Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Первое начало термодинамики, Работа газа, Термодинамика

Задачи молекулярно-кинетической теории ЗФТШ – 6

Две очень хорошие задачи, несложные, я бы даже сказала – уровня ЕГЭ.

Задача 1. В цилиндрическом сосуде объёма 2V_0 под тяжёлым поршнем находится одноатомный идеальный газ при температуре T_0 и давлении \frac{p_0}{2}, занимающий объём V_0. Над поршнем вакуум. Внизу в сосуде имеется небольшое отверстие, перекрытое краном. Снаружи пространство заполнено тем же газом при давлении p_0, температуре T_0. Сосуд теплоизолирован. Кран приоткрывают так, что поршень медленно поднимается вверх, и после того, как давление внутри и снаружи выравнивается, кран закрывают. Определите температуру газа после закрытия крана.

Решение.

К задаче 1

Так как поршень тяжелый, то

    \[mg=\frac{p_0}{2}S\]

Внутрь сосуда «всосется» газ из объема V. Его температуру мы знаем – то есть можем записать, какой он обладает внутренней энергией (U_2). Аналогично мы знаем температуру газа внутри, то есть знаем и его внутреннюю энергию (U_1). Газ из объема V внутрь сосуда втолкнут внешние силы, их работа будет равна

    \[A_{vn}=p_0V\]

Запишем закон сохранения энергии:

    \[U_1+U_2+ A_{vn}=U+E_p\]

E_p – изменение потенциальной энергии поршня, ведь он поднимается, а так как начальное давление газа в сосуде и внешнее отличаются в 2 раза, то и объем газа в сосуде в конце будет равен 2V_0, то есть увеличится на V_0:

    \[E_p=mg\Delta h=\frac{p_0}{2}S \Delta h=\frac{p_0V_0}{2}\]

    \[U_1=\frac{3}{2}\frac{p_0}{2}\cdot V_0\]

    \[U_2=\frac{3}{2}p_0V\]

    \[U=\frac{3}{2}p_0\cdot 2V_0\]

Тогда получим, подставив это все в ЗСЭ:

    \[\frac{3}{2}\frac{p_0}{2}\cdot V_0+\frac{3}{2}p_0V+ p_0V=\frac{3}{2}p_0\cdot 2V_0+\frac{p_0V_0}{2}\]

    \[2,75V_0=2,5p_0V\]

    \[V=\frac{2,75}{2,5}V_0=\frac{11}{10}V_0\]

Определим теперь, зная, какой объем газа проник извне в сосуд, количество вещества этого газа. Вначале:

    \[\frac{p_0V_0}{2}=\nu_1RT_0\]

    \[\nu_1=\frac{p_0V_0}{2RT_0}\]

Вошло:

    \[p_0\frac{ 11V_0}{10}=\nu_2RT_0\]

    \[\nu_2= p_0\frac{ 11V_0}{10RT_0}\]

Стало:

    \[\nu_1+\nu_2=\frac{p_0V_0}{RT_0}\left(\frac{1}{2}+\frac{11}{10}\right)= \frac{16p_0V_0}{10RT_0}=\frac{8p_0V_0}{5RT_0}\]

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

    \[p_0\cdot 2V_0=(\nu_1+\nu_2)RT_x\]

    \[2p_0V_0=\frac{8p_0V_0}{5RT_0}\cdot RT_x\]

    \[1=\frac{4}{5T_0}\cdot T_x\]

    \[T_x=\frac{5T_0}{4}\]

Ответ: T_x=1,25T_0.

 

Задача 2. В теплоизолированном сосуде находится смесь воды и льда при температуре t = 0^{\circ} С. Через стенку в сосуд 1 вводится торец медного стержня, боковые стенки которого покрыты теплоизолирующим слоем. Другой торец стержня погружен в воду, кипящую при атмосферном давлении. Через время \tau =15 минут весь лёд в 1 сосуде растаял. Если бы вместо медного стержня в этом эксперименте был использован стальной стержень такого же сечения, но другой длины, то весь лёд бы растаял через

время \tau_2 = 48 минут. Стержни соединяют последовательно. Какой будет температура t в месте соприкосновения медного и стального стержней?

Рассмотрите два случая:

а) кипящая вода соприкасается с торцом медного стержня;

б) кипящая вода соприкасается с торцом стального стержня;

Через какое время растает весь лед при последовательном соединении

стержней? Будет ли это время одинаковым в случае а) и б)?

К задаче 2

Решение. Разница температур в этом случае – подобна электрическому напряжению, а теплопроводность стержней – электрической проводимости. Количество теплоты, необходимое, чтобы растопить лед, и в случае стального, и в случае медного стержней одинаково. Через новые термины «напряжения» и «проводимости» – или «сопротивления» стержней это количество теплоты можно записать так:

    \[Q=\frac{U^2}{R_{Cu}}\cdot t_{Cu}\]

    \[Q=\frac{U^2}{R_{Fe}}\cdot t_{Fe}\]

Приравниваем правые части:

    \[\frac{U^2}{R_{Cu}}\cdot t_{Cu}=\frac{U^2}{R_{Fe}}\cdot t_{Fe}\]

    \[\frac{ t_{Cu}}{R_{Cu}}=\frac{ t_{Fe}}{R_{Fe}}\]

Тогда

    \[\frac{R_{Cu}}{R_{Fe}}=\frac{ t_{Fe}}{ t_{Cu}}=\frac{15}{48}=\frac{5}{16}\]

Если медный и стальной стержни соединить последовательно, их «сопротивления» сложатся. Тогда то же самое количество теплоты запишем как

    \[Q=\frac{U^2}{R_{Cu}+ R_{Fe}}\cdot t_0\]

Снова приравняем правые части:

    \[\frac{U^2}{R_{Cu}}\cdot t_{Cu}=\frac{U^2}{R_{Cu}+ R_{Fe}}\cdot t_0\]

    \[\frac{ t_{Cu}}{R_{Cu}} =\frac{ t_0}{R_{Cu}+ R_{Fe}}\]

    \[\frac{ 15}{5x} =\frac{ t_0}{5x+16x}\]

    \[t_0=\frac{15\cdot 21x}{5x}=63\]

То есть лед растает через 63 минуты, если стержни соединить последовательно. И неважно, как их при этом соединить – сталью к горячему, медью к холодному или наоборот – «сопротивления» сложатся в любом случае.

Так как сопротивления стержней относятся как 5:16, то и «падения напряжений» на них будут относиться так же. Пусть полное сопротивление обоих стержней вместе 21x, тогда «ток» равен \frac{U}{21x}, а «напряжение» (разность температур) на медном стержне будет равна \frac{U}{21x}\cdot 5x=23,8^{\circ}, а на стальном \frac{U}{21x}\cdot 16x=76,2^{\circ}. То есть если медь соединена с холодным сосудом – температура спая будет равна 23,8^{\circ}, а если с горячим – то 76,2^{\circ}.

Ответ: а) 76,2^{\circ} С; б) 23,8^{\circ} С; при последовательном соединении лед растает через 63 минуты.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *