Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Равнопеременное движение

Задачи ЕГЭ на равноускоренное движение

Задачи для этой статьи взяты из книги “Отличник ЕГЭ. Физика. Решение сложных задач.” Задачи не сложные, но требующие внимательности, и аккуратности при составлении уравнений. И снова тот же совет: решать больше самостоятельно. Но примеры решений всегда полезны.

Задача 1. За время t=2 с прямолинейного равноускоренного движения тело прошло путь S=20 м, увеличив свою скорость в n=3 раза. Определите конечную скорость тела.

Пусть скорость тела была \upsilon_0, тогда через 2 с она стала равна \upsilon=3\upsilon_0.  Зная путь, пройденный телом, можем найти ускорение:

    \[\upsilon^2-\upsilon_0^2=2aS\]

    \[a=\frac{\upsilon^2-\upsilon_0^2}{2S}=\frac{8\upsilon_0^2}{2S}=\frac{4\upsilon_0^2}{S}\]

Тогда можно записать пройденный телом путь как:

    \[S=\upsilon_0 t+\frac{4\upsilon_0^2}{S} \frac{t^2}{2}=\upsilon_0 t+\frac{2\upsilon_0^2t^2}{S}\]

Получили квадратное уравнение относительно \upsilon_0, решим его:

    \[\frac{2\upsilon_0^2t^2}{S}+\upsilon_0 t-S=0\]

    \[D=t^2+4S\frac{2t^2}{S}=9t^2\]

    \[\upsilon_0=\frac{(-t+3t)S}{4t^2}=\frac{S}{2t}=5\]

Конечная скорость тогда равна 3\upsilon_0=15 м/с.

Ответ: 15 м/с.

 

Задача 2. Мимо остановки по прямой улице проезжает грузовик со скоростью 10 м/с. Через t=5 с от остановки вдогонку грузовику отъезжает мотоциклист, движущийся с ускорением 3 м/с^2. На каком расстоянии S от остановки мотоциклист догонит грузовик?

Путь, пройденный мотоциклистом, равен:

    \[S=\frac{at_m^2}{2}\]

Путь, пройденный грузовиком до и за время движения мотоцикла:

    \[S=\upsilon (t_m+t)\]

Приравняем и решим квадратное уравнение относительно t_m:

    \[\frac{at_m^2}{2}=\upsilon (t_m+t)\]

    \[\frac{at_m^2}{2}-\upsilon (t_m+t)=0\]

    \[D=\upsilon^2+2at \upsilon=400\]

    \[t_m=\frac{\upsilon+\sqrt{D}}{a}=\frac{10+20}{3}=10\]

Тогда от остановки встреча произошла на расстоянии \upsilon (t_m+t)=10 \cdot 15=150 м.

Ответ: 150 м.

Задача 3. Пассажир, стоящий на перроне, заметил, что первый вагон электропоезда, приближающегося к станции, прошел мимо него в течение t_1=4 с, а второй – в течение t_2=5 с. Определить ускорение поезда a, если передний конец поезда остановился на расстоянии L=75 м от пассажира? Движение поезда считать равнозамедленным.

Обозначим длину вагона L. Поезд  подошел к пассажиру со скоростью \upsilon_0. Тогда для первого вагона запишем:

    \[L=\upsilon_0 t_1-\frac{at_1^2}{2}\]

Второй вагон подошел к пассажиру уже со скоростью \upsilon_1:

    \[\upsilon_1=\upsilon_0-a t_1\]

Тогда для  второго вагона:

    \[L=\upsilon_1 t_2-\frac{at_2^2}{2}=(\upsilon_0-a t_1) t_2-\frac{at_2^2}{2}\]

Так как поезд затем полностью остановился, то

    \[\upsilon_0^2-\upsilon_k^2=-2aS\]

    \[\upsilon_0^2=-2aS\]

    \[a=-\frac{\upsilon_0^2}{2S}\]

Приравняем выражения, записанные для первого и второго вагонов:

    \[\upsilon_0 t_1-\frac{at_1^2}{2}=(\upsilon_0-a t_1) t_2-\frac{at_2^2}{2}\]

    \[\upsilon_0 (t_1-t_2)=a \left(\frac{t_1^2}{2}- t_1 t_2-\frac{t_2^2}{2}\right)\]

Подставим a=-\frac{\upsilon_0^2}{2S}:

    \[\upsilon_0 (t_1-t_2)= -\frac{\upsilon_0^2}{2S} \left(\frac{t_1^2}{2}- t_1 t_2-\frac{t_2^2}{2}\right)\]

Разделим на \upsilon_0 обе части:

    \[(t_1-t_2)= -\frac{\upsilon_0}{2S} \left(\frac{t_1^2}{2}- t_1 t_2-\frac{t_2^2}{2}\right)\]

Выразим \upsilon_0:

    \[\upsilon_0=\frac{2S(t_1-t_2)}{\left(-\frac{t_1^2}{2}+ t_1 t_2+\frac{t_2^2}{2}\right)}\]

    \[\upsilon_0=\frac{4S(t_1-t_2)}{\left(-t_1^2+ 2t_1 t_2+t_2^2}\right)}\]

Чтобы найти ускорение, найдем квадрат скорости:

    \[\upsilon_0^2=\frac{16S^2(t_1-t_2)^2}{\left(-t_1^2+2t_1 t_2+t_2^2}\right)^2}\]

Тогда искомое ускорение:

    \[a=-\frac{\upsilon_0^2}{2S}=-\frac{8S(t_1-t_2)^2}{\left(-t_1^2+2t_1 t_2+t_2^2\right)^2}=-\frac{8\cdot 75}{\left(-16+2\cdot4 \cdot 5+25\right)^2}=-0,25\]

Ответ: a=-0,25 м/c^2.

Комментариев - 2

  • Сергей
    |

    Здравствуйте! В первой задаче ошибка в строке после дискриминанта. В знаменателе вместо двойки должно быть 4t², в итоге получится, что v₀ в два раза меньше.

    Ещё можно обойтись без квадратного уравнения: выразить ускорение вторым способом a = (v-v₀) / t и приравнять это к ускорению, полученному во втором уравнении задачи. И выражать второе уравнение лучше сразу через v, а не v₀.

    Ответить
    • Анна
      |

      Согласна, кривенько, кривенько. Это старая статья. Теперь бы решала графически – вообще в два счета.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *