Задачи ЕГЭ на относительность движения

Задачи на относительность движения – пожалуй, самые сложные из задач кинематики. Здесь надо очень хорошо представлять себе, как будет выглядеть картина движения, если ты находишься на этом самом корабле и ощущаешь ветер на своем лице, или ты едешь на конце движущегося стержня и можешь видеть второй его конец. То есть нужно уметь поставить себя на место другого, и вообразить, что он ощущает или видит – это всегда сложно, и в задаче, и в жизни.

Задача 1. Один корабль идет по морю на север с постоянной скоростью 20 узлов, а другой – навстречу ему, на юг, с такой же скоростью. Корабли проходят на малом расстоянии друг от друга. Шлейф дыма от первого корабля вытянулся в направлении на запад, а от второго – на северо-запад. Определите модуль $\upsilon$ скорости ветра. 1 узел – 1 морская миля в час, 1 морская миля – 1852 м. Ответ выразить в км/ч и округлить до целых.

Для начала переведем скорость судов в км/ч: $u=20$ узлов/ час $=20\cdot 1,852$ км/ч $=37,04$ км/ч.

К задаче 1. Корабли и ветер

Пусть ветер дует под углом $\alpha$ по отношению к направлению на север. Так как первый корабль оставляет дым строго слева от себя, то это означает, что его скорость равна проекции скорости ветра на северное направление. Таким образом, корабль и ветер в этом направлении двигаются с одинаковой скоростью и скорость корабля «гасит» скорость ветра. Поэтому можем записать:

$\upsilon_k=\upsilon \cos{\alpha}$

Скорость второго корабля, наоборот, накладывается на скорость ветра, на его борту «ветер сильнее». Результатом сложения скоростей ветра и корабля является направление сноса дыма. Чтобы найти скорость ветра в неподвижной системе, нужно из скорости дыма вычесть скорость корабля, который здесь – подвижная система отсчета. Тогда:

$\vec{\upsilon}=\vec{\upsilon_k}+\vec{\upsilon_d}$

Вектора дымов и кораблей

Проекция скорости ветра на северное направление тогда равна

$\upsilon_k+\upsilon \cos{\alpha}=2\upsilon \cos{\alpha}$

Проекция скорости ветра на западное направление равна $\upsilon \sin{\alpha}$ , и, следовательно,

$\upsilon \cos{\alpha}+\upsilon_k=\upsilon \sin{\alpha}$

$2\upsilon \cos{\alpha}=\upsilon \sin{\alpha}$

$\operatorname{tg}{\alpha}=2$

$\alpha=\operatorname{arctg} 2=63^{\circ}$

Тогда скорость ветра равна:

$\upsilon=\frac{\upsilon_k }{\cos{\alpha}}=\frac{37,04}{\cos{63^{\circ}}}=\frac{37,04}{0,45}=82,7$

Ответ: 83 км/ч

Задача 2. Стержень скользит по инерции по гладкому горизонтальному столу. В некоторый момент времени в неподвижной системе отсчета скорости концов стержня составляют с направлением стержня углы $\alpha=30^{\circ}$ и $\beta=60^{\circ}$ . Какой угол $\gamma$ образует со стержнем в этот момент скорость его центра?

Пусть скорость одного конца стержня равна $\upsilon_1$ , а второго $\upsilon_2$ . Стержень участвует в двух движениях: в поступательном и вращательном. Если спроецировать скорости концов на направление стержня, то можно определить скорость поступательного движения, а проекции скорости, перпендикулярные направлению стержня, дадут возможность найти мгновенный центр вращения.

К задаче 2. Стержень

Проекции скорости на направление стержня обязаны быть равными, так как стержень не претерпевает растяжения:

$\upsilon_1 \cos{\alpha}=\upsilon_2 \cos{\beta}$

Проекции скоростей на перпендикулярное стержню направление относятся так же, как расстояния концов стержня до мгновенного центра вращения:

$\frac{\upsilon_1 \sin{\alpha}}{c}=\frac{l+x}{x}$

Отсюда

$x=\frac{\upsilon_1 \sin{\alpha} l}{\upsilon_2 \sin{\beta}-\upsilon_1 \sin{\alpha}}$

Теперь можем найти скорость середины стержня, и угол, под которым она направлена к стержню. Проекция скорости центра на направление стержня такая же, как и у концов: $\upsilon_1 \cos{\alpha}$ . Найдем перпендикулярную составляющую. Для этого составим пропорцию:

$\frac{\upsilon_3 \sin{\gamma}}{\upsilon_1 \sin{\alpha}}=\frac{\frac {l}{2} +x}{x}$

$\upsilon_3 \sin{\gamma}=\frac{(\frac {l}{2} +x)\upsilon_1 \sin{\alpha}}{x}$

$\upsilon_3 \sin{\gamma}=\frac{\upsilon_1 \sin{\alpha}+\upsilon_2 \sin{\beta}}{2}$

$\upsilon_3 \sin{\gamma}=\frac{\upsilon_1 \sin{\alpha}+\upsilon_1 \frac{\cos{\alpha}}{\cos{\beta}}\sin{\beta}}{2}$

$\upsilon_3 \sin{\gamma}=\upsilon_1 \frac{\sin{\alpha}+ \cos{\alpha} \operatorname{tg}{\beta}}{2}$

Проекция скорости центра стержня на направление стержня такая же, как у концов:

$\upsilon_3\cos{\gamma}=\upsilon_1 \cos{\alpha}$

Сам угол равен

$\gamma=\operatorname{arctg}\frac{\upsilon_1 \frac{\sin{\alpha}+ \cos{\alpha} \operatorname{tg}{\beta}}{2}}{\upsilon_1 \cos{\alpha}}=\operatorname{arctg} \left(\frac{\operatorname{tg}{\alpha}}{2}+\operatorname{tg}{\beta}}{2}\right)$

$\gamma=\operatorname{arctg} \left(\frac{\operatorname{tg}{30^{\circ}}}{2}+\frac{\operatorname{tg}{60^{\circ}}}{2}\right)= \operatorname{arctg} 1,15= 49,1^{\circ}$

Ответ: $\gamma= 49,1^{\circ}$ .

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Дек
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

Задачи ЕГЭ на относительность движения

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Автор сайта

Авторские права

Календарь