Задачи молекулярно-кинетической теории ЗФТШ -3

[latexpage]

В ЗФТШ очень хорошая подготовка. И по математике, и по физике. Решайте задачи ЗФТШ – и прокачаетесь в физике!

Задача 1. Гелий из состояния с температурой $T_1 =100$ K расширяется в процессе $p^2 V = const$ ( $p$ – давление, $V$ – объём газа) с постоянной теплоёмкостью $C$. К газу подвели количество теплоты 2910 Дж. Конечное давление газа вдвое меньше начального.

1) Определить конечную температуру гелия.

2) Определить теплоёмкость $C$.

Решение: по условию

$$p_1^2V_1=p_2^2V_2$$

Определим объем $V_2$:

$$p_1^2V_1=\frac{p_1}{2}^2V_2$$

$$V_2=4V_1$$

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$p_1V_1=\nu R T_1$$

И

$$\frac{p_1}{2}\cdot 4V_1=\nu R T_2$$

$$2p_1V_1=\nu R T_2$$

Определяем конечную температуру:

$$T_2=\frac{2\nu R T_1}{\nu R }=2T_1=200$$

И теперь определяем теплоемкость:

$$C=\frac{Q}{\Delta T}=\frac{2910}{100}=29,1$$

Ответ: $ C=29,1$ Дж/К.

Задача 2. Моль гелия, расширяясь в процессе 1–2, где его давление $p$ меняется прямо пропорционально объёму $V$, совершает работу $A$. Из состояния 2 гелий расширяется в процессе 2–3, в котором его теплоёмкость C остаётся постоянной и равной $C = \frac{R}{2}$ ( R – газовая постоянная). Какую работу совершит гелий в процессе 2-3, если его температура в состоянии 3 равна температуре в состоянии 1?

К задаче 2

Решение. Так как в процессе 1–2 давление $p$ газа меняется прямо пропорционально объёму $V$, то

$$p_1V_2=p_2V_1$$

Работа газа в процессе 1-2

$$A_{12}=\frac{1}{2}(p_1+p_2)(V_2-V_1)$$

(по формуле площади трапеции).

$$A_{12}=A= \frac{1}{2}(p_1V_2-p_1V_1+p_2V_2-p_2V_1)= \frac{1}{2}(p_2V_2-p_1V_1)$$

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$p_1V_1=\nu R T_1$$

И

$$p_2V_2=\nu R T_2$$

Тогда работа газа в процессе 1-2

$$A= \frac{1}{2}\nu R(T_2-T_1)$$

Рассмотрим процесс 2-3. По первому началу термодинамики:

$$Q_{23}= A_{23}+\Delta U_{23}$$

Количество теплоты, полученное газом, можно записать через теплоемкость:

$$Q_{23}=C\Delta T=C(T_3-T_2)$$

$$\DeltaU_{23}=C_V(T_3-T_2)$$

Работа в процессе 2-3

$$ A_{23}= Q_{23}-\Delta U_{23}= C(T_3-T_2)- C_V(T_3-T_2)=(C-C_V) (T_3-T_2)$$

$$ A_{23}=\left(\frac{R}{2}-\frac{3R}{2}\right) (T_3-T_2)=R(T_2-T_3)=R(T_2-T_1)$$

Отношение работ будет равно

$$\frac{ A_{23}}{A}=\frac{ R(T_2-T_1)}{ \frac{1}{2}R(T_2-T_1)}=2$$

Ответ: 2.