Задачи из книги Сергеева, Панферова “Математика. Профильный уровень. Задания части 2”. Стереометрия-3

Название статьи говорит само за себя. Представляю решения задач из указанной книги. Продолжение следует…

Задача 1. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды вдвое больше ее высоты. Найдите отношение радиуса вписанной  в пирамиду сферы к апофеме пирамиды.

 

Пусть , . Определим длину ребра основания. Для этого по теореме Пифагора для треугольника найдем :

   

– половина диагонали основания, следовательно, диагональ  . А сторона основания тогда .

Определим апофему.

   

Радиус вписанной сферы равен радиусу окружности, вписанной в треугольник . Для его нахождения воспользуемся формулой

   

Площадь этого треугольника

   

Определим полупериметр:

   

   

Считаем радиус:

   

Определяем отношение радиуса к апофеме:

   

Ответ: .

Задача 2. В правильной пирамиде высотой и ребром основания угол между боковым ребром и плоскостью основания равен . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку Н параллельно ребрам и .

Построим чертеж:

Высота правильного треугольника основания равна . Точка является точкой пересечения медиан, а следовательно, поделит указанную высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда

   

Высоту пирамиды и отрезок связаны соотношением:

   

   

Рассмотрим треугольники и . Они подобны и для них мы запишем отношения сходственных сторон:

   

Тогда

   

   

А для подобных треугольников и справедливо, что

   

   

   

Сечение представляет собой прямоугольник. Стороны и параллельны прямой , и, следовательно, параллельны, стороны и параллельны прямой и тоже параллельны. Прямая перпендикулярна прямой , следовательно, прямая – проекция прямой на секущую плоскость – тоже перпендикулярна . А так как по построению параллельна , то – прямоугольник. Его площадь равна

   

Ответ: .

Задача 3. Плоскость, параллельная боковому ребру и ребру  основания правильной пирамиды , проходит на расстоянии от ребра . Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

Для определения площади сечения надо определить длины его сторон. Сечение – прямоугольник, доказательство этого факта приведено в предыдущей задаче. Его площадь будет равна произведению

   

Определим длину .Для этого рассмотрим треугольник .

Из подобия треугольников и следует отношение их сходственных сторон. Обозначим длину высоты треугольника , тогда по свойству афинной эквивалентности

   

Определим . Сделаем это через площадь треугольника . С одной стороны,

   

С другой,

   

Тогда

   

   

В треугольнике – высота правильного треугольника основания, . Высота этого треугольника, опущенная на – это высота пирамиды. Вершина пирамиды проецируется в центр основания. Центр основания – точка пересечения медиан, которые делятся точкой пересечения в отношении 2:1, поэтому

   

   

Тогда :

   

Определяем :

   

С использованием свойств афинной эквивалентности можно записать:

   

   

Площадь сечения равна

   

Ответ: .

Задача 4. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой Н и двугранным углом при боковом ребре.

Сделаем чертеж.

 

Обозначим диагональ основания пирамиды . Изобразим линейный угол двугранного угла. Для этого проведем перпендикуляры и   к ребру – угол и будет линейным углом указанного двугранного. Обозначим отрезок .  Тогда

   

Если обозначить сторону основания , то . Тогда

   

Так как нам в конечном итоге нужен объем, то определим и возведем в квадрат – это и будет площадью основания.

   

   

Пусть длина бокового ребра равна . Тогда для треугольника запишем теорему Пифагора:

   

Или

   

Здесь – высота пирамиды. Пусть апофема пирамиды , она равна

   

Площадь боковой грани можно записать двумя способами: через апофему и основание, а также через длину бокового ребра и высоту .

   

Для удобства возведем в квадрат:

   

Теперь подставим в это равенство квадраты длин отрезков, найденные нами ранее:

   

   

   

   

   

Чтобы упростить, привлечем на помощь тригонометрию:

   

   

   

Подставляем:

   

Теперь, наконец, объем:

   

Ответ: .

Задача 5. В правильной пирамиде  с вершиной боковое ребро равно , а  двугранный  угол при этом ребре равен . Найдите площадь сечения пирамиды  плоскостью, проходящей через точки и  середину ребра .

Задача близка к предыдущей и мы этим воспользуемся. Из треугольника

   

В предыдущей задаче установлена связь

   

Тогда, зная это, (а ведь это площадь основания), найдем ее четверть, ведь это – площадь проекции искомого сечения на основание, потому что высота треугольника вдвое меньше высоты треугольника , а его площадь равна половине площади основания:

   

Далее мы воспользуемся тем, что

   

   

Где – угол наклона сечения к основанию.

Поработаем еще с формулой (1), вытащим высоту:

   

   

   

Теперь подставим эту высоту в формулу для найденной площади проекции сечения (в формулу (2)):

   

Свяжем угол наклона плоскости сечения к основанию и линейный угол двугранного угла, для этого определим тангенс угла :

   

Известно (из тригонометрии), что

   

Тогда

   

Определяем площадь сечения:

   

Ответ: .

Задача 6. Все ребра правильной пирамиды  с вершиной равны 2. Плоскость, параллельная прямым и , пересекает ребра и в точках М и N. Найдите периметр сечения пирамиды этой плоскостью, если .

Построим сечение:

Периметр сечения равен

   

   

   

Будем находить длины этих отрезков поэтапно. Самое простое – длина отрезка . Это средняя линия треугольника . Так как ребра основания равны 2, то диагональ основания .

   

и – средние линии соответствующих треугольников и . Поэтому .

Осталось определить длины отрезков и .

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный и прямоугольный, прямой угол при вершине . Это следует из соотношения длин ребер. Тогда

   

. Тогда, так как  , то . Кроме того, это также означает, что , а по теореме о трех перпендикулярах это означает, что . Треугольник прямоугольный, запишем теорему Пифагора для него, :

   

   

Таким образом, .