Задачи ЕГЭ на относительность движения

Задачи на относительность движения – пожалуй, самые сложные из задач кинематики. Здесь надо очень хорошо представлять себе, как будет выглядеть картина движения, если ты находишься на этом самом корабле и ощущаешь ветер на своем лице, или ты едешь на конце движущегося стержня и можешь видеть второй его конец. То есть нужно уметь поставить себя на место другого, и вообразить, что он ощущает или видит – это всегда сложно, и в задаче, и в жизни.

Задача 1. Один корабль идет по морю на север с постоянной скоростью 20 узлов, а другой – навстречу ему, на юг, с такой же скоростью. Корабли проходят на малом расстоянии друг от друга. Шлейф дыма от первого корабля вытянулся в направлении на запад, а от второго – на северо-запад. Определите модуль $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ скорости ветра. 1 узел – 1 морская миля в час, 1 морская миля – 1852 м. Ответ выразить в км/ч и округлить до целых.

Для начала переведем скорость судов в км/ч: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ узлов/ час $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ км/ч $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ км/ч.

К задаче 1. Корабли и ветер

Пусть ветер дует под углом $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ по отношению к направлению на север. Так как первый корабль оставляет дым строго слева от себя, то это означает, что его скорость равна проекции скорости ветра на северное направление. Таким образом, корабль и ветер в этом направлении двигаются с одинаковой скоростью и скорость корабля «гасит» скорость ветра. Поэтому можем записать:

Скорость второго корабля, наоборот, накладывается на скорость ветра, на его борту «ветер сильнее». Результатом сложения скоростей ветра и корабля является направление сноса дыма. Чтобы найти скорость ветра в неподвижной системе, нужно из скорости дыма вычесть скорость корабля, который здесь – подвижная система отсчета. Тогда:

Вектора дымов и кораблей

Проекция скорости ветра на северное направление тогда равна

Проекция скорости ветра на западное направление равна $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , и, следовательно,

Тогда скорость ветра равна:

Ответ: 83 км/ч

Задача 2. Стержень скользит по инерции по гладкому горизонтальному столу. В некоторый момент времени в неподвижной системе отсчета скорости концов стержня составляют с направлением стержня углы $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Какой угол $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ образует со стержнем в этот момент скорость его центра?

Пусть скорость одного конца стержня равна $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а второго $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Стержень участвует в двух движениях: в поступательном и вращательном. Если спроецировать скорости концов на направление стержня, то можно определить скорость поступательного движения, а проекции скорости, перпендикулярные направлению стержня, дадут возможность найти мгновенный центр вращения.

К задаче 2. Стержень

Проекции скорости на направление стержня обязаны быть равными, так как стержень не претерпевает растяжения:

Проекции скоростей на перпендикулярное стержню направление относятся так же, как расстояния концов стержня до мгновенного центра вращения:

Отсюда

Теперь можем найти скорость середины стержня, и угол, под которым она направлена к стержню. Проекция скорости центра на направление стержня такая же, как и у концов: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Найдем перпендикулярную составляющую. Для этого составим пропорцию: