Задачи из книги Сергеева, Панферова “Математика. Профильный уровень. Задания части 2”. Стереометрия-2

Название статьи говорит само за себя. Представляю решения задач из указанной книги. Продолжение следует…

Задача 1. Найдите высоту пирамиды, основанием которой служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9, если ее боковые ребра наклонены к основанию под углом .Определим площадь основания пирамиды по формуле Герона.

Радиус описанной около основания окружности равен

Высота пирамиды будет равна

Ответ: .

Задача 2. Найдите объем пирамиды, если ее основанием служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 3 и углом ,  а боковые ребра наклонены к основанию под углом .
Решить прямоугольный треугольник несложно, катет, лежащий против угла в , равен , а прилежащий – . Тогда площадь треугольника

Радиус описанной около треугольника основания окружности равен половине гипотенузы, высота пирамиды

Объем пирамиды равен

Ответ: .
Задача 3. Основанием пирамиды с высотой служит прямоугольный треугольник с гипотенузой , а двугранные  углы при ребрах основания равны   . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если и .

Задача действительно непростая. Давайте «раскручивать» ее потихоньку. Во-первых, построим чертеж и разберемся, какие углы являются линейными углами указанных  двугранных углов.

К задаче 3

Проведем высоты всех боковых граней. Это отрезки . Линейными углами двугранных углов при основании будут углы . В прямоугольных треугольниках острые  углы равны, а также они имеют общий катет , следовательно, треугольники равны.  Отсюда .  Так как (проекция на основание), (проекция на основание), (проекция на основание), то являются радиусами вписанной в треугольник основания окружности. А центр вписанной окружности – это точка пересечения биссектрис треугольника. Тогда и – биссектрисы треугольника и углы , , равны. Это позволяет нам найти угол . Так как треугольник основания – прямоугольный, то сумма его острых углов . Это можно переписать так:

Следовательно, угол .

Теперь в треугольнике нам известны две стороны ( и ) и угол между ними. Это позволяет нам найти третью сторону этого треугольника. Воспользуемся для этого теоремой косинусов.

Также мы можем найти площадь треугольника двумя способами: через основание и высоту и через две стороны и угол между ними:

Тогда длина  равна

Этот отрезок – радиус вписанной окружности, а для радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности известна формула:

Тогда

Ну а периметр треугольника основания равен

Теперь нам будет нужна высота грани. Отрезки в силу равенства треугольников . Для треугольника запишем:

Из основного тригонометрического тождества определяем , тогда

Определяем площадь боковой поверхности пирамиды:

Ответ: .
Задача 4. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды объемом и высотой 3 .

Из объема и высоты определим площадь основания пирамиды:

Тогда можно определить сторону основания пирамиды:

Длина бокового ребра равна

Теперь найдем радиус описанной сферы:

Ответ: .

Задача 5. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если радиус описанной около нее сферы равен 2, а боковое ребро в раз больше ребра основания.

Пусть ребро основания равно , тогда боковое . Площадь основания пирамиды равна , половина диагонали основания . Высоту пирамиды найдем по теореме Пифагора:

Радиус описанной сферы

Откуда .

Определим теперь объем пирамиды.

Ответ: .