Задачи молекулярно-кинетической теории ЗФТШ – 5

[latexpage]

В эту статью попали очень сложные задачи, требующие умения интегрировать в том числе. Пришлось вывести барометрическую формулу.

Задача 1. Найти КПД цикла, если известно, что максимальная и минимальная температуры в цикле отличаются в 4 раза. Рабочее тело – одноатомный газ.

Решение.

К задаче 1

Решение.

Так как точки 1 и 3 на одной прямой, то из подобия треугольников следует, что

$$\frac{p_1}{V_1}=\frac{p_2}{V_2}$$

Или

$$\frac{p_2}{p_1}=\frac{V_2}{V_1}$$

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$p_1V_1=\nu R T_1$$

$$p_2V_2=\nu R T_2=4\nu R T_1$$

Делим уравнения:

$$\frac{ p_2V_2}{ p_1V_1}=4$$

Получается, что

$$\frac{p_2}{p_1}=\frac{V_2}{V_1}=2$$

Теперь определяем КПД цикла. Процесс 1-2 изохорный, работа в нем не совершается.

$$Q_{12}=\frac{3}{2}(p_2V_1-p_1V_1)= \frac{3}{2} p_1V_1$$

Процесс 2-3 – изобарный, в нем

$$Q_{23}= A_{23}+ \Delta U_{23}=\frac{5}{2}p_2(V_2-V_1)= \frac{5}{2}p_2V_1=5p_1V_1$$

Тогда

$$Q= Q_{12}+ Q_{23}=6,5 p_1V_1$$

Работа за цикл

$$A=(p_2-p_1)(V_2-V_1)=p_1V_1$$

И теперь находим КПД:

$$\eta=\frac{A}{Q}=\frac{ p_1V_1}{6,5 p_1V_1}=\frac{1}{6,5}=0,154$$

Ответ: 15,4%.

Задача 2. Сухой воздух переносится слабым ветром через горный перевал высотой 1 км. Оцените, на сколько температура воздуха на перевале ниже, чем у подножья гор.

Решение. Процесс, происходящий с воздухом, будет адиабатическим – так как происходит быстро. Уравнение адиабаты запишем в виде:

$$T_1^{\gamma}p_1^{1-\gamma}= T_2^{\gamma}p_2^{1-\gamma}$$

Здесь индексы 1 относятся к подножью горы, а 2 – к вершине перевала.

Показатель адиабаты для воздуха, как для двухатомного газа, равен

$$\gamma=\frac{c_p}{c_V}=\frac{i+2}{i}=\frac{7}{5}=1,4$$

$$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\gamma}=\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{1-\gamma}$$

$$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\gamma}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{ \gamma-1}$$

$$\frac{p_2}{p_1}=\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}=\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{3,5}$$

Пока оставим этот результат.

Давление внизу малого столбика $p+\Delta p $, вверху –  $p$. Разность давлений равна давлению малого столбика воздуха высотой $dh$:

$$p-( p+\Delta p)=\rho g h$$

$$-\Delta p=\rho g dh$$

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона для воздуха на перевале

$$p=\frac{\rho RT}{M}$$

$$\rho=\frac{pM}{RT}$$

Это плотность воздуха на перевале, наверху.

$$-\Delta p=\frac{pM}{RT} g dh$$

$$-\frac{\Delta p }{p}=\frac{M}{RT} g dh$$

Суммируем справа и слева:

$$\int  -\frac{\Delta p }{p} dp=\int  \frac{M}{RT} g dh$$

$$\ln p_2=-\frac{M}{RT} g h+\ln C=-\frac{M}{RT} g h+\ln p_1 $$

$$\ln \frac{p_2}{p_1}=-\frac{M}{RT} g h$$

Вот мы и вывели барометрическую формулу. Применим ее:

$$\ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{3,5}=-\frac{M}{RT} g h$$

$$3,5\ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right)=-\frac{M}{RT} g h=-\frac{0,029\cdot10\cdot1000}{8,31\cdot 290}=-\frac{1}{8,31}$$

Здесь температура у подножья перевала взята равной $290$ К – из разумных соображений, и из удобства подсчетов.

$$\ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right)=-\frac{1}{29}$$

$$\frac{T_2}{T_1}=e^{-\frac{1}{29}}=e^{-0,034}$$

$$T_2=T_1\cdot e^{-0,034}=290\cdot e^{-0,034}=280,3$$

Ответ: на перевале температура воздуха на 10 градусов меньше.