Название статьи говорит само за себя. Представляю решения задач из указанной книги. Продолжение следует…
Задача 1. Найдите высоту пирамиды, основанием которой служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9, если ее боковые ребра наклонены к основанию под углом .Определим площадь основания пирамиды по формуле Герона.
Радиус описанной около основания окружности равен
Высота пирамиды будет равна
Ответ: .
Задача 2. Найдите объем пирамиды, если ее основанием служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 3 и углом , а боковые ребра наклонены к основанию под углом
.
Решить прямоугольный треугольник несложно, катет, лежащий против угла в , равен
, а прилежащий –
. Тогда площадь треугольника
Радиус описанной около треугольника основания окружности равен половине гипотенузы, высота пирамиды
Объем пирамиды равен
Ответ: .
Задача 3. Основанием пирамиды с высотой
служит прямоугольный треугольник
с гипотенузой
, а двугранные углы при ребрах основания равны
. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если
и
.
Задача действительно непростая. Давайте «раскручивать» ее потихоньку. Во-первых, построим чертеж и разберемся, какие углы являются линейными углами указанных двугранных углов.

К задаче 3
Проведем высоты всех боковых граней. Это отрезки . Линейными углами двугранных углов при основании будут углы
. В прямоугольных треугольниках
острые углы равны, а также они имеют общий катет
, следовательно, треугольники равны. Отсюда
. Так как
(проекция
на основание),
(проекция
на основание),
(проекция
на основание), то
являются радиусами вписанной в треугольник основания окружности. А центр вписанной окружности – это точка пересечения биссектрис треугольника. Тогда
и
– биссектрисы треугольника
и углы
,
,
равны. Это позволяет нам найти угол
. Так как треугольник основания – прямоугольный, то сумма его острых углов
. Это можно переписать так:
Следовательно, угол .
Теперь в треугольнике нам известны две стороны (
и
) и угол между ними. Это позволяет нам найти третью сторону этого треугольника. Воспользуемся для этого теоремой косинусов.
Также мы можем найти площадь треугольника двумя способами: через основание и высоту и через две стороны и угол между ними:
Тогда длина равна
Этот отрезок – радиус вписанной окружности, а для радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности известна формула:
Тогда
Ну а периметр треугольника основания равен
Теперь нам будет нужна высота грани. Отрезки в силу равенства треугольников
. Для треугольника
запишем:
Из основного тригонометрического тождества определяем , тогда
Определяем площадь боковой поверхности пирамиды:
Ответ: .
Задача 4. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды объемом и высотой 3 .
Из объема и высоты определим площадь основания пирамиды:
Тогда можно определить сторону основания пирамиды:
Длина бокового ребра равна
Теперь найдем радиус описанной сферы:
Ответ: .
Задача 5. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если радиус описанной около нее сферы равен 2, а боковое ребро в раз больше ребра основания.
Пусть ребро основания равно , тогда боковое
. Площадь основания пирамиды равна
, половина диагонали основания
. Высоту пирамиды найдем по теореме Пифагора:
Радиус описанной сферы
Откуда .
Определим теперь объем пирамиды.
Ответ: .
Как вышло - так и...
В №29 ответ 9.8...
Понял. Спасибо большое за ответ и разбор этого...
[latexpage] Это же килограммы. Граммов будет $70\cdot10^{-3}$, или 70...
Добрый день! В задании 10 получилось такое же число, но не понимаю почему в ответе...