Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Задачи из книги Сергеева, Панферова “Математика. Профильный уровень. Задания части 2”. Стереометрия-1

Название статьи говорит само за себя. Представляю решения задач из указанной книги. Продолжение следует…

Задача 1. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды объемом 36, если ее высота вдвое больше радиуса окружности, описанной около основания.

Объем пирамиды определяется формулой:

   

– площадь основания, так как в основании – правильный треугольник, то

   

Радиус описанной окружности для правильного треугольника равен

   

Тогда высота пирамиды – вдвое больше:

   

Наконец, подставим это все в формулу объема:

   

Откуда

   

Ответ:

Задача 2. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды со стороной основания, равной , и углом  между боковыми ребрами.

К задаче 2

Давайте сначала определим длину бокового ребра . Это можно сделать как  по теореме синусов, так и по теореме косинусов. Воспользуемся первой.

   

   

   

Теперь определим высоту пирамиды: нам понадобится радиус описанной около основания  окружности. Из предыдущей задачи

   

Тогда высота пирамиды

   

Теперь, когда мы знаем высоту пирамиды и длину бокового ребра, найдем радиус описанной сферы по формуле:

   

Ответ:  .

Задача 3. Найдите двугранный угол при ребре основания правильной треугольной пирамиды, если угол между ее боковыми ребрами равен .

К задаче 3

Удобно будет найти этот угол через его косинус. Значит, нам понадобится высота пирамиды и радиус вписанной в ее основание окружности.

Как в предыдущей задаче, обозначим боковое ребро , а сторону основания – . Тогда (см. выше)

   

Теперь определим апофему пирамиды:

   

Радиус вписанной в основание окружности равен

   

Радиус найден в предыдущей задаче.

Тогда косинус искомого угла равен

   

Ответ: .

Задача 4. В правильной пирамиде с ребрами и проведены биссектриса боковой грани и медиана основания . Найдите .

К задаче 4

Рассмотрим треугольник . По свойству биссектрисы она разделит ребро в таком же отношении, как относятся длины и , поэтому

   

Откуда , .

Высота основания пирамиды равна , радиус вписанной в основание окружности равен . Определим апофему:

   

Через апофему и радиус определим высоту пирамиды:

   

   

Треугольники и подобны, запишем отношение их сходственных сторон:

   

   

Определим длину отрезка . Он втрое короче, чем отрезок из подобия тех же треугольников. Тогда

   

   

А длина отрезка тогда равна

   

   

Ответ: .


Задача 5. На высоте правильной треугольной пирамиды взята точка, удаленная от бокового ребра пирамиды на расстояние
и делящая высоту в отношении 1 : 2, считая от вершины. Найдите объем пирамиды, если ее боковые грани наклонены к основанию под углом .

К задаче 5

По условию, , , .
Так как угол наклона боковых граней к основанию равен , то .

Треугольник подобен треугольнику , откуда

   

   

Высота пирамиды тогда равна

   

Отрезок – радиус описанной около треугольника окружности. Следовательно, сторона основания

   

Теперь мы уже почти знаем площадь основания:

   

А теперь и объем легко определить:

   

Ответ: .

Комментариев - 2

  • Kirill
    |

    А где вторая часть?!
    Спасибо!!

    Ответить
    • Анна
      |

      Вот уже не только вторая, а и третья опубликована.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *