Задачи №32 по физике (ядерная физика)-2

[latexpage]

Рассмотрим последнюю задачу ЕГЭ. Чаще всего под этим номером попадаются задачи на ядерную физику. Некоторые из них совсем простые, другие – наоборот, сложные. Впрочем, судить вам. Другие задачи можно посмотреть здесь.

Задача 1. Покоящийся атом водорода в основном состоянии ($E_1=-13,6$ эВ) поглощает в вакууме фотон с длиной волны $\lambda=80$ нм. С какой скоростью движется вдали от ядра электрон, вылетевший из атома в результате ионизации? Кинетической энергией образовавшегося иона пренебречь.

Энергия поглощенного фотона равна

$$E_f=\frac{hc}{\lambda}$$

По закону сохранения энергии

$$E_f=E_k-E_1=\frac{m\upsilon^2}{2}-E_1$$

Откуда

$$\frac{m\upsilon^2}{2}= E_f+E_1$$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{2}{m}\left(\frac{hc}{\lambda}+E_1\right)}$$

Подставим числа:

$$\upsilon=\sqrt{\frac{2}{9,1\cdot10^{-31}}\left(\frac{6,62\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8}{80\cdot10^{-9}}+13,6\cdot1,6\cdot10^{-19}\right)}=820747$$

Ответ: $\upsilon=821$ км/c.

Задача 2.На рисунке изображены энергетические уровни атома и указаны длины волн фотонов, излучаемых и поглощаемых при переходах с одного уровня на другой. Экспериментально установлено, что минимальная длина волны для фотонов, излучаемых при переходах между этими уровнями, равна $\lambda_0=250$ нм.  Какова величина $\lambda_{13}$, если $\lambda_{32}=545$ нм, $\lambda_{24}=400$ нм?

К задаче 2

Минимальной длине волны будет соответствовать переход с максимальной частотой, то есть переход 1-4. $\lambda_0=\lambda_{14}$. Тогда можем записать, что

$$h\nu_{14}-(h\nu_{24}-h\nu_{32})=h\nu_{31}$$

Или

$$\frac{1}{\lambda_{31}}=\frac{1}{\lambda_{14}}-\frac{1}{\lambda_{24}}+\frac{1}{\lambda_{32}}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{\lambda_{31}}=\frac{\lambda_{24}\lambda_{32}-\lambda_{14}\lambda_{32}+\lambda_{24}\lambda_{14}}{\lambda_{32}\lambda_{14}\lambda_{24}}$$

Посчитаем сразу в нанометрах:

$$\lambda_{31}=\frac{545\cdot250\cdot400}{400\cdot545-250\cdot545+400\cdot250}=300$$

Ответ: 300 нм.

$$\lambda_{31}=\frac{\lambda_{32}\lambda_{14}\lambda_{24}}{\lambda_{24}\lambda_{32}-\lambda_{14}\lambda_{32}+\lambda_{24}\lambda_{14}}$$

Задача 3. Фотокатод, покрытый кальцием (работа выхода $A=4,42\cdot10^{-19}$ Дж), освещается светом с длиной волны $\lambda=300$ нм. Вылетевшие из катода электроны попадают в однородное магнитное поле с индукцией $B=8,3\cdot10^{-4}$  Тл перпендикулярно линиям индукции этого поля. Каков максимальный радиус окружности $R$, по которой движутся электроны?

В магнитном поле на электроны действует сила Лоренца, именно она и заставляет их двигаться по окружности. Эта сила будет играть роль центростремительной, поэтому

$$F_L=q \upsilon B=m a_n$$

$$q \upsilon B=\frac{m \upsilon^2}{R}~~~~~~~~~~~~~~(1) $$

Откуда

$$\upsilon =\frac{q B R}{m}$$

Также из  (1)

$$q \upsilon B=\frac{2E_k}{R} $$

$$R=\frac{2E_k}{q \upsilon B}$$

Подставим в последнее равенство найденную ранее скорость:

$$R=\frac{2E_k m}{q^2 B^2 R}$$

Или

$$R=\frac{\sqrt{ 2E_k m }}{qB}$$

Осталось найти кинетическую энергию и подставить в  последнее выражение. Найти кинетическую энергию можно из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:

$$h\nu=A+E_k$$

$$E_k=h\nu-A=\frac{hc}{\lambda}-A$$

Подставляем:

$$R=\frac{\sqrt{ 2m\left(\frac{hc}{\lambda}-A\right) }}{qB}$$

Подставляем числа:

$$R=\frac{\sqrt{ 2\cdot9,1\cdot10^{-31}\left(\frac{6,62\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8}{300\cdot10^{-9}}-4,42\cdot10^{-19}\right) }}{1,6\cdot10^{-19}\cdot8,3\cdot10^{-4}}=4,76\cdot10^{-3}$$

Ответ: $R=4,76\cdot10^{-3}$ м.

Задача 4. Значения энергии в атоме водорода задаются формулой $E_n=-\frac{13,6}{n^2}$ эВ, где $n=1,2,3\ldots$. При переходе с верхнего уровня энергии на нижний атом излучает фотон. Переходы с верхних уровней на уровень $n=1$ образуют серию Лаймана, на уровень с $n=2$ – серию Бальмера, на уровень с $n=3$ – серию Пашена и т.д. Найдите отношение $\beta$ минимальной частоты фотона в серии Бальмера к максимальной частоте фотона в серии Пашена.

В серии Бальмера  переход осуществляется на уровень с $n=2$. Минимальной частотой будет обладать фотон, вызывающий переход с уровня c $n=3$. Поэтому его энергия равна

$$E_B=E_3-E_2=13,6\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)=13,6\cdot\frac{5}{36}$$

В серии Пашена переход осуществляется на уровень 3, если нужна максимальная энергия, то на этот уровень надо переходить с какого-то бесконечно далекого, поэтому энергия фотона

$$E_P=E_{\infty}-E_3=13,6\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{\infty}\right)=13,6\cdot\frac{1}{9}$$

Отношение будет равно

$$\beta=\frac{13,6\cdot\frac{5}{36}}{13,6\cdot\frac{1}{9}}=\frac{5}{4}=1,25$$

Ответ: $\beta=1,25$.