Задачи из книги Сергеева, Панферова "Математика. Профильный уровень. Задания части 2". Стереометрия-2

Задачи из книги Сергеева, Панферова “Математика. Профильный уровень. Задания части 2”. Стереометрия-2

Название статьи говорит само за себя. Представляю решения задач из указанной книги. Продолжение следует…

Задача 1. Найдите высоту пирамиды, основанием которой служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9, если ее боковые ребра наклонены к основанию под углом $60^{\circ}$ .Определим площадь основания пирамиды по формуле Герона.

$S=\sqrt{p(p-a)(p-a)(p-c)}=\sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}=12\sqrt{5}$

Радиус описанной около основания окружности равен

$R=\frac{abc}{4S}=\frac{21}{2\sqrt{5}}$

Высота пирамиды будет равна

$H=R\operatorname{tg}{60^{\circ}}=\frac{21\sqrt{15}}{10}$

Ответ: $H=\frac{21\sqrt{15}}{10}$ .

Задача 2. Найдите объем пирамиды, если ее основанием служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 3 и углом $30^{\circ}$ , а боковые ребра наклонены к основанию под углом $60^{\circ}$ .
Решить прямоугольный треугольник несложно, катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$ , равен $a=1,5$ , а прилежащий – $b=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ . Тогда площадь треугольника

$S=\frac{ab}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$

Радиус описанной около треугольника основания окружности равен половине гипотенузы, высота пирамиды

$H=R\operatorname{tg}{60^{\circ}}=1,5\sqrt{3}$

Объем пирамиды равен

$V=\frac{1}{3}S\cdot H=\frac{1}{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{8}\cdot1,5\sqrt{3}=\frac{27}{16}$

Ответ: $V=\frac{27}{16}$ .
Задача 3. Основанием пирамиды $SABC$ с высотой $SH$ служит прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$ , а двугранные углы при ребрах основания равны $\arcsin{\frac{5}{13}}$ . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если $AH=1$ и $BH= 3\sqrt{2}$ .

Задача действительно непростая. Давайте «раскручивать» ее потихоньку. Во-первых, построим чертеж и разберемся, какие углы являются линейными углами указанных двугранных углов.

К задаче 3

Проведем высоты всех боковых граней. Это отрезки $SZ, SY, SW$ . Линейными углами двугранных углов при основании будут углы $SZH, SYH, SWH$ . В прямоугольных треугольниках $SZH, SYH, SWH$ острые углы равны, а также они имеют общий катет $SH$ , следовательно, треугольники равны. Отсюда $HY=HZ=HW$ . Так как $HY \perp BC$ (проекция $SY$ на основание), $HZ \perp AB$ (проекция $SZ$ на основание), $HW\perp AC$ (проекция $SW$ на основание), то $HY=HZ=HW$ являются радиусами вписанной в треугольник основания окружности. А центр вписанной окружности – это точка пересечения биссектрис треугольника. Тогда $AH, BH$ и $CH$ – биссектрисы треугольника $ABC$ и углы $\angle ZAH=\angle HAW$ , $\angle WCH=\angle HCY$ , $\angle YBH=\angle HBZ$ равны. Это позволяет нам найти угол $AHB$ . Так как треугольник основания – прямоугольный, то сумма его острых углов $\angle A+\angle B=90^{\circ}$ . Это можно переписать так:

$\angle ZAH+\angle HAW+\angle YBH+\angle HBZ=90^{\circ}$

$2\angle ZAH+2\angle HBZ=90^{\circ}$

$\angle ZAH+\angle HBZ=45^{\circ}$

Следовательно, угол $\angle AHB=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$ .

Теперь в треугольнике $ABH$ нам известны две стороны ( $AH$ и $BH$ ) и угол между ними. Это позволяет нам найти третью сторону этого треугольника. Воспользуемся для этого теоремой косинусов.

$AB^2=AH^2+BH^2-2 AH\cdot BH\cdot\cos{\angle AHB}$

$AB^2=1+18-2\cdot 1 \cdot 3\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=19+6=25$

$AB=5$

Также мы можем найти площадь треугольника $ABH$ двумя способами: через основание и высоту и через две стороны и угол между ними:

$S_{ABH}=\frac{1}{2}AB\cdot ZH=\frac{1}{2}AH\cdot BH\cdot\sin{\angle AHB}$

Тогда длина $ZH$ равна

$ZH=\frac{ AH\cdot BH\cdot\sin{\angle AHB}}{AB}=\frac{ 1\cdot 3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{5}=\frac{3}{5}$

Этот отрезок – радиус вписанной окружности, а для радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности известна формула:

$r=\frac{a+b-c}{2}$

Тогда

$a+b=2r+c=\frac{6}{5}+5=6\frac{1}{5}$

Ну а периметр треугольника основания равен

$P=a+b+c=6\frac{1}{5}+5=11\frac{1}{5}$

Теперь нам будет нужна высота грани. Отрезки $SZ=SY=SW$ в силу равенства треугольников $SZH, SYH, SWH$ . Для треугольника $SZH$ запишем:

$\frac{ZH}{ZS}=\cos{\angle HZS}$

$ZS=\frac{ZH}{\cos{\angle HZS}}$

Из основного тригонометрического тождества определяем $\cos{\angle HZS}=\frac{12}{13}$ , тогда

$ZS=\frac{3}{5}\cdot\frac{13}{12}=\frac{13}{20}$

Определяем площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_b=\frac{1}{2}P\cdotZS=\frac{1}{2}\cdot11\frac{1}{5}\cdot\frac{13}{20}=3,64$

Ответ: $S_b=3,64$ .
Задача 4. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды объемом $9\sqrt{3}$ и высотой 3 .

Из объема и высоты определим площадь основания пирамиды:

$V=\frac{1}{3}Sh$

$S=\frac{3V}{h}=\frac{27\sqrt{3}}{3}=9\sqrt{3}$

Тогда можно определить сторону основания пирамиды:

$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$a=\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}=6$

Длина бокового ребра равна

$l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{\frac{a^2}{3}+h^2}=\sqrt{12+9}=\sqrt{21}$

Теперь найдем радиус описанной сферы:

$R=\frac{l^2}{2H}=\frac{21}{6}=3,5$

Ответ: $R=3,5$ .

Задача 5. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если радиус описанной около нее сферы равен 2, а боковое ребро в $\sqrt{2}$ раз больше ребра основания.

Пусть ребро основания равно $a$ , тогда боковое $l=a\sqrt{2}$ . Площадь основания пирамиды равна $S=a^2$ , половина диагонали основания $k=\frac{a}{\sqrt{2}}$ . Высоту пирамиды найдем по теореме Пифагора: