Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Основное уравнение МКТ, Работа газа, Теплоемкость газа, Уравнение Менделеева-Клапейрона

Задачи молекулярно-кинетической теории ЗФТШ -1

Люблю задачи, которые предлагает своим слушателям ЗФТШ МФТИ. Всегда что-то интересное!

Задача 1.  В цилиндре под давлением p = 2 атм находится смесь газов: гелия He и водорода H_2. Изобарический нагрев смеси газов приводит к увеличению объёма цилиндра на \Delta V =1 л. На сколько изменилась при этом внутренняя энергия смеси газов? Масса водорода в 1,5 раза больше массы гелия. Молярные массы гелия и водорода равны соответственно 4 г/моль и 2 г/моль.

Решение. Во-первых, процесс изобарный, значит,

    \[\frac{T_1}{V_1}=\frac{T_2}{V_2}\]

    \[\frac{T_1}{V_1}=\frac{T_2}{V_1+\Delta V}\]

    \[T_1V_1+T_1\Delta V=V_1T_2\]

    \[(T_1-T_2)V_1=-T_1\Delta V\]

    \[(T_2-T_1)V_1=T_1\Delta V\]

    \[\Delta T V_1= T_1\Delta V\]

    \[\Delta T=\frac{ T_1\Delta V }{ V_1}\]

По закону Дальтона и закону Менделеева-Клапейрона

    \[p=p_{H_2}+p_{He}=\frac{\nu_{H_2}RT_1}{V_1}+\frac{\nu_{He}RT_1}{V_1}\]

    \[p=(\nu_{H_2}+\nu_{He})\frac{RT_1}{V_1}\]

    \[\frac{T_1}{V_1}=\frac{p}{R(\nu_{H_2}+\nu_{He})}\]

    \[\Delta T=\frac{ T_1 }{ V_1}\Delta V =\frac{p\Delta V}{R(\nu_{H_2}+\nu_{He})}\]

Теперь запишем изменение внутренней энергии, при этом помним, что водород – двухатомный газ, а гелий – одноатомный.

    \[\Delta U=\frac{3}{2}\nu_{He}R\Delta T+\frac{5}{2}\nu_{H_2}R\Delta T\]

    \[\Delta U= R\Delta T\left( \frac{3}{2}\nu_{He} +\frac{5}{2}\nu_{H_2}\right)\]

    \[\Delta U= R\cdot \frac{p\Delta V}{R(\nu_{H_2}+\nu_{He})}\left( \frac{3}{2}\nu_{He} +\frac{5}{2}\nu_{H_2}\right)\]

    \[\Delta U= \frac{p\Delta V}{(\frac{\nu_{H_2}}{\nu_{He}}+1)}\left( \frac{3}{2}} +\frac{5\nu_{H_2}}{2\nu_{He}}\right)\]

Теперь займемся массами:

    \[1,5m_{He}=m_{H_2}\]

    \[\frac{ m_{H_2}}{ m_{He}}=1,5\]

    \[\frac{ m_{H_2}}{ m_{He}}\cdot \frac{ M_{He}}{ M_{H_2}}=1,5\frac{ M_{He}}{ M_{H_2}}\]

    \[\frac{ \nu_{H_2}}{ \nu_{He}}=1,5\frac{ M_{He}}{ M_{H_2}}=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{2}=3\]

Подставляем в формулу, полученную для \Delta U:

    \[\Delta U= \frac{p\Delta V}{(3+1)}\left( \frac{3}{2}} +\frac{5}{2}\cdot 3\right)\]

    \[\Delta U= \frac{9}{4}p\Delta V=\frac{9}{4}\cdot 2\cdot10^5\cdot 10^{-3}=450\]

Ответ: 450 Дж.

Задача 2.  Дачный домик отапливается с помощью электрических батарей. При температуре батарей t_{1b} = 50^{\circ} С и температуре наружного воздуха t_1 = -10^{\circ} С в домике устанавливается температура t = 20^{\circ} С. Во сколько раз нужно увеличить силу тока в батареях, чтобы в комнате поддерживалась прежняя температура в холодные дни при наружной температуре t = -25^{\circ} С? Какова при этом будет температура батарей t_{2b}? Электрическое сопротивление нагревательных

элементов батарей можно считать не зависящим от температуры.

Решение. Количество теплоты, отдаваемое батареей воздуху в комнате, пропорционально разности температур батареи и воздуха:

    \[Q_1=k(t_{1b}-t)\]

Аналогично и при повышенной температуре батарей:

    \[Q_2=k(t_{2b}-t)\]

Но то тепло, которое сообщает батарея воздуху, при том, что температура в доме остается постоянной, очевидно, равно тому количеству теплоты, которое просачивается сквозь окна и крышу дома:

    \[Q_1=K(t-t_1)\]

    \[Q_2=K(t-t_2)\]

    \[k(t_{1b}-t) =K(t-t_1)\]

    \[k(t_{2b}-t)= =K(t-t_2)\]

Делим уравнения:

    \[\frac{ t_{1b}-t }{ t_{2b}-t }=\frac{ t-t_1}{ t-t_2}\]

    \[\frac{ 50-20 }{ t_{2b}-20 }=\frac{ 20-(-10)}{20-(-25)}\]

    \[\frac{ 30 }{ t_{2b}-20 }=\frac{ 30}{45}\]

Равны дроби, равны числители – равны и знаменатели:

    \[t_{2b}-20=45\]

    \[t_{2b}=65^{\circ}\]

Так как по закону Джоуля-Ленца

    \[Q_1\sim I_1^2\]

    \[Q_2 \sim I_2^2\]

То

    \[\frac{Q_2}{Q_1}=\frac{ I_2^2}{ I_1^2}\]

    \[\frac{ I_2}{ I_1}=\sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}}=\sqrt{\frac{ t-t_2}{ t-t_2}}=\sqrt{\frac{ 45}{ 30}}=\sqrt{1,5}\]

Ответ: температура батареи 65^{\circ}, отношение величин токов – \frac{ I_2}{ I_1}\sqrt{\frac{3}{2}}.

 

Задача 3. Один киломоль газа при изобарическом расширении совершает работу A = 831 кДж. В исходном состоянии объём газа V_1 = 3 м^3 , а температура T_1=300 K. Каковы параметры газа p_2 , V_2 , T_2 после расширения?

Решение. Согласно закону Менделеева-Клапейрона

    \[p_1V_1=\nu_1RT_1\]

    \[p_1=\frac{\nu_1RT_1}{ V_1}=\frac{1000\cdot 8,31 \cdot 300}{3}=831000\]

Работа газа

    \[A=p\Delta V=\nu R \Delta T\]

    \[\Delta T=\frac{A}{\nu R }=\frac{831000}{1000\cdot 8,31}=100\]

Следовательно,

    \[T_2=400\]

Давление остается постоянным, поэтому по закону Гей-Люссака

    \[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\]

    \[V_2=\frac{V_1T_2}{T_1}=\frac{3\cdot 400}{300}=4\]

Ответ: V_2=4 м^3, p_2=p_1=831 кПа, T_2=400 К.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *