Задачи молекулярно-кинетической теории ЗФТШ – 6

[latexpage]

Две очень хорошие задачи, несложные, я бы даже сказала – уровня ЕГЭ.

Задача 1. В цилиндрическом сосуде объёма $2V_0$ под тяжёлым поршнем находится одноатомный идеальный газ при температуре $T_0$ и давлении $\frac{p_0}{2}$, занимающий объём $V_0$. Над поршнем вакуум. Внизу в сосуде имеется небольшое отверстие, перекрытое краном. Снаружи пространство заполнено тем же газом при давлении $p_0$, температуре $T_0$. Сосуд теплоизолирован. Кран приоткрывают так, что поршень медленно поднимается вверх, и после того, как давление внутри и снаружи выравнивается, кран закрывают. Определите температуру газа после закрытия крана.

Решение.

К задаче 1

Так как поршень тяжелый, то

$$mg=\frac{p_0}{2}S$$

Внутрь сосуда «всосется» газ из объема $V$. Его температуру мы знаем – то есть можем записать, какой он обладает внутренней энергией ($U_2$). Аналогично мы знаем температуру газа внутри, то есть знаем и его внутреннюю энергию ($U_1$). Газ из объема $V$ внутрь сосуда втолкнут внешние силы, их работа будет равна

$$A_{vn}=p_0V$$

Запишем закон сохранения энергии:

$$U_1+U_2+ A_{vn}=U+E_p$$

$E_p$ – изменение потенциальной энергии поршня, ведь он поднимается, а так как начальное давление газа в сосуде и внешнее отличаются в 2 раза, то и объем газа в сосуде в конце будет равен $2V_0$, то есть увеличится на $V_0$:

$$ E_p=mg\Delta h=\frac{p_0}{2}S \Delta h=\frac{p_0V_0}{2}$$

$$U_1=\frac{3}{2}\frac{p_0}{2}\cdot V_0$$

$$U_2=\frac{3}{2}p_0V$$

$$U=\frac{3}{2}p_0\cdot 2V_0$$

Тогда получим, подставив это все в ЗСЭ:

$$\frac{3}{2}\frac{p_0}{2}\cdot V_0+\frac{3}{2}p_0V+ p_0V=\frac{3}{2}p_0\cdot 2V_0+\frac{p_0V_0}{2}$$

$$2,75V_0=2,5p_0V$$

$$V=\frac{2,75}{2,5}V_0=\frac{11}{10}V_0$$

Определим теперь, зная, какой объем газа проник извне в сосуд, количество вещества этого газа. Вначале:

$$\frac{p_0V_0}{2}=\nu_1RT_0$$

$$\nu_1=\frac{p_0V_0}{2RT_0}$$

Вошло:

$$ p_0\frac{ 11V_0}{10}=\nu_2RT_0$$

$$\nu_2= p_0\frac{ 11V_0}{10RT_0}$$

Стало:

$$\nu_1+\nu_2=\frac{p_0V_0}{RT_0}\left(\frac{1}{2}+\frac{11}{10}\right)= \frac{16p_0V_0}{10RT_0}=\frac{8p_0V_0}{5RT_0}$$

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$p_0\cdot 2V_0=(\nu_1+\nu_2)RT_x$$

$$2p_0V_0=\frac{8p_0V_0}{5RT_0}\cdot RT_x$$

$$1=\frac{4}{5T_0}\cdot T_x$$

$$T_x=\frac{5T_0}{4}$$

Ответ: $T_x=1,25T_0$.

Задача 2. В теплоизолированном сосуде находится смесь воды и льда при температуре $t = 0^{\circ}$ С. Через стенку в сосуд 1 вводится торец медного стержня, боковые стенки которого покрыты теплоизолирующим слоем. Другой торец стержня погружен в воду, кипящую при атмосферном давлении. Через время $\tau =15$ минут весь лёд в 1 сосуде растаял. Если бы вместо медного стержня в этом эксперименте был использован стальной стержень такого же сечения, но другой длины, то весь лёд бы растаял через

время $\tau_2 = 48$ минут. Стержни соединяют последовательно. Какой будет температура $t$ в месте соприкосновения медного и стального стержней?

Рассмотрите два случая:

а) кипящая вода соприкасается с торцом медного стержня;

б) кипящая вода соприкасается с торцом стального стержня;

Через какое время растает весь лед при последовательном соединении

стержней? Будет ли это время одинаковым в случае а) и б)?

К задаче 2

Решение. Разница температур в этом случае – подобна электрическому напряжению, а теплопроводность стержней – электрической проводимости. Количество теплоты, необходимое, чтобы растопить лед, и в случае стального, и в случае медного стержней одинаково. Через новые термины «напряжения» и «проводимости» – или «сопротивления» стержней это количество теплоты можно записать так:

$$Q=\frac{U^2}{R_{Cu}}\cdot t_{Cu}$$

$$Q=\frac{U^2}{R_{Fe}}\cdot t_{Fe}$$

Приравниваем правые части:

$$\frac{U^2}{R_{Cu}}\cdot t_{Cu}=\frac{U^2}{R_{Fe}}\cdot t_{Fe}$$

$$\frac{ t_{Cu}}{R_{Cu}}=\frac{ t_{Fe}}{R_{Fe}}$$

Тогда

$$\frac{R_{Cu}}{R_{Fe}}=\frac{ t_{Fe}}{ t_{Cu}}=\frac{15}{48}=\frac{5}{16}$$

Если медный и стальной стержни соединить последовательно, их «сопротивления» сложатся. Тогда то же самое количество теплоты запишем как

$$Q=\frac{U^2}{R_{Cu}+ R_{Fe}}\cdot t_0$$

Снова приравняем правые части:

$$\frac{U^2}{R_{Cu}}\cdot t_{Cu}=\frac{U^2}{R_{Cu}+ R_{Fe}}\cdot t_0$$

$$\frac{ t_{Cu}}{R_{Cu}} =\frac{ t_0}{R_{Cu}+ R_{Fe}}$$

$$\frac{ 15}{5x} =\frac{ t_0}{5x+16x}$$

$$t_0=\frac{15\cdot 21x}{5x}=63$$

То есть лед растает через 63 минуты, если стержни соединить последовательно. И неважно, как их при этом соединить – сталью к горячему, медью к холодному или наоборот – «сопротивления» сложатся в любом случае.

Так как сопротивления стержней относятся как $5:16$, то и «падения напряжений» на них будут относиться так же. Пусть полное сопротивление обоих стержней вместе $21x$, тогда «ток» равен $\frac{U}{21x}$, а «напряжение» (разность температур) на медном стержне будет равна $\frac{U}{21x}\cdot 5x=23,8^{\circ}$, а на стальном $\frac{U}{21x}\cdot 16x=76,2^{\circ}$. То есть если медь соединена с холодным сосудом – температура спая будет равна $23,8^{\circ}$, а если с горячим – то $76,2^{\circ}$.

Ответ: а) $76,2^{\circ}$ С; б) $23,8^{\circ}$ С; при последовательном соединении лед растает через 63 минуты.