Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Основное уравнение МКТ, Работа газа, Теплоемкость газа, Уравнение Менделеева-Клапейрона

Задачи молекулярно-кинетической теории ЗФТШ -1

[latexpage]

Люблю задачи, которые предлагает своим слушателям ЗФТШ МФТИ. Всегда что-то интересное!

Задача 1.  В цилиндре под давлением $p = 2$ атм находится смесь газов: гелия $He$ и водорода $H_2$. Изобарический нагрев смеси газов приводит к увеличению объёма цилиндра на $\Delta V =1$ л. На сколько изменилась при этом внутренняя энергия смеси газов? Масса водорода в 1,5 раза больше массы гелия. Молярные массы гелия и водорода равны соответственно 4 г/моль и 2 г/моль.

Решение. Во-первых, процесс изобарный, значит,

$$\frac{T_1}{V_1}=\frac{T_2}{V_2}$$

$$\frac{T_1}{V_1}=\frac{T_2}{V_1+\Delta V}$$

$$T_1V_1+T_1\Delta V=V_1T_2$$

$$(T_1-T_2)V_1=-T_1\Delta V$$

$$(T_2-T_1)V_1=T_1\Delta V$$

$$\Delta T V_1= T_1\Delta V$$

$$\Delta T=\frac{ T_1\Delta V }{ V_1}$$

По закону Дальтона и закону Менделеева-Клапейрона

$$p=p_{H_2}+p_{He}=\frac{\nu_{H_2}RT_1}{V_1}+\frac{\nu_{He}RT_1}{V_1}$$

$$p=(\nu_{H_2}+\nu_{He})\frac{RT_1}{V_1}$$

$$\frac{T_1}{V_1}=\frac{p}{R(\nu_{H_2}+\nu_{He})}$$

$$\Delta T=\frac{ T_1 }{ V_1}\Delta V =\frac{p\Delta V}{R(\nu_{H_2}+\nu_{He})}$$

Теперь запишем изменение внутренней энергии, при этом помним, что водород – двухатомный газ, а гелий – одноатомный.

$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu_{He}R\Delta T+\frac{5}{2}\nu_{H_2}R\Delta T$$

$$\Delta U= R\Delta T\left( \frac{3}{2}\nu_{He} +\frac{5}{2}\nu_{H_2}\right)$$

$$\Delta U= R\cdot \frac{p\Delta V}{R(\nu_{H_2}+\nu_{He})}\left( \frac{3}{2}\nu_{He} +\frac{5}{2}\nu_{H_2}\right)$$

$$\Delta U= \frac{p\Delta V}{(\frac{\nu_{H_2}}{\nu_{He}}+1)}\left( \frac{3}{2}} +\frac{5\nu_{H_2}}{2\nu_{He}}\right)$$

Теперь займемся массами:

$$1,5m_{He}=m_{H_2}$$

$$\frac{ m_{H_2}}{ m_{He}}=1,5$$

$$\frac{ m_{H_2}}{ m_{He}}\cdot \frac{ M_{He}}{ M_{H_2}}=1,5\frac{ M_{He}}{ M_{H_2}}$$

$$\frac{ \nu_{H_2}}{ \nu_{He}}=1,5\frac{ M_{He}}{ M_{H_2}}=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{2}=3$$

Подставляем в формулу, полученную для $\Delta U$:

$$\Delta U= \frac{p\Delta V}{(3+1)}\left( \frac{3}{2}} +\frac{5}{2}\cdot 3\right)$$

$$\Delta U= \frac{9}{4}p\Delta V=\frac{9}{4}\cdot 2\cdot10^5\cdot 10^{-3}=450$$

Ответ: 450 Дж.

Задача 2.  Дачный домик отапливается с помощью электрических батарей. При температуре батарей $t_{1b} = 50^{\circ}$ С и температуре наружного воздуха $t_1 = -10^{\circ}$ С в домике устанавливается температура $t = 20^{\circ}$ С. Во сколько раз нужно увеличить силу тока в батареях, чтобы в комнате поддерживалась прежняя температура в холодные дни при наружной температуре $t = -25^{\circ}$ С? Какова при этом будет температура батарей $t_{2b}$? Электрическое сопротивление нагревательных

элементов батарей можно считать не зависящим от температуры.

Решение. Количество теплоты, отдаваемое батареей воздуху в комнате, пропорционально разности температур батареи и воздуха:

$$Q_1=k(t_{1b}-t)$$

Аналогично и при повышенной температуре батарей:

$$Q_2=k(t_{2b}-t)$$

Но то тепло, которое сообщает батарея воздуху, при том, что температура в доме остается постоянной, очевидно, равно тому количеству теплоты, которое просачивается сквозь окна и крышу дома:

$$Q_1=K(t-t_1)$$

$$Q_2=K(t-t_2)$$

$$ k(t_{1b}-t) =K(t-t_1)$$

$$ k(t_{2b}-t)= =K(t-t_2)$$

Делим уравнения:

$$\frac{ t_{1b}-t }{ t_{2b}-t }=\frac{ t-t_1}{ t-t_2}$$

$$\frac{ 50-20 }{ t_{2b}-20 }=\frac{ 20-(-10)}{20-(-25)}$$

$$\frac{ 30 }{ t_{2b}-20 }=\frac{ 30}{45}$$

Равны дроби, равны числители – равны и знаменатели:

$$ t_{2b}-20=45$$

$$ t_{2b}=65^{\circ}$$

Так как по закону Джоуля-Ленца

$$Q_1\sim I_1^2$$

$$Q_2 \sim I_2^2$$

То

$$\frac{Q_2}{Q_1}=\frac{ I_2^2}{ I_1^2}$$

$$\frac{ I_2}{ I_1}=\sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}}=\sqrt{\frac{ t-t_2}{ t-t_2}}=\sqrt{\frac{ 45}{ 30}}=\sqrt{1,5}$$

Ответ: температура батареи $65^{\circ}$, отношение величин токов – $\frac{ I_2}{ I_1}\sqrt{\frac{3}{2}}$.

 

Задача 3. Один киломоль газа при изобарическом расширении совершает работу $A = 831$ кДж. В исходном состоянии объём газа $V_1 = 3$ м$^3$ , а температура $T_1=300$ K. Каковы параметры газа $p_2 , V_2 , T_2$ после расширения?

Решение. Согласно закону Менделеева-Клапейрона

$$p_1V_1=\nu_1RT_1$$

$$p_1=\frac{\nu_1RT_1}{ V_1}=\frac{1000\cdot 8,31 \cdot 300}{3}=831000$$

Работа газа

$$A=p\Delta V=\nu R \Delta T$$

$$\Delta T=\frac{A}{\nu R }=\frac{831000}{1000\cdot 8,31}=100$$

Следовательно,

$$T_2=400$$

Давление остается постоянным, поэтому по закону Гей-Люссака

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$

$$V_2=\frac{V_1T_2}{T_1}=\frac{3\cdot 400}{300}=4$$

Ответ: $V_2=4$ м$^3$, $p_2=p_1=831$ кПа, $T_2=400$ К.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *