Задачи блока С пробного ЕГЭ по физике марта 2017 года

[latexpage]

Рассмотрим в этой статье задачи досрочного ЕГЭ по физике, прошедшего 21 марта 2017 года. Это задачи 28, 29, 30 и 31.

Задача 1. В системе, изображённой на рисунке, трения нет, блоки невесомы, нить невесома и нерастяжима, $m_1 = 1$ кг, $m_2 = 2$ кг, $m_3 = 3$ кг. Найдите модуль и направление ускорения  $a_3$ груза  массой $m_3$.

К задаче 1

Все грузы связаны одной нерастяжимой нитью, $l=const$. Следовательно, если какой-то отрезок нити будет удлиняться, то другой – укорачиваться. Запишем уравнения по второму закону Ньютона для всех грузов:

$$T=m_1a_1$$

$$-m_2a_2=2T$$

$$m_3a_3=m_3g-T$$

К задаче 1. Координаты

Если обозначить координаты центра блока, подвешенного к потолку, как $x_0$ и $y_0$, а координаты тел $m_1$ – $x_1$, $m_2$ – $x_2$ (обозначим так координату центра блока), $m_3$ – $y_3$, то максимальный путь, пройденный телом $m_1$, может быть равен

$$S_1=x_1-x_0=\frac{a_1t^2}{2}$$

Телом 3:

$$S_3=y-y_3=\frac{a_3t^2}{2}$$

Телом 2:

$$S_2=2(x_2-x_0)=a_2t^2$$

Сумма длин максимальных отрезков, пройденных телами, не может превышать длину нити:

$$l=(x_0-x_1)+(y-y_3)+2(x_2-x_0)$$

То есть

$$2S_2+S_3=S_1$$

Или

$$a_2+\frac{a_3}{2}=\frac{a_1}{2}~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Теперь вернемся к нашим уравнениям по второму закону и подставим в (1) ускорения:

$$-\frac{2T}{m_2}+\frac{ m_3g-T }{2m_3}=\frac{T}{2m_1}$$

Тогда

$$g=T\left(\frac{1}{m_1}+\frac{4}{m_2}+\frac{1}{m_3}\right)$$

Откуда

$$T=\frac{gm_1m_2m_3}{m_2m_3+4m_1m_3+m_1m_2}$$

$$a_3=g-\frac{T}{m_3}=g\left(1-\frac{m_1m_2}{m_2m_3+4m_1m_3+m_1m_2}\right)$$

$$a_3=g\left(\frac{m_2m_3+4m_1m_3}{m_2m_3+4m_1m_3+m_1m_2}\right)$$

Ответ: $a_3=9$ м/c$^2$.

Задача 2. С некоторым количеством идеального газа проводят процесс 1–2, для которого график зависимости давления от объёма представляет собой на pV-диаграмме прямую линию (см. рисунок). Параметры начального и конечного состояний процесса: $p_1 = 3$ атм, $V_1 = 1$ л, $p_2 = 1$ атм, $V_2 = 4$ л. Какой объём $V_m$ соответствует максимальной температуре газа в данном процессе?

К задаче 2

Уравнение такой прямой может быть записано так:

$$p=p_0-kV$$

Подставим координаты точек 1 и 2 в это уравнение:

$$p_1=p_0-kV_1$$

$$p_2=p_0-kV_2$$

Откуда можем «вытащить» коэффициент $k$:

$$k=\frac{p_2-p_1}{V_1-V_2}$$

Тогда можно определить $p_0$:

$$p_0=p_1+kV_1=p_1+\frac{(p_2-p_1)V_1}{V_1-V_2}$$

Точке с произвольной координатой $V$ соответствует тогда давление

$$p= p_1+\frac{(p_2-p_1)V_1}{V_1-V_2}-\frac{p_2-p_1}{V_1-V_2}V$$

Или

$$p= p_1+\frac{p_2-p_1}{V_1-V_2}(V_1-V)$$

Таким образом, произведение давления на объем (это произведение равно $\nu RT$) будет равно

$$pV= p_1V+\frac{p_2-p_1}{V_1-V_2}(V_1-V)V$$

Уже по уравнению видно, что это парабола. Определим максимум температуры. Для этого нужно определить максимальное  значение произведения $pV$. Можно взять производную и приравнять к нулю:

$$(pV)’= p_1+\frac{2(p_2-p_1)V}{V_2-V_1}-\frac{(p_2-p_1)V_1}{V_2-V_1}=0$$

Откуда

$$V=\frac{V_1}{2}-\frac{p_1(V_2-V_1)V}{2(p_2-p_1)}=0,5+\frac{9}{4}=2,75$$

Ответ: 2,75 л.

Задача 3. Какой заряд установится на конденсаторе С ёмкостью 10 мкФ после замыкания ключа К в цепи, схема которой изображена на рисунке? Параметры цепи: $U = 10$ В, $R_1 = 2$ Ом, $R_2 = 4$ Ом, $R_3 = 1$ Ом, $R_4 = 3$ Ом. Внутреннее сопротивление батареи равно нулю.

К задаче 3

Заряд легко отыщется, знай мы напряжение. Значит, давайте отыщем напряжение на конденсаторе.

Постоянный ток через конденсатор не течет, напряжение на нем будет равно $$U_C=U_{R1}+U_{R3}$$

То есть наша задача – определить распределение токов в данной цепи (токи в ветвях). Причем даже не важно направление протекания тока, а важна его величина по модулю. Поэтому стрелки напряжений я расставила, даже не обратив внимания на источник, а по-хорошему можно было бы направить их в противоположные стороны. Но, повторюсь, на решение задачи это не влияет.

К задаче 3. Напряжения

$$R_{34}=4$$

$$R_{234}=\frac{R_2R_{34}}{ R_2+R_{34}}=2$$

Общее сопротивление

$$R_{ob}= R_{234}+R_1=4$$

Тогда общий ток (в неразветвленной части) равен:

$$I_{ob}=\frac{E}{ R_{ob}}=\frac{10}{4}=2,5$$

Напряжение на $R_1$ равно $U_{R1}= I_{ob}R_1=2,5\cdot2=5$ В, и столько же тогда падает на $ R_{234}$. Следовательно, токи

$$I_2=\frac{E-U_{R1}}{R_2}=1,25$$

$$I_{34}=\frac{E-U_{R1}}{R_{34}}=1,25$$

Тогда

$$U_C=U_{R1}+U_{R3}= U_{R1}+ I_{34}R_3=5+1,25\cdot1=6,25$$

Следовательно, заряд конденсатора равен

$$q=CU_C=10^{-5}\cdot6,25=62,5\cdot10^{-6}$$

Ответ: $q=62,5$ мкКл.

Задача  4. Параллельный пучок света с длиной волны $\lambda = 600$ нм и концентрацией фотонов $n = 10^{14}$м$^{–3}$ нормально падает на идеальное зеркало, равномерно освещая всю его поверхность, площадь которой равна $S = 1$ м$^2$. Чему равен модуль силы F давления этого светового пучка на зеркало?

Импульс фотона равен

$$p=\frac{h}{\lambda}$$

Изменение же импульса равно

$$\Delta p=\frac{2h}{\lambda}$$

С другой стороны, $F=\frac{\Delta p }{\Delta t}$.

В пучке много фотонов, их число равно $N=nV$. Определим, какой объем «покрывает» пучок за время $\Delta t$:

$$V=Sc\Delta t$$

Следовательно, на зеркало за $\Delta t$ падает число фотонов

$$N=nS c\Delta t$$

Каждый из них изменит свой импульс, тогда

$$F= nS c\frac{2h}{\lambda}=10^{14}\cdot1\cdot3\cdot10^8\frac{2\cdot6,62\cdot10^{-34}}{600\cdot10^{-9}}=6,62\cdot10^{-5}$$

Ответ: $F=662$ мН