \[V=S\cdot \upsilon=2\cdot 20=40\]

Масса этого воздуха равна

    \[m=\rho V=1,3\cdot 40=52\]

Импульс, передаваемый этой массой воздуха, налетающей на баннер со скоростью 20 м/с, равен

    \[\Delta p=m\upsilon=52\cdot 20=1040\]

С другой стороны,

    \[\Delta p=F\Delta t\]

И, так как время равно 1 с, то сила равна 1040 Н.

Ответ: 1040 Н.

Задача 10. В резервуаре объемом V=1 м^3 находится воздух при давлении p=2 атм. К резервуару подключен насос, который при каждом рабочем ходе захватывает V_0=1 л воздуха из атмосферы при нормальных условиях (p_0=10^5 Па, T_0=273 К) и нагнетает его в резервуар. Температура в резервуаре постоянна и равна T=364 К. Сколько ходов должен сделать поршень насоса, чтобы повысить давление воздуха в резервуаре в 5 раз?

Решение. Давление в резервуаре в конце равно 10 атм. Через уравнение Менделеева-Клапейрона определим количество вещества:

    \[\nu_k=\frac{p_2V}{RT}=\frac{10^6\cdot 1}{8,31\cdot 364}=330,6\]

А в начале, до включения насоса, количество вещества было

    \[\nu_0=\frac{p_1V}{RT}=\frac{2\cdot 10^5\cdot 1}{8,31\cdot 364}=66\]

То есть насосу предстоит закачать 264,5 моля. Посмотрим, сколько молей способен захватить насос:

    \[\nu_{zahv}=\frac{p_0V_0}{RT_0}=\frac{10^5\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot 273}=0,044\]

Разделим количество вещества, которое надо закачать в резервуар, на количество вещества, которое может захватить насос – и получим число ходов:

    \[N=\frac{\nu_k -\nu_0}{\nu_{zahv}}=\frac{264,5}{0,044}=6000\]

Ответ: 6000 ходов.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *