Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Основное уравнение МКТ, Первое начало термодинамики, Работа газа

Задачи молекулярно-кинетической теории ЗФТШ -2

Люблю задачи, которые предлагает своим слушателям ЗФТШ МФТИ. Всегда что-то интересное!

Задача 4. Один моль идеального газа совершает прямой цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Температуры, соответствующие состояниям 1 и 3, равны T_1 и T_3 соответственно. Точки 2 и 4 лежат на одной изотерме. Определить работу газа за цикл.

К задаче 4

Решение.

Работа газа за цикл:

    \[A=(p_2-p_1)(V_2-V_1)\]

    \[A_{23}=p_2(V_2-V_1)\]

    \[\mid A_{41}\mid =p_1(V_2-V_1)\]

Работа за цикл равна

    \[A= A_{23}- A_{41}=p_2V_2-p_2V_1-p_1V_2+p_1V_1\]

    \[p_1V_1=\nu RT_1\]

    \[p_2V_2=\nu R T_3\]

    \[p_1V_2=\nu R T_4\]

    \[p_2V_1=\nu RT_2\]

Но T_2=T_4, следовательно, p_1V_2= p_2V_1.

Тогда

    \[A=\nu R T_3-\nu RT_2-\nu R T_4+\nu RT_1\]

Для процесса 1-2 (изохорный):

    \[\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}\]

Откуда

    \[\frac{p_2}{p_1}=\frac{T_2}{T_1}\]

Для процесса 3-4:

    \[\frac{p_2}{T_3}=\frac{p_1}{T_2}\]

Откуда

    \[\frac{p_2}{p_1}=\frac{T_3}{T_2}\]

Или, получается,

    \[\frac{T_2}{T_1}=\frac{T_3}{T_2}\]

Тогда

    \[T_2=\sqrt{T_1T_3}\]

Вернемся к работе цикла:

    \[A=\nu R (T_3+T_1-2T_2)\]

    \[A=\nu R (T_3+T_1-2\sqrt{T_1T_3})\]

Ответ: A=\nu R (T_3+T_1-2\sqrt{T_1T_3})

Задача 5. КПД тепловой машины, работающей по циклу, состоящему из изотермы (1–2), изохоры (2–3) и адиабаты (3–1), равен \eta, а разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна \Delta T. Найти работу, совершаемую \nu молями одноатомного идеального газа в изотермическом процессе.

К задаче 5

Решение: рассмотрим процесс 1-2: T=const, \Delta U=0, A_{12}\neq 0.

Процесс 2-3: V=const, A_{23}=0, \Delta T_{23}=\Delta T, \Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T.

И процесс 13: Q_{13}=0, \mid A_{13}\mid =\Delta U, A_{13}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T.

По определению,

    \[\eta=\frac{A_{cicle}}{Q}\]

    \[\eta=\frac{A_{12}-A_{31}}{Q}\]

    \[\eta=\frac{A_{12}-\frac{3}{2}\nu R\Delta T }{ A_{12}}\]

    \[\eta A_{12}= A_{12}-\frac{3}{2}\nu R\Delta T\]

    \[\frac{3}{2}\nu R\Delta T= A_{12}-\eta A_{12}\]

    \[A_{12}=\frac{\frac{3}{2}\nu R\Delta T }{1-\eta}\]

Ответ: A_{12}=\frac{\frac{3}{2}\nu R\Delta T }{1-\eta}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *