Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Работа газа, Уравнение Менделеева-Клапейрона

Задачи молекулярно-кинетической теории ЗФТШ -4

В ЗФТШ очень хорошая подготовка. И по математике, и по физике. Решайте задачи ЗФТШ – и прокачаетесь в физике!

Задача. Один моль гелия расширяется так, что его давление линейно зависит от объёма. Температуры в исходном и конечном состояниях одинаковы. Вычислите работу, совершаемую газом, если известно, что в ходе рассматриваемого процесса разность между максимальной и минимальной температурой равна \Delta T, а объём гелия увеличивается в k раз, причём k >1.

Рисунок к задаче

Решение.

Работа будет равна

    \[A=\frac{p_0+\frac{p_0}{k}}{2}(kV_0-V_0)\]

    \[A=\frac{p_0V_0}{2k}(k-1)(k+1)\]

    \[A=\frac{p_0V_0}{2k}(k^2-1)\]

Теперь наша задача выразить работу через те величины, которые даны.

Запишем уравнение прямой как

    \[\frac{p_0-p}{V-V_0}=\frac{ p_0-\frac{p_0}{k}}{kV_0-V_0}=\frac{p_0}{kV_0}\]

    \[\frac{p_0-p}{V-V_0}=\frac{p_0}{kV_0}\]

    \[(p_0-p) kV_0=p_0(V-V_0)\]

Раскроем скобки

    \[p_0kV_0-pkV_0=p_0V-p_0V_0\]

Выражаем p:

    \[p=\frac{ p_0kV_0+ p_0V_0- p_0V }{kV_0}\]

    \[p=p_0\frac{k+1}{k}-\frac{p_0V}{kV_0}\]

    \[p+\frac{p_0V}{kV_0}= p_0\frac{k+1}{k}\]

Продифференцируем по объему:

    \[\frac{dp}{dV}+\frac{p_0}{kV_0}=0\]

    \[\frac{dp}{dV}=-\frac{p_0}{kV_0}\]

Теперь запишем уравнение Менделеева-Клапейрона и тоже продифференцируем по объему:

    \[p V=\nu R T\]

    \[\frac{dp}{dV}\cdot V+p=\nu R\frac{dT}{dV}\]

Теперь подставим сюда ранее полученное:

    \[-\frac{p_0}{kV_0}\cdot V+ p_0\frac{k+1}{k}-\frac{p_0V}{kV_0}=\nuR\frac{dT}{dV}\]

Производная равна нулю при максимальном значении объема:

    \[-\frac{2p_0}{kV_0}\cdot V+ p_0\frac{k+1}{k}=0\]

    \[V_{max}=\frac{k+1}{2}V_0\]

Подставляем в выражение для давления:

    \[p_{max}= p_0\frac{k+1}{k}-\frac{p_0}{kV_0}\cdot \frac{k+1}{2}V_0= p_0\frac{k+1}{2k}\]

Для начального состояния

    \[p_0 V_0=\nu R T_0\]

Для максимального объема и соответствующего ему давления:

    \[p_{max} V_{max}=\frac{p_0V_0}{k}\cdot\left(\frac{k+1}{2}\right)^2\]

С другой стороны,

    \[p_{max} V_{max}=\nu R (T_0+\Delta T)\]

Приравнивая правые части, получаем:

    \[\frac{p_0V_0}{k}\cdot\left(\frac{k+1}{2}\right)^2=\nu R (T_0+\Delta T)\]

    \[\nu R\Delta T=p_oV_0\left(\frac{1}{k}\cdot\left(\frac{k+1}{2}\right)^2-1\right)=\frac{p_0V_0}{4k}(k-1)^2\]

Вернемся к работе:

    \[A=\frac{p_0V_0}{4k}(k-1)^2=\frac{k^2-1}{2k}\cdot\frac{\nu R\Delta T \cdot 4k}{(k-1)^2}\]

    \[A=\frac{2\nu R\Delta T \cdot (k^2-1)}{(k-1)^2}=2\nu R\Delta T \frac{k+1}{k-1}\]

Ответ: A=2\nu R\Delta T \frac{k+1}{k-1}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *