Задачи из книги Сергеева, Панферова “Математика. Профильный уровень. Задания части 2”. Стереометрия-2

[latexpage]

Название статьи говорит само за себя. Представляю решения задач из указанной книги. Продолжение следует…

Задача 1. Найдите высоту пирамиды, основанием которой служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9, если ее боковые ребра наклонены к основанию под углом $60^{\circ}$.Определим площадь основания пирамиды по формуле Герона.

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-a)(p-c)}=\sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}=12\sqrt{5}$$

Радиус описанной около основания окружности равен

$$R=\frac{abc}{4S}=\frac{21}{2\sqrt{5}}$$

Высота пирамиды будет равна

$$H=R\operatorname{tg}{60^{\circ}}=\frac{21\sqrt{15}}{10}$$

Ответ: $H=\frac{21\sqrt{15}}{10}$.

Задача 2. Найдите объем пирамиды, если ее основанием служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 3 и углом $30^{\circ}$,  а боковые ребра наклонены к основанию под углом $60^{\circ}$.
Решить прямоугольный треугольник несложно, катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен $a=1,5$, а прилежащий – $b=\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Тогда площадь треугольника

$$S=\frac{ab}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$$

Радиус описанной около треугольника основания окружности равен половине гипотенузы, высота пирамиды

$$H=R\operatorname{tg}{60^{\circ}}=1,5\sqrt{3}$$

Объем пирамиды равен

$$V=\frac{1}{3}S\cdot H=\frac{1}{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{8}\cdot1,5\sqrt{3}=\frac{27}{16}$$

Ответ: $V=\frac{27}{16}$.
Задача 3. Основанием пирамиды $SABC$ с высотой $SH$ служит прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$, а двугранные  углы при ребрах основания равны  $\arcsin{\frac{5}{13}}$ . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если $AH=1$ и $BH= 3\sqrt{2}$.

Задача действительно непростая. Давайте «раскручивать» ее потихоньку. Во-первых, построим чертеж и разберемся, какие углы являются линейными углами указанных  двугранных углов.

К задаче 3

Проведем высоты всех боковых граней. Это отрезки $SZ, SY, SW$. Линейными углами двугранных углов при основании будут углы $SZH, SYH, SWH$. В прямоугольных треугольниках $SZH, SYH, SWH$ острые  углы равны, а также они имеют общий катет $SH$, следовательно, треугольники равны.  Отсюда $HY=HZ=HW$.  Так как $HY \perp BC$ (проекция $SY$ на основание), $HZ \perp AB$ (проекция $SZ$ на основание), $HW\perp AC$ (проекция $SW$ на основание), то $HY=HZ=HW$ являются радиусами вписанной в треугольник основания окружности. А центр вписанной окружности – это точка пересечения биссектрис треугольника. Тогда $AH, BH$ и $CH$ – биссектрисы треугольника $ABC$ и углы $\angle ZAH=\angle HAW$, $\angle WCH=\angle HCY$, $\angle YBH=\angle HBZ$ равны. Это позволяет нам найти угол $AHB$. Так как треугольник основания – прямоугольный, то сумма его острых углов $\angle A+\angle B=90^{\circ}$. Это можно переписать так:

$$\angle ZAH+\angle HAW+\angle YBH+\angle HBZ=90^{\circ}$$

$$2\angle ZAH+2\angle HBZ=90^{\circ}$$
$$\angle ZAH+\angle HBZ=45^{\circ}$$

Следовательно, угол $\angle AHB=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$.

Теперь в треугольнике $ABH$ нам известны две стороны ($AH$ и $BH$) и угол между ними. Это позволяет нам найти третью сторону этого треугольника. Воспользуемся для этого теоремой косинусов.

$$AB^2=AH^2+BH^2-2 AH\cdot BH\cdot\cos{\angle AHB}$$

$$AB^2=1+18-2\cdot 1 \cdot 3\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=19+6=25$$

$$AB=5$$

Также мы можем найти площадь треугольника $ABH$ двумя способами: через основание и высоту и через две стороны и угол между ними:

$$S_{ABH}=\frac{1}{2}AB\cdot ZH=\frac{1}{2}AH\cdot BH\cdot\sin{\angle AHB}$$

Тогда длина  $ZH$ равна

$$ZH=\frac{ AH\cdot BH\cdot\sin{\angle AHB}}{AB}=\frac{ 1\cdot 3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{5}=\frac{3}{5}$$

Этот отрезок – радиус вписанной окружности, а для радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности известна формула:

$$r=\frac{a+b-c}{2}$$

Тогда

$$a+b=2r+c=\frac{6}{5}+5=6\frac{1}{5}$$

Ну а периметр треугольника основания равен

$$P=a+b+c=6\frac{1}{5}+5=11\frac{1}{5}$$

Теперь нам будет нужна высота грани. Отрезки $SZ=SY=SW$ в силу равенства треугольников $SZH, SYH, SWH$. Для треугольника $SZH$ запишем:

$$\frac{ZH}{ZS}=\cos{\angle HZS}$$

$$ZS=\frac{ZH}{\cos{\angle HZS}}$$

Из основного тригонометрического тождества определяем $\cos{\angle HZS}=\frac{12}{13}$, тогда

$$ ZS=\frac{3}{5}\cdot\frac{13}{12}=\frac{13}{20}$$

Определяем площадь боковой поверхности пирамиды:
$$S_b=\frac{1}{2}P\cdotZS=\frac{1}{2}\cdot11\frac{1}{5}\cdot\frac{13}{20}=3,64$$

Ответ: $S_b=3,64$.
Задача 4. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды объемом $9\sqrt{3}$ и высотой 3 .

Из объема и высоты определим площадь основания пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}Sh$$

$$S=\frac{3V}{h}=\frac{27\sqrt{3}}{3}=9\sqrt{3}$$

Тогда можно определить сторону основания пирамиды:

$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

$$a=\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}=6$$

Длина бокового ребра равна

$$l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{\frac{a^2}{3}+h^2}=\sqrt{12+9}=\sqrt{21}$$

Теперь найдем радиус описанной сферы:

$$R=\frac{l^2}{2H}=\frac{21}{6}=3,5$$

Ответ: $R=3,5$.

Задача 5. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если радиус описанной около нее сферы равен 2, а боковое ребро в $\sqrt{2}$ раз больше ребра основания.

Пусть ребро основания равно $a$, тогда боковое $l=a\sqrt{2}$. Площадь основания пирамиды равна $S=a^2$, половина диагонали основания $k=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Высоту пирамиды найдем по теореме Пифагора:

$$H=\sqrt{l^2-k^2}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

Радиус описанной сферы

$$R=\frac{l^2}{2H}=\frac{2a^2\sqrt{2}}{2a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2$$

Откуда $a=\sqrt{6}$.

Определим теперь объем пирамиды.

$$V=\frac{1}{3}S\cdot H =\frac{1}{3}a^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{a^3}{\sqrt{6}}=6$$

Ответ: $V=6$.