[latexpage]
Название статьи говорит само за себя. Представляю решения задач из указанной книги. Продолжение следует…
Задача 1. Найдите высоту пирамиды, основанием которой служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9, если ее боковые ребра наклонены к основанию под углом $60^{\circ}$.Определим площадь основания пирамиды по формуле Герона.
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-a)(p-c)}=\sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}=12\sqrt{5}$$
Радиус описанной около основания окружности равен
$$R=\frac{abc}{4S}=\frac{21}{2\sqrt{5}}$$
Высота пирамиды будет равна
$$H=R\operatorname{tg}{60^{\circ}}=\frac{21\sqrt{15}}{10}$$
Ответ: $H=\frac{21\sqrt{15}}{10}$.
Задача 2. Найдите объем пирамиды, если ее основанием служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 3 и углом $30^{\circ}$, а боковые ребра наклонены к основанию под углом $60^{\circ}$.
Решить прямоугольный треугольник несложно, катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен $a=1,5$, а прилежащий – $b=\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Тогда площадь треугольника
$$S=\frac{ab}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$$
Радиус описанной около треугольника основания окружности равен половине гипотенузы, высота пирамиды
$$H=R\operatorname{tg}{60^{\circ}}=1,5\sqrt{3}$$
Объем пирамиды равен
$$V=\frac{1}{3}S\cdot H=\frac{1}{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{8}\cdot1,5\sqrt{3}=\frac{27}{16}$$
Ответ: $V=\frac{27}{16}$.
Задача 3. Основанием пирамиды $SABC$ с высотой $SH$ служит прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$, а двугранные углы при ребрах основания равны $\arcsin{\frac{5}{13}}$ . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если $AH=1$ и $BH= 3\sqrt{2}$.
Задача действительно непростая. Давайте «раскручивать» ее потихоньку. Во-первых, построим чертеж и разберемся, какие углы являются линейными углами указанных двугранных углов.

К задаче 3
Проведем высоты всех боковых граней. Это отрезки $SZ, SY, SW$. Линейными углами двугранных углов при основании будут углы $SZH, SYH, SWH$. В прямоугольных треугольниках $SZH, SYH, SWH$ острые углы равны, а также они имеют общий катет $SH$, следовательно, треугольники равны. Отсюда $HY=HZ=HW$. Так как $HY \perp BC$ (проекция $SY$ на основание), $HZ \perp AB$ (проекция $SZ$ на основание), $HW\perp AC$ (проекция $SW$ на основание), то $HY=HZ=HW$ являются радиусами вписанной в треугольник основания окружности. А центр вписанной окружности – это точка пересечения биссектрис треугольника. Тогда $AH, BH$ и $CH$ – биссектрисы треугольника $ABC$ и углы $\angle ZAH=\angle HAW$, $\angle WCH=\angle HCY$, $\angle YBH=\angle HBZ$ равны. Это позволяет нам найти угол $AHB$. Так как треугольник основания – прямоугольный, то сумма его острых углов $\angle A+\angle B=90^{\circ}$. Это можно переписать так:
$$\angle ZAH+\angle HAW+\angle YBH+\angle HBZ=90^{\circ}$$
$$2\angle ZAH+2\angle HBZ=90^{\circ}$$
$$\angle ZAH+\angle HBZ=45^{\circ}$$
Следовательно, угол $\angle AHB=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$.
Теперь в треугольнике $ABH$ нам известны две стороны ($AH$ и $BH$) и угол между ними. Это позволяет нам найти третью сторону этого треугольника. Воспользуемся для этого теоремой косинусов.
$$AB^2=AH^2+BH^2-2 AH\cdot BH\cdot\cos{\angle AHB}$$
$$AB^2=1+18-2\cdot 1 \cdot 3\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=19+6=25$$
$$AB=5$$
Также мы можем найти площадь треугольника $ABH$ двумя способами: через основание и высоту и через две стороны и угол между ними:
$$S_{ABH}=\frac{1}{2}AB\cdot ZH=\frac{1}{2}AH\cdot BH\cdot\sin{\angle AHB}$$
Тогда длина $ZH$ равна
$$ZH=\frac{ AH\cdot BH\cdot\sin{\angle AHB}}{AB}=\frac{ 1\cdot 3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{5}=\frac{3}{5}$$
Этот отрезок – радиус вписанной окружности, а для радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности известна формула:
$$r=\frac{a+b-c}{2}$$
Тогда
$$a+b=2r+c=\frac{6}{5}+5=6\frac{1}{5}$$
Ну а периметр треугольника основания равен
$$P=a+b+c=6\frac{1}{5}+5=11\frac{1}{5}$$
Теперь нам будет нужна высота грани. Отрезки $SZ=SY=SW$ в силу равенства треугольников $SZH, SYH, SWH$. Для треугольника $SZH$ запишем:
$$\frac{ZH}{ZS}=\cos{\angle HZS}$$
$$ZS=\frac{ZH}{\cos{\angle HZS}}$$
Из основного тригонометрического тождества определяем $\cos{\angle HZS}=\frac{12}{13}$, тогда
$$ ZS=\frac{3}{5}\cdot\frac{13}{12}=\frac{13}{20}$$
Определяем площадь боковой поверхности пирамиды:
$$S_b=\frac{1}{2}P\cdotZS=\frac{1}{2}\cdot11\frac{1}{5}\cdot\frac{13}{20}=3,64$$
Ответ: $S_b=3,64$.
Задача 4. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды объемом $9\sqrt{3}$ и высотой 3 .
Из объема и высоты определим площадь основания пирамиды:
$$V=\frac{1}{3}Sh$$
$$S=\frac{3V}{h}=\frac{27\sqrt{3}}{3}=9\sqrt{3}$$
Тогда можно определить сторону основания пирамиды:
$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$a=\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}=6$$
Длина бокового ребра равна
$$l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{\frac{a^2}{3}+h^2}=\sqrt{12+9}=\sqrt{21}$$
Теперь найдем радиус описанной сферы:
$$R=\frac{l^2}{2H}=\frac{21}{6}=3,5$$
Ответ: $R=3,5$.
Задача 5. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если радиус описанной около нее сферы равен 2, а боковое ребро в $\sqrt{2}$ раз больше ребра основания.
Пусть ребро основания равно $a$, тогда боковое $l=a\sqrt{2}$. Площадь основания пирамиды равна $S=a^2$, половина диагонали основания $k=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Высоту пирамиды найдем по теореме Пифагора:
$$H=\sqrt{l^2-k^2}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$
Радиус описанной сферы
$$R=\frac{l^2}{2H}=\frac{2a^2\sqrt{2}}{2a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2$$
Откуда $a=\sqrt{6}$.
Определим теперь объем пирамиды.
$$V=\frac{1}{3}S\cdot H =\frac{1}{3}a^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{a^3}{\sqrt{6}}=6$$
Ответ: $V=6$.
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...