Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Задачи из книги Сергеева, Панферова “Математика. Профильный уровень. Задания части 2”. Стереометрия-2

Название статьи говорит само за себя. Представляю решения задач из указанной книги. Продолжение следует…

Задача 1. Найдите высоту пирамиды, основанием которой служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9, если ее боковые ребра наклонены к основанию под углом 60^{\circ}.Определим площадь основания пирамиды по формуле Герона.

    \[S=\sqrt{p(p-a)(p-a)(p-c)}=\sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}=12\sqrt{5}\]

Радиус описанной около основания окружности равен

    \[R=\frac{abc}{4S}=\frac{21}{2\sqrt{5}}\]

Высота пирамиды будет равна

    \[H=R\operatorname{tg}{60^{\circ}}=\frac{21\sqrt{15}}{10}\]

Ответ: H=\frac{21\sqrt{15}}{10}.

Задача 2. Найдите объем пирамиды, если ее основанием служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 3 и углом 30^{\circ},  а боковые ребра наклонены к основанию под углом 60^{\circ}.
Решить прямоугольный треугольник несложно, катет, лежащий против угла в 30^{\circ}, равен a=1,5, а прилежащий – b=\frac{3\sqrt{3}}{2}. Тогда площадь треугольника

    \[S=\frac{ab}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{8}\]

Радиус описанной около треугольника основания окружности равен половине гипотенузы, высота пирамиды

    \[H=R\operatorname{tg}{60^{\circ}}=1,5\sqrt{3}\]

Объем пирамиды равен

    \[V=\frac{1}{3}S\cdot H=\frac{1}{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{8}\cdot1,5\sqrt{3}=\frac{27}{16}\]

Ответ: V=\frac{27}{16}.
Задача 3. Основанием пирамиды SABC с высотой SH служит прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, а двугранные  углы при ребрах основания равны  \arcsin{\frac{5}{13}} . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если AH=1 и BH= 3\sqrt{2}.

Задача действительно непростая. Давайте «раскручивать» ее потихоньку. Во-первых, построим чертеж и разберемся, какие углы являются линейными углами указанных  двугранных углов.

К задаче 3

Проведем высоты всех боковых граней. Это отрезки SZ, SY, SW. Линейными углами двугранных углов при основании будут углы SZH, SYH, SWH. В прямоугольных треугольниках SZH, SYH, SWH острые  углы равны, а также они имеют общий катет SH, следовательно, треугольники равны.  Отсюда HY=HZ=HW.  Так как HY \perp BC (проекция SY на основание), HZ \perp AB (проекция SZ на основание), HW\perp AC (проекция SW на основание), то HY=HZ=HW являются радиусами вписанной в треугольник основания окружности. А центр вписанной окружности – это точка пересечения биссектрис треугольника. Тогда AH, BH и CH – биссектрисы треугольника ABC и углы \angle ZAH=\angle HAW, \angle WCH=\angle HCY, \angle YBH=\angle HBZ равны. Это позволяет нам найти угол AHB. Так как треугольник основания – прямоугольный, то сумма его острых углов \angle A+\angle B=90^{\circ}. Это можно переписать так:

    \[\angle ZAH+\angle HAW+\angle YBH+\angle HBZ=90^{\circ}\]

    \[2\angle ZAH+2\angle HBZ=90^{\circ}\]

    \[\angle ZAH+\angle HBZ=45^{\circ}\]

Следовательно, угол \angle AHB=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}.

Теперь в треугольнике ABH нам известны две стороны (AH и BH) и угол между ними. Это позволяет нам найти третью сторону этого треугольника. Воспользуемся для этого теоремой косинусов.

    \[AB^2=AH^2+BH^2-2 AH\cdot BH\cdot\cos{\angle AHB}\]

    \[AB^2=1+18-2\cdot 1 \cdot 3\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=19+6=25\]

    \[AB=5\]

Также мы можем найти площадь треугольника ABH двумя способами: через основание и высоту и через две стороны и угол между ними:

    \[S_{ABH}=\frac{1}{2}AB\cdot ZH=\frac{1}{2}AH\cdot BH\cdot\sin{\angle AHB}\]

Тогда длина  ZH равна

    \[ZH=\frac{ AH\cdot BH\cdot\sin{\angle AHB}}{AB}=\frac{ 1\cdot 3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{5}=\frac{3}{5}\]

Этот отрезок – радиус вписанной окружности, а для радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности известна формула:

    \[r=\frac{a+b-c}{2}\]

Тогда

    \[a+b=2r+c=\frac{6}{5}+5=6\frac{1}{5}\]

Ну а периметр треугольника основания равен

    \[P=a+b+c=6\frac{1}{5}+5=11\frac{1}{5}\]

Теперь нам будет нужна высота грани. Отрезки SZ=SY=SW в силу равенства треугольников SZH, SYH, SWH. Для треугольника SZH запишем:

    \[\frac{ZH}{ZS}=\cos{\angle HZS}\]

    \[ZS=\frac{ZH}{\cos{\angle HZS}}\]

Из основного тригонометрического тождества определяем \cos{\angle HZS}=\frac{12}{13}, тогда

    \[ZS=\frac{3}{5}\cdot\frac{13}{12}=\frac{13}{20}\]

Определяем площадь боковой поверхности пирамиды:

    \[S_b=\frac{1}{2}P\cdotZS=\frac{1}{2}\cdot11\frac{1}{5}\cdot\frac{13}{20}=3,64\]

Ответ: S_b=3,64.
Задача 4. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды объемом 9\sqrt{3} и высотой 3 .

Из объема и высоты определим площадь основания пирамиды:

    \[V=\frac{1}{3}Sh\]

    \[S=\frac{3V}{h}=\frac{27\sqrt{3}}{3}=9\sqrt{3}\]

Тогда можно определить сторону основания пирамиды:

    \[S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

    \[a=\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}=6\]

Длина бокового ребра равна

    \[l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{\frac{a^2}{3}+h^2}=\sqrt{12+9}=\sqrt{21}\]

Теперь найдем радиус описанной сферы:

    \[R=\frac{l^2}{2H}=\frac{21}{6}=3,5\]

Ответ: R=3,5.

Задача 5. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если радиус описанной около нее сферы равен 2, а боковое ребро в \sqrt{2} раз больше ребра основания.

Пусть ребро основания равно a, тогда боковое l=a\sqrt{2}. Площадь основания пирамиды равна S=a^2, половина диагонали основания k=\frac{a}{\sqrt{2}}. Высоту пирамиды найдем по теореме Пифагора:

    \[H=\sqrt{l^2-k^2}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\]

Радиус описанной сферы

    \[R=\frac{l^2}{2H}=\frac{2a^2\sqrt{2}}{2a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2\]

Откуда a=\sqrt{6}.

Определим теперь объем пирамиды.

    \[V=\frac{1}{3}S\cdot H =\frac{1}{3}a^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{a^3}{\sqrt{6}}=6\]

Ответ: V=6.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *