Название статьи говорит само за себя. Представляю решения задач из указанной книги. Продолжение следует…
Задача 1. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды вдвое больше ее высоты. Найдите отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к апофеме пирамиды.

К задаче 1
Пусть ,
. Определим длину ребра основания. Для этого по теореме Пифагора для треугольника
найдем
:
– половина диагонали основания, следовательно, диагональ
. А сторона основания тогда
.
Определим апофему.
Радиус вписанной сферы равен радиусу окружности, вписанной в треугольник . Для его нахождения воспользуемся формулой
Площадь этого треугольника
Определим полупериметр:
Считаем радиус:
Определяем отношение радиуса к апофеме:
Ответ: .
Задача 2. В правильной пирамиде высотой
и ребром основания
угол между боковым ребром и плоскостью основания равен
. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку Н параллельно ребрам
и
.
Построим чертеж:

К задаче 2
Высота правильного треугольника основания равна . Точка
является точкой пересечения медиан, а следовательно, поделит указанную высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда
Высоту пирамиды и отрезок связаны соотношением:

К задаче 2
Рассмотрим треугольники и
. Они подобны и для них мы запишем отношения сходственных сторон:
Тогда
А для подобных треугольников и
справедливо, что
Сечение представляет собой прямоугольник. Стороны и
параллельны прямой
, и, следовательно, параллельны, стороны
и
параллельны прямой
и тоже параллельны. Прямая
перпендикулярна прямой
, следовательно, прямая
– проекция прямой
на секущую плоскость – тоже перпендикулярна
. А так как по построению
параллельна
, то
– прямоугольник. Его площадь равна
Ответ: .
Задача 3. Плоскость, параллельная боковому ребру и ребру
основания
правильной пирамиды
, проходит на расстоянии
от ребра
. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

К задаче 3
Для определения площади сечения надо определить длины его сторон. Сечение – прямоугольник, доказательство этого факта приведено в предыдущей задаче. Его площадь будет равна произведению
Определим длину .Для этого рассмотрим треугольник
.
Из подобия треугольников и
следует отношение их сходственных сторон. Обозначим длину высоты треугольника
, тогда по свойству афинной эквивалентности
Определим . Сделаем это через площадь треугольника
. С одной стороны,
С другой,
Тогда
В треугольнике
– высота правильного треугольника основания,
. Высота этого треугольника, опущенная на
– это высота пирамиды. Вершина пирамиды проецируется в центр основания. Центр основания – точка пересечения медиан, которые делятся точкой пересечения в отношении 2:1, поэтому
Тогда :
Определяем :
С использованием свойств афинной эквивалентности можно записать:
Площадь сечения равна
Ответ: .
Задача 4. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой Н и двугранным углом при боковом ребре.
Сделаем чертеж.

К задаче 4
Обозначим диагональ основания пирамиды . Изобразим линейный угол двугранного угла. Для этого проведем перпендикуляры
и
к ребру
– угол
и будет линейным углом указанного двугранного. Обозначим отрезок
. Тогда
Если обозначить сторону основания , то
. Тогда
Так как нам в конечном итоге нужен объем, то определим и возведем в квадрат – это и будет площадью основания.
Пусть длина бокового ребра равна . Тогда для треугольника
запишем теорему Пифагора:
Или
Здесь – высота пирамиды. Пусть апофема пирамиды
, она равна
Площадь боковой грани можно записать двумя способами: через апофему и основание, а также через длину бокового ребра и высоту .
Для удобства возведем в квадрат:
Теперь подставим в это равенство квадраты длин отрезков, найденные нами ранее:
Чтобы упростить, привлечем на помощь тригонометрию:
Подставляем:
Теперь, наконец, объем:
Ответ: .
Задача 5. В правильной пирамиде с вершиной
боковое ребро равно
, а двугранный угол при этом ребре равен
. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки
и середину ребра
.

К задаче 5
Задача близка к предыдущей и мы этим воспользуемся. Из треугольника
В предыдущей задаче установлена связь
Тогда, зная это, (а ведь это площадь основания), найдем ее четверть, ведь это – площадь проекции искомого сечения на основание, потому что высота треугольника вдвое меньше высоты треугольника
, а его площадь равна половине площади основания:
Далее мы воспользуемся тем, что
Где – угол наклона сечения к основанию.
Поработаем еще с формулой (1), вытащим высоту:
Теперь подставим эту высоту в формулу для найденной площади проекции сечения (в формулу (2)):
Свяжем угол наклона плоскости сечения к основанию и линейный угол двугранного угла, для этого определим тангенс угла :
Известно (из тригонометрии), что
Тогда
Определяем площадь сечения:
Ответ: .
Задача 6. Все ребра правильной пирамиды с вершиной
равны 2. Плоскость, параллельная прямым
и
, пересекает ребра
и
в точках М и N. Найдите периметр сечения пирамиды этой плоскостью, если
.
Построим сечение:

К задаче 6
Периметр сечения равен
Будем находить длины этих отрезков поэтапно. Самое простое – длина отрезка . Это средняя линия треугольника
. Так как ребра основания равны 2, то диагональ основания
.
и
– средние линии соответствующих треугольников
и
. Поэтому
.
Осталось определить длины отрезков и
.
Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный и прямоугольный, прямой угол при вершине
. Это следует из соотношения длин ребер. Тогда
. Тогда, так как , то
. Кроме того, это также означает, что
, а по теореме о трех перпендикулярах это означает, что
. Треугольник
прямоугольный, запишем теорему Пифагора для него,
:
Таким образом, .
Понял. Спасибо большое за ответ и разбор этого...
[latexpage] Это же килограммы. Граммов будет $70\cdot10^{-3}$, или 70...
Добрый день! В задании 10 получилось такое же число, но не понимаю почему в ответе...
По-моему, там все...
Ошибочка в расчетах в 5 задаче. Ответ должен быть...